幾何知識在高中物理中的運用——圓的妙用

1、幾何知識在高中物理中的運用圓的妙用方程與函數(shù)知識在高中物理中有非常廣泛的應用，與之相比，幾何知識的應用范圍就狹窄得多，但有些物 理問題能夠巧妙運用幾何知識便捷地解決。在高中物理課程中與幾何知識結合最緊密的應該是圖像問題， 關于物理圖像與數(shù)學圖像的聯(lián)系與區(qū)別，以后我們會專門討論，接下來以“圓”為角度總結下高中物理相 關知識。高中物理知識中需用到的“圓”按其作用與功能可分為“矢量圓”“等時圓” “等勢圓”“等圓系”“諧振圓” 等。本文試通過幾例來闡述輔助圓在解題中的妙用。一、矢量圓 矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓” 就能有效地化繁為簡，并能

2、加深對矢量概念的理解。在力度分解與運動的合成與分解處常會用到。例1 一條寬為l的河流，水流速度為u，船在靜水中劃行的速度為v,且v<u.要使船到達對岸的位移最短,船的航向如何？解析：水流速度、船在靜水中的速度與船的合速度b構成 一矢量三角形，且船在靜水中的速度"大小不變，方向不定， 構建如圖1所示的矢量圓。顯然，當ad與矢量圓相切時， 船航行的位移最短。由圖可得船的航向與河岸的夾角0 - arccos.二、等時圓等時圓模型如圖所示，豎直放置的圓環(huán)，若物體從最高點沿各光 滑弦下滑至軌道與圓弧的交點，或圓弧上任意一點沿 各光滑弦下滑至最低點，其下滑的時間相等這樣的圓 環(huán)稱之為“等時

3、圓”。在解決有關動力學問題時，恰當?shù)貥嫿ǖ葧r圓不但能化解難點，而且能激發(fā)學生的解題思維。圖a圖以例2兩光滑斜面的高度都為h, oc、od兩斜面的總長度都為/,只是od斜面由兩部分組成，如圖3所 示，將甲、乙兩個相同的小球從斜面的頂端同時由靜止釋放，不計拐角處的能量損失，問哪一個球先到達 斜面低端？解析：（解法1）本題往往采用v-f圖像求解，作出物體分別沿oc、od斜面運動的”-f圖像（如圖所示4）, 由圖像可得乙球先到達斜面低端。（解法2）構建如圖5所示的等時圓，交oc于a點，交od于b點。由“等時圓”可知，t0a = tob.由機械能守恒定律可知： >除，比=勺，所以o由因為兩斜面的總

4、長度相等，所以sbd < sac , 根據(jù)公式v =-得，tbd < tac ,所以有f >t ,即乙球先到達斜面低端。例3如圖6,在斜坡上有一根旗桿長為l,現(xiàn)有一個小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲ab滑至斜坡底部, 又知ob二l.求小環(huán)從a滑到b的時間。解析：可以以o為圓心，以l為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓” 的規(guī)律可知，從a滑到b的時間等于a點沿直徑到底端d的時間, 所以有:圖6例4如圖7所示,在傾角為q的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口 a。為了使貨物從靜止開始，由a點沿光滑斜槽以最短的時間到達傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角0應為多少?解析：如圖8所示，首先以發(fā)貨口 a點為最高點

5、作一個圓o與傳送帶相切，切點為b,然后過圓心o畫 一條豎直線ab，,而連接a、b的直線，就是既過發(fā)貨口 a,又過切點b的惟一的弦。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律，貨物沿ab弦到達傳送帶的時間最短。因此，斜槽沿ab方向安裝。ab所對的 圓周角0為圓心角的一半，而圓心角又等于q,所以0 =例5如圖9所示，直角三角形的斜邊傾角為30° ,底邊bc長為2l,處在水平位置，斜邊ac是光滑絕 緣的，在底邊中點o處放置一正電荷q, 個質量為in,電量為q的帶負電的質點從斜面頂端a沿斜邊 滑下，滑到斜邊上的垂足d時速度為v。貝ij：該質點運動到非常挨近斜邊低端c點時速度比為多少？沿 斜面向下的加速度為多少？解

