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1、專(zhuān)題5.5 函數(shù)yasin(x)的圖象及其應(yīng)用新課程考試要求了解函數(shù) ya sin (x) 的物理意義,掌握 ya sin (x) 的圖象,了解參數(shù) a, 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng):邏輯推理(多例)、直觀想象(多例)、數(shù)學(xué)運(yùn)算(多例)、數(shù)據(jù)分析(例6)等.高考預(yù)測(cè)(1) “五點(diǎn)法”作圖;(2)函數(shù)圖象的變換;(3)三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題.(4)對(duì)于三角恒等變換,高考命題主要以公式的基本運(yùn)用(正用、逆用、變用)、計(jì)算為主,其中多與角的范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合考查.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1求三角函數(shù)解析式(1)的有關(guān)概念,表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初
2、相(2)用五點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),如下表所示:知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)圖象的變換1.函數(shù)圖象的變換(平移變換和上下變換)平移變換:左加右減,上加下減把函數(shù)向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象;+網(wǎng)】把函數(shù)向上平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向下平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.伸縮變換:把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象.2.
3、由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑,只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形,請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少.途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),便得的圖象.途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換:先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位,便得的圖象.注意:函數(shù)的圖象,可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.知識(shí)
4、點(diǎn)3函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是.(2)對(duì)于和來(lái)說(shuō),對(duì)稱(chēng)中心與零點(diǎn)相聯(lián)系,對(duì)稱(chēng)軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱(chēng)軸,可由方程解出;它還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,它們是圖象與軸的交點(diǎn),可由,解得,即其對(duì)稱(chēng)中心為(3)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有.(4)的最小正周期都是.【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一 求三角函數(shù)解析式【典例1】【多選題】(2020·海南省高考真題)下圖是函數(shù)y= sin(x+)的部分圖像,則sin(x+)= ( )abcd【答案】bc【解析】由函數(shù)圖像可知:,則,所以不選a,當(dāng)時(shí),解得:,即函數(shù)的解析式為:.而故選:bc.【典例2】(2020
5、3;山東五蓮高三月考)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則_;將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則_.【答案】 【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得,所以,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以,因?yàn)?,所?所以,將的圖象沿x軸向右移個(gè)長(zhǎng)度單位得函數(shù)的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以,所以,因?yàn)?,所以?故答案為:;.【規(guī)律方法】1.由的圖象求其函數(shù)式:在觀察圖象的基礎(chǔ)上可按以下規(guī)律來(lái)確定a,(1)a:一般可由圖象上的最大值、最小值來(lái)確定(2):因?yàn)閠,故往往通過(guò)求周期t來(lái)確定.可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)來(lái)確定t,即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為;相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為t(3
6、):從“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)(,0)(也叫初始點(diǎn))作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)點(diǎn)的位置依據(jù)五點(diǎn)列表法原理,點(diǎn)的序號(hào)與式子的關(guān)系如下:“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0;“第二點(diǎn)”(即圖象曲線的“峰點(diǎn)”)為x;“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x;“第四點(diǎn)”(即圖象曲線的“谷點(diǎn)”)為x;“第五點(diǎn)”(即圖象第二次上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x2在用以上方法確定的值時(shí),還要注意題目中給出的的范圍,不在要求范圍內(nèi)的要通過(guò)周期性轉(zhuǎn)化到要求范圍內(nèi)(4)a,三個(gè)量中初相的確定是一個(gè)難點(diǎn),除使用初始點(diǎn)(,0)外,還可在五點(diǎn)中找兩個(gè)特殊點(diǎn)列方程組來(lái)求解2.利用圖象變換求解析式:由的圖象向左
7、或向右平移個(gè)單位,得到函數(shù),將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),便得,將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(),便得.【變式探究】1. (2020·湖南婁星婁底一中高一期末)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線,再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線,則的解析式為( )abcd【答案】a【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線,則的解析式為,再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線,則的解析式為故選:a2.(2020·江蘇南通高三其他)已知函數(shù)的最小正周期是,若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的解析式_.【答案】【解析】因
8、為函數(shù)的最小正周期是,所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到,因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以因此故答案為:【總結(jié)提升】根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)中的參數(shù)的主要方法:(1)主要是根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)確定;(2)主要由最小正周期確定,而的值主要是根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)圖象的零點(diǎn)與最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定;(3)主要是由圖象的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定考點(diǎn)二 三角函數(shù)圖象的變換【典例3】(2021·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三三模(理)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,得到函數(shù)g(x)asin(x+)(a0,0,|)的圖象已知函數(shù)g(x)的部分圖象
9、如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法正確的是( ) af(x)的最小正周期為bf(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減cf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)df(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)【答案】d【解析】根據(jù)函數(shù)圖象求出解析式,再根據(jù)平移伸縮變換求出的解析式,然后根據(jù)的解析式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)g(x)的部分圖象,可得a2,2結(jié)合五點(diǎn)法作圖,可得2×()+,故g(x)2sin(2x+)由題意,把g(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,再向右平移個(gè)單位,可得f(x)2sin(3x+)2sin(3x)的圖象,故f(x)的最小正周期為,故a錯(cuò)誤;在區(qū)間上,3x0,f(x)沒(méi)有單調(diào)性,故b錯(cuò)誤;令x
