高一數(shù)學必修1函數(shù)及其表示教案 (2)

1、.高一數(shù)學同步拔高 §1。2函數(shù)及其表示基礎知識清單考點一 映射的概念1 了解對應 大千世界的對應共分四類，分別是：一對一 多對一 一對多 多對多2 映射：設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關(guān)系f，對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都存在唯一的一個元素y與之對應，那么，就稱對應f：AB為集合A到集合B的一個映射(mapping). 映射是特殊的對應，簡稱“對一”的對應。包括：一對一 多對一考點二 函數(shù)的概念 1函數(shù)：設A和B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)y與之對應，那么，就稱對應f：AB為集合A到集

2、合B的一個函數(shù)。記作y=f(x),xA.其中x叫自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值 函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。 函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。 2函數(shù)的三要素：定義域 、值域、對應關(guān)系。這是判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)。3區(qū)間的概念：設a,b R ,且a<b.我們規(guī)定：(a,b) = x | a < x < b a,b = x | a x b a,b) = x | a x < b (a,b = x | a < x b (a, +) = x | x > aa,+) = x | x a(-,b) = x

3、 | x < b(-,b = x | x b(-,+) = R考點三 函數(shù)的表示方法1 函數(shù)的三種表示方法 列表法 圖象法 解析法2 分段函數(shù)：定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數(shù)。注意兩點：分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要誤認為是幾個函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。能力知識清單考點一 求定義域的幾種情況若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；若f(x)是對數(shù)函數(shù)，真數(shù)應大于零。.因為零的零次冪沒有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同

4、時為零。若f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；若f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題考點二 映射個數(shù)公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n,則從A到B的映射個數(shù)為。簡單說成“前指后底”。方法技巧清單方法一 函數(shù)定義域的求法1（2009江西卷文）函數(shù)的定義域為（ ）ABCD解析 由得或,故選D. 2（2009江西卷理）函數(shù)的定義域為( )ABCD解析 由.故選C3.（2009福建卷文）下列函數(shù)中，與函數(shù) 有相同定義域的是 ( ) A . B. C. D. 解析 由可得定義域是的定義域；的定義域是0；的定

5、義域是定義域是。故選A.4.（2007年上海）函數(shù)的定義域是 答案 5.求下列函數(shù)的定義域。y=.y=.y=6.已知函數(shù)f(x)的定義域為，求函數(shù)F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定義域。方法二 函數(shù)概念的考察1. 下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（ ）A.y=和 B.y=ln和 C. D.2函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=2的公共點個數(shù)為 A. 0個B. 1個 C. 0個或1個 D. 不能確定3已知函數(shù)y=定義域為，則其值域為 方法三 分段函數(shù)的考察求分段函數(shù)的定義域和值域 2x+2 x1求函數(shù)f(x)= x 的定義域和值域 3 x2（2010天津文數(shù)）設函數(shù)，則的值域是（A） （B）

6、 （C）（D）【解析】本題主要考查函數(shù)分類函數(shù)值域的基本求法，屬于難題。依題意知，求分段函數(shù)函數(shù)值3（2010湖北文數(shù)）3.已知函數(shù)，則A.4B. C.-4D-【解析】根據(jù)分段函數(shù)可得，則，所以B正確.解分段函數(shù)不等式4.（2009天津卷文）設函數(shù)則不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當，令解得。當，故 ，解得【考點定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。5（2009天津卷理）已知函數(shù)若則實數(shù)的取值范圍是A B C D 【考點定位】本小題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。解析：由題知在上是增函數(shù)，

7、由題得，解得，故選擇C。6.（2009北京理）若函數(shù) 則不等式的解集為_.解析 本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎知識、基本運算的考查. （1）由.（2）由. 不等式的解集為，應填.7。（2010天津理數(shù)）若函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)的對數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的基本運算及分類討論思想，屬于中等題。由分段函數(shù)的表達式知，需要對a的正負進行分類討論?！緶剀疤崾尽糠诸惡瘮?shù)不等式一般通過分類討論的

8、方式求解，解對數(shù)不等式既要注意真數(shù)大于0，同事要注意底數(shù)在（0，1）上時，不等號的方向不要寫錯。解分段函數(shù)方程8（2009北京文）已知函數(shù)若，則 . .w 解析 5.u.c本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎知識、基本運算的考查.由，無解，故應填.方法四 求函數(shù)的解析式1 求下列函數(shù)的解析式 已知 已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x). 已知f(x)滿足求f(x).方法五 函數(shù)圖像的考察1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 1. (2009山東卷理)函數(shù)的圖像大致為(

9、).解析 函數(shù)有意義,需使,其定義域為,排除C,D,又因為,所以當時函數(shù)為減函數(shù),故選A. 【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點在于給出的函數(shù)比較復雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì).2.（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是（ ）A. 在時刻，甲車在乙車前面 B. 時刻后，甲車在乙車后面C. 在時刻，兩車的位置相同 D. 時刻后，乙車在甲車前面解析 由圖像可知，曲線比在0、0與軸所圍成圖形面積大，則在