6、析：點電荷沿斜面ac下滑時，電場力在不斷變化， 無法利用動能定理及能量守恒關系直接列式求解， 從而使解題陷入困境。由幾何關系可引入圖10所示的 等勢圓，由于d、c二點位于同一等勢圓上，電荷從 d運動到c電場力做功為零，只有重力做功，所以電荷在d點的機械能與c點的機械能相等，即：= mvl +加g cd sin 30" => vc =+品gl2 2對電荷在c點受力（如圖8所示），由牛頓第二定律得：加g sin 3（r-k譽cos 30"=加解得:心十-¥器三、等圓系帶電粒子進入勻強磁場，若帶電粒子的速度大小、方向不定，則粒子在磁場中作一系列圓心、半徑在時刻 變

7、化的“等圓系”，構建等圓系能化俗為奇。例6半徑為r=10cm的圓形勻強磁場，區(qū)域邊界與y軸相切于坐標原點，磁感應強度b=0.332t,方向垂 直紙面向里。在原點o處有一放射源s,可沿紙面向各個方向射出速率均為v = 3.2xl06m/5的q粒子，已知q粒子的質量為加= 6.64x10-27心，電fi = 3.2xw19c,試確定q粒子通過磁場的最大偏向角。解析：q粒子在磁場中作半徑為r的勻速圓周運動，可得：mv 6.64 xl0_27x 3.2 xlo6 “r = =m = memqb 3.2x io'19 x 0.332從而可構建一系列半徑為20cm并交于o點的等圓系（如圖11所示）

8、, 有等圓系不難得到要使。粒子的偏向角最大，必然q粒子在磁場區(qū)域 內的弦最長。所以q粒子的最大偏向角ra = 2 arcsin = 60"例7核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高度運動的粒子約束在小范圍內（否則不可 能發(fā)生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖12所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域， 中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿岀磁場外邊緣而被約束在該區(qū)域內。設環(huán)狀磁場的內圖12半徑為ri=0.5m,外半徑r2=1.0m,磁場的磁感應強度b=1.0t,若被束縛帶電粒子的荷質比為 4x0c/kg,m中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度。試計算（

9、1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析:（1）粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場，在磁場區(qū)域中作圓周運動，由于粒子的速度大小不定，構建如圖13所示的半徑不同的圓系，要使粒子不能穿越磁場，圓系中不難得到粒子的臨界組圓心必須與外圓相切。由圖中知卅+ &2 =（鳥一斤）2，解得斤=0 375m由 bqv,得嶺=如=1.5乂1（）7加/$斤m所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為嶺=1.5xlos/s（2）所有粒子在磁場中作半徑不定，圓心也不定的系列圓，在所有圓中粒子以的速度沿與內圓相切方向射入磁場且動態(tài)圓與外圓相切時，

10、則以嶺速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界（如圖 13所示）。由圖中知匚二忌一尺二o.25加，算出對應的速度隊二如 = 1.0xl0s/£,這一速度即為所有2m粒子不能穿越磁場的最大速度。四、諧振圓當一個質點在一平面上做勻速圓周運動時，它的投影點的運動是簡諧運動，這個圓通常稱為“諧振圓”。 換個說法，勻速圓周運動可以分解為兩個相互正交的簡諧運動。利用諧振圓，可以把振動這部分知識融為 一體，而且它利用學生相對熟悉的圓周運動為起點，降低了學生的認知難度。利用諧振圓，能使問題直觀 明了，在求解振動的時間問題時尤顯優(yōu)勢。例8如圖14所示，一只橢球形的雞蛋長軸是6cm,短軸是4cm,雞蛋在x軸上做簡諧運動，運動過程中 橢球的焦點在x軸上，雞蛋的端點正好不碰到a、b兩點，即在a、b之間往復運動，現(xiàn)有一支固定在支 架上，以垂直于x軸的方向射出子彈正好瞄準x=12cni處，子彈可看成質點，子彈的速度比雞蛋的速度大 得多，現(xiàn)有一個瞎子扣動扳機，那么他擊中雞蛋的概率是多大？<a vbmo111>-24°1224 xcm圖14解析：雞