10、,求得f(x)0,不是最值,f(x)的圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng),故c錯(cuò)誤;令x,求得f(x)0,故f(x)的圖象關(guān)于(,0)對(duì)稱(chēng),故d正確,故選:d【典例4】【多選題】(2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬)為得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象( )a先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度b先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度c先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)d先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)【答案】bc【解析】利用先伸縮再平移或是先平移再伸縮兩種變換方法,判斷選項(xiàng).【詳解】如果是先伸縮
11、再平移,那么需先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,即得 如果是先平移再伸縮,需先將向右的單位長(zhǎng)度,得到,再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),即得.故選:bc【規(guī)律方法】函數(shù)的圖象變換除了平移變換外,還有對(duì)稱(chēng)變換如本例一般地,函數(shù)f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)【變式探究】1.(2020·浙江高一單元測(cè)試)如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將的圖象上所有的點(diǎn)( )a向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫
12、坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變b向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)仲長(zhǎng)到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變c把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度d向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變【答案】ac【解析】由圖象知,a=1,t=,所以=2,y=sin(2x+),將(,0)代入得:sin()=0,所以=k,取=,得y=sin(2x+),向左平移,得然后各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得故a正確各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得然后向左平移個(gè)單位,得故c正確故選:ac2.【多選題】(2021·江蘇高三其他模擬)將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐
13、標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論中正確的有( )a函數(shù)的最大值為2b函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)c函數(shù)是偶函數(shù)d直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸【答案】ac【解析】先根據(jù)平移伸縮表示出函數(shù)的解析式,再根據(jù)圖像性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得,所以的最大值為2,為偶函數(shù),的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),故b和d錯(cuò)誤,a和c正確.故選:ac.【特別提醒】1.圖象的左右平移是針對(duì)x而言的,即平移多少是指自變量“x”的變化,x系數(shù)為1,而不是對(duì)“x”而言的2圖象的伸縮變換即周期變換也是針對(duì)x而言的,即只是自變量x的系數(shù)發(fā)生改變,變?yōu)樵瓉?lái)的倍,而不涉及3.在進(jìn)行圖象變換時(shí),先平移后伸縮與
14、先伸縮后平移是兩種不同的變換,且這兩種變換中,平移的單位長(zhǎng)度不同,前者平移了|個(gè)單位長(zhǎng)度,而后者平移了|個(gè)單位長(zhǎng)度,這是因?yàn)橛蓎sinx的圖象變換為ysin(x)的圖象的過(guò)程中,各點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少了|個(gè)單位長(zhǎng)度,即xx,xx考點(diǎn)三 三角函數(shù)模型的應(yīng)用【典例5】【多選題】(2021·廣東深圳市·高三二模)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑,如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪,如圖所示,某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米,轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為120米,設(shè)置若干個(gè)座艙,游客從離地面最近的位置進(jìn)艙,開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)分鐘,當(dāng)時(shí),游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中,正確的為(
15、 )a摩天輪離地面最近的距離為4米b若旋轉(zhuǎn)分鐘后,游客距離地面的高度為米,則c若在,時(shí)刻,游客距離地面的高度相等,則的最小值為30d,使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米【答案】bc【解析】易知摩天輪離地面最近的距離,從而可判斷a;求出分鐘后,轉(zhuǎn)過(guò)的角度,即可求出關(guān)于的表達(dá)式,即可判斷b;由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小值即可判斷c;求出在上的單調(diào)性,結(jié)合當(dāng)時(shí),即可判斷d.【詳解】解:由題意知,摩天輪離地面最近的距離為米,故a不正確;分鐘后,轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,則,b正確;周期為,由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知,若取最小值,則,又高度相等,則關(guān)于對(duì)稱(chēng),則,則;令,解得,令,解得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞
16、減,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在只有一個(gè)解;故選:bc.【典例6】平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì),在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn),海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深(米)是隨著一天的時(shí)間呈周期性變化,某天各時(shí)刻的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表:036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5()根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖(坐標(biāo)系在答題卷中).觀察散點(diǎn)圖,從, ,中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型,并求出該擬合模型的函數(shù)解析式;()為保證隊(duì)員安全,規(guī)定在一天中的518時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練,根據(jù)() 中的選擇的函數(shù)解析式,試問(wèn):這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練,才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的
17、安全.【答案】(1) 選做為函數(shù)模型, ;(2) 這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練.才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全.【解析】()根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖,如圖所示:- 依題意,選做為函數(shù)模型, ()由()知: 令,即 又 這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練,才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全.【規(guī)律方法】三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題【變式探究】(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖是一半徑為2米的水輪,水輪的圓心距離水面1米,已知水輪自點(diǎn)
18、開(kāi)始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)距水面的高度(米與時(shí)間(秒滿足函數(shù)關(guān)系式,則_,_【答案】2 【解析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)及水輪的結(jié)構(gòu)可得,再由周期求得【詳解】水輪的半徑為2,水輪圓心距離水面1,又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,故轉(zhuǎn)一圈需要15秒,故答案為:2;考點(diǎn)四 函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例7】(2019年高考全國(guó)卷文)函數(shù)在0,2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )a2 b3 c4d5【答案】b【解析】由,得或,在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3,故選b【典例8】(2019年高考浙江卷)設(shè)函數(shù).(1)已知函數(shù)是偶函數(shù),求的值;(2)求函數(shù)的值域【答案】(1)或;(2)【解析】(1)因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有,即,故,所以又,因此或(2)因此,函數(shù)的值域是【典例9】(2017·山東高考真題(理)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),其中0<<3.已知f(6)=0.()求;()將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在-4,34上的最小值.【答案】(1) =2.(2) -32.【解析】()因?yàn)閒(x)=sin(x-6)+sin(x-2),所以f(x)=32sinx-12cosx-
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