10、、時刻，甲車均在乙車前面，選A. 3.（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點在平面上沿曲線運動，速度大小不 變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象大致為 ( )A B C D解析 由圖可知，當質(zhì)點在兩個封閉曲線上運動時，投影點的速度先由正到0、到負數(shù)，再到0，到正，故錯誤；質(zhì)點在終點的速度是由大到小接近0，故錯誤；質(zhì)點在開始時沿直線運動，故投影點的速度為常數(shù)，因此是錯誤的，故選.4（2010山東理數(shù)）(11)函數(shù)y=2x -的圖像大致是【解析】因為當x=2或4時，2x -=0，所以排除B、C；當x=-2時，2x -=，故排除D，所以選A?！久}意圖】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學們對函數(shù)基礎知識的把

11、握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力。5（2010安徽文數(shù)）設,二次函數(shù)的圖像可能是【解析】當時，、同號，（C）（D）兩圖中，故，選項（D）符合【方法技巧】根據(jù)二次函數(shù)圖像開口向上或向下，分或兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱坐標，還要注意對稱軸的位置或定點坐標的位置等.6（2010山東文數(shù)）函數(shù)的圖像大致是答案：A方法六 映射概念的考察1 設:是集合A到集合B的映射，如果B=，則AB=（ ） A. B. C. 或 D. 或2集合M=，N=映射f:滿足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: 的個數(shù)是（ ）A.4 B.5 C. 6 D. 73集合M=到集合N=一共有 個不同的

12、映射。方法七函數(shù)值域和最值的求法1利用二次函數(shù)在有限區(qū)間上的范圍求值域 求函數(shù)y=的值域2分離常數(shù)法 求函數(shù)y=的值域3換元法 求函數(shù)y=的值域4數(shù)形結(jié)合法 求函數(shù)y=的值域5判別式法 求函數(shù)y=的值域方法八 函數(shù)奇偶性和周期性的考察1.（2009全國卷理）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則( ) A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù) C. D.是奇函數(shù)答案 D解析 與都是奇函數(shù)，· 函數(shù)關(guān)于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，即是奇函數(shù)。故選D2.(2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案 C解析

13、由已知得,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復性出現(xiàn).,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.3.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，則的值為（ ）A B C D答案 C解析 ,故選C.方法九 函數(shù)奇偶性和對稱性考察1.（2009全國卷文）函數(shù)的圖像（ ）（A） 關(guān)于原點對稱 （B）關(guān)于主線對稱（C） 關(guān)于軸對稱 （D）關(guān)于直線對稱答案 A解析 本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，選A。2（2010重慶理數(shù)）(5)

14、 函數(shù)的圖象A. 關(guān)于原點對稱 B. 關(guān)于直線y=x對稱 C. 關(guān)于x軸對稱 D. 關(guān)于y軸對稱解析： 是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱方法十 函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的考察1.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B. C. D. 答案 D解析 因為滿足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù), 則,又因為在R上是奇函數(shù)， ,得,而由得,又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D. 2.（2009全國卷文）設則（ ）（A） （B） （C） （D）答案 B解析 本題考查對數(shù)函數(shù)的增減性，由1>lge>0,知a>b,又c=lg

15、e, 作商比較知c>b,選B。3.（2009遼寧卷文）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的x 取值范圍是( )（A）（，） B.，） C.（，） D.，）答案 A解析 由于f(x)是偶函數(shù),故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x1| 解得x4.（2009陜西卷文）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則( )(A) B. C. D. 答案 A 解析 由等價，于則在上單調(diào)遞增, 又是偶函數(shù),故在單調(diào)遞減.且滿足時, , ,得,故選A.5.(2009陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當時,有 ( )(A) B. C. C. D. 答案

16、C6.（2009江蘇卷）已知，函數(shù)，若實數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系為 . 解析 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。 ，函數(shù)在R上遞減。由得：m<n7（2010安徽文數(shù)）（7）設，則a，b，c的大小關(guān)系是（A）acb （B）abc （C）cab （D）bca7.A【解析】在時是增函數(shù)，所以，在時是減函數(shù)，所以?！痉椒偨Y(jié)】根據(jù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接可以判斷出來.方法十一抽象函數(shù)的解法1.（2009四川卷理）已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是 ( )A.0 B. C.1 D. 【考點定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。（同文12）答案 A解析 令，

17、則；令，則由得，所以，故選擇A。2.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,則 答案 -8解析 因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對

18、稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題. 方法十二 對數(shù)函數(shù)的考察3（2010全國卷1文數(shù)）(7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是(A) (B)(C) (D) C【命題意圖】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b=,從而錯選D,這也是命題者的用苦良心之處.【解析1】因為 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在(0,1)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范圍是(2,+).【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求的取值范圍問題，過點時z最小為2,(C) 4（2010全國卷1理數(shù)）（10）已知函數(shù)f(