用坐標(biāo)法巧解物理競(jìng)賽題

1、用坐標(biāo)法巧解物理競(jìng)賽題在近年的全國(guó)物理奧賽中， 經(jīng)?？疾橐恍┡c摩擦角相關(guān)的問(wèn)題。由于摩擦力的特殊性， 使得對(duì)這一類競(jìng)賽題的分析和解答過(guò)程變得非常的復(fù)雜，例如第二十屆全國(guó)復(fù)賽試題中（例一題），在其標(biāo)準(zhǔn)解答中，不僅利用了物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件，共點(diǎn)力的平衡條件，而且還利用了非共點(diǎn)力的平衡條件，共建立了十五個(gè)方程，二十三個(gè)等式。為了使解決此類摩擦角問(wèn)題的方法更加簡(jiǎn)單和程序化，作者根據(jù)摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系，向大家介紹一種新的解法“坐標(biāo)法”，例一、 （第二十屆全國(guó)復(fù)賽試題） 有一半徑為 r 的圓柱體 a，靜止在水平地面上，并與豎直墻面接觸?，F(xiàn)另一質(zhì)量與a 相同，半徑為 r 的較細(xì)圓

2、柱體 b，用手扶著圓柱體a，將 b 放在 a 的上面，并使之與墻面相接觸， 如圖示， 然后放手。已知圓柱體 a 與地面的靜摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱體之間的靜摩擦系數(shù)為0.30。若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問(wèn)圓柱體b 與墻面間的靜摩擦系數(shù)和圓柱體b 的半徑 r 的值各應(yīng)滿足什么條件？解：設(shè) a、b 與墻面間的靜摩擦系數(shù)分別為1和3，接觸點(diǎn)分別為c、d；a、b 之間的靜摩擦系數(shù)為2，接觸點(diǎn)為 e。對(duì)圓柱體 a， 由于重力 ga與地面對(duì)圓柱體 a 的全反力 f1相交于 c，根據(jù)三力會(huì)交原理，所以b 對(duì) a 的全反力 f2必過(guò) c 點(diǎn)，根據(jù)牛頓第三定律， a 對(duì) b 的全反力 f2一定過(guò)圓柱

3、體 b 的頂點(diǎn) h。如圖甲所示：（1） 、以圓柱體 b 為研究對(duì)象，由于重力gb與 f2相交于圓柱體b 的頂點(diǎn) h，所以墻面對(duì) b 的全反力 f3一定過(guò) h 點(diǎn)。如圖乙所示：由圖乙可知，全反角3=45o又tan3331（2） 、如圖乙所示，以 o2為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：h、 （0，r）; c、 (rr)，22)()(rrrrr直線 ch 的斜率為：kch=rrrrrrrr22)()(又tan2=chk12222)()(rrrrrrrr解得：r0.29r (1) (3)、以 a、b 兩個(gè)圓柱體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于墻面對(duì)b的全反力 f3與系統(tǒng)的重力 gab相交于 p點(diǎn)，

4、所以地面對(duì)圓柱體a 的全反力 f1一定過(guò) p點(diǎn)。如圖丙所示：則：f3的直線方程： y=x+r gab的直線方程： x=21(rr) 由以上兩式得交點(diǎn)p的坐標(biāo)為：xp=21(rr) yp=21(r+r) 則 f1的直線斜率：kcp=)(21)()()(2122rrrrrrrrr又tan1=cpk11122)()()(21)(21rrrrrrrrr解得： rr91(2) 比較（1） 、 （2）兩式可得： r r 0.29r 例二、一梯子長(zhǎng)為 l，斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為1，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為2，不計(jì)梯子的重力，求：重為g 的人沿梯子能上升的最大高度。解

5、：以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系：地面對(duì)梯子的全反力f1的直線方程：y=1tan1(xlcos ) （1）豎直墻面對(duì)梯子的全反力f2的直線方程：y=tan2x +lsin（2）梯子 ab 的直線方程：y=tan （xlcos ）（3）當(dāng)人達(dá)最高時(shí)，梯子將要滑動(dòng)，此時(shí)有：tan1=1tan2=2代入上式由（1） 、 （2）兩式可得 f1與 f2的交點(diǎn) p坐標(biāo)為：xp=2111)sin(cosl代入（3）式得人達(dá)到的最大高度為：y=)cos(sin1tan2211l=)coscossin(1sin2211l令 h=lsin則：y=)(tan12211h=h2121tan討

6、論： （1）當(dāng) tan11時(shí)，yh,說(shuō)明人可到達(dá)梯子的頂端， 即：ymax=l sin。 也 就 是 說(shuō) ， 梯 子 的 傾 角 大 于 某 一 臨 界 角0時(shí)（tan0=11） ，梯子會(huì)處于自鎖狀態(tài)。這種情況在實(shí)際中正是人們所希望的，因此人們通常把梯子放得陡一些，使得人無(wú)論爬到梯子的任何位置，梯子都將因自鎖而不至滑倒，而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)1越大，臨界角0就會(huì)越小，梯子會(huì)更容易實(shí)現(xiàn)自鎖狀態(tài)。（2） 、當(dāng) tan11時(shí)，yh,說(shuō)明人不能到達(dá)梯子的頂端，即：ymax=h2121tan如果此題考慮到梯子的重力， 則上述結(jié)果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計(jì)算公式，也可計(jì)算出人沿梯子上升的最大高度。