專(zhuān)題5.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（講）解析版

1、專(zhuān)題5.5 函數(shù)yasin(x)的圖象及其應(yīng)用新課程考試要求了解函數(shù) ya sin (x) 的物理意義，掌握 ya sin (x) 的圖象，了解參數(shù) a， 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）、數(shù)據(jù)分析（例6）等.高考預(yù)測(cè)（1） “五點(diǎn)法”作圖；（2）函數(shù)圖象的變換；（3）三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題.（4）對(duì)于三角恒等變換，高考命題主要以公式的基本運(yùn)用（正用、逆用、變用）、計(jì)算為主，其中多與角的范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合考查.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1求三角函數(shù)解析式（1）的有關(guān)概念，表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初

2、相（2）用五點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)圖象的變換1.函數(shù)圖象的變換（平移變換和上下變換）平移變換：左加右減，上加下減把函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象;+網(wǎng)】把函數(shù)向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.伸縮變換:把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象.2.

3、由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得的圖象.途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位，便得的圖象.注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.知識(shí)

4、點(diǎn)3函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（1）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱(chēng)中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱(chēng)軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱(chēng)軸，可由方程解出；它還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對(duì)稱(chēng)中心為（3）若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有.（4）的最小正周期都是.【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一 求三角函數(shù)解析式【典例1】【多選題】（2020·海南省高考真題）下圖是函數(shù)y= sin(x+)的部分圖像，則sin(x+)= （ ）abcd【答案】bc【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選a,當(dāng)時(shí)，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：bc.【典例2】（2020

5、3;山東五蓮高三月考）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_；將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則_.【答案】 【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?所以，將的圖象沿x軸向右移個(gè)長(zhǎng)度單位得函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以?故答案為：；.【規(guī)律方法】1.由的圖象求其函數(shù)式：在觀察圖象的基礎(chǔ)上可按以下規(guī)律來(lái)確定a，(1)a：一般可由圖象上的最大值、最小值來(lái)確定(2)：因?yàn)閠，故往往通過(guò)求周期t來(lái)確定.可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)來(lái)確定t，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為t(3

6、)：從“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)(，0)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)點(diǎn)的位置依據(jù)五點(diǎn)列表法原理，點(diǎn)的序號(hào)與式子的關(guān)系如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖象曲線的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖象曲線的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”(即圖象第二次上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x2在用以上方法確定的值時(shí)，還要注意題目中給出的的范圍，不在要求范圍內(nèi)的要通過(guò)周期性轉(zhuǎn)化到要求范圍內(nèi)(4)a，三個(gè)量中初相的確定是一個(gè)難點(diǎn)，除使用初始點(diǎn)(，0)外，還可在五點(diǎn)中找兩個(gè)特殊點(diǎn)列方程組來(lái)求解2.利用圖象變換求解析式：由的圖象向左

7、或向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得.【變式探究】1. （2020·湖南婁星婁底一中高一期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線，則的解析式為（ ）abcd【答案】a【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，則的解析式為，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線，則的解析式為故選：a2.（2020·江蘇南通高三其他）已知函數(shù)的最小正周期是，若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的解析式_.【答案】【解析】因

8、為函數(shù)的最小正周期是，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以因此故答案為：【總結(jié)提升】根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)中的參數(shù)的主要方法：（1）主要是根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)確定；（2）主要由最小正周期確定，而的值主要是根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)圖象的零點(diǎn)與最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定；（3）主要是由圖象的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定考點(diǎn)二 三角函數(shù)圖象的變換【典例3】（2021·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理）將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)g(x)asin（x+）（a0，0，|）的圖象已知函數(shù)g(x)的部分圖象

9、如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法正確的是（ ） af(x)的最小正周期為bf(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減cf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)df(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)【答案】d【解析】根據(jù)函數(shù)圖象求出解析式，再根據(jù)平移伸縮變換求出的解析式，然后根據(jù)的解析式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)g(x)的部分圖象，可得a2，2結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2×（）+，故g(x)2sin（2x+）由題意，把g(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再向右平移個(gè)單位，可得f(x)2sin（3x+）2sin（3x）的圖象，故f(x)的最小正周期為，故a錯(cuò)誤；在區(qū)間上，3x0，f(x)沒(méi)有單調(diào)性，故b錯(cuò)誤；令x

10、，求得f(x)0，不是最值，f(x)的圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，故c錯(cuò)誤；令x，求得f(x)0，故f(x)的圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱(chēng)，故d正確，故選：d【典例4】【多選題】（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬）為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）a先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度b先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度c先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)d先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)【答案】bc【解析】利用先伸縮再平移或是先平移再伸縮兩種變換方法，判斷選項(xiàng).【詳解】如果是先伸縮

11、再平移，那么需先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即得 如果是先平移再伸縮，需先將向右的單位長(zhǎng)度，得到，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），即得.故選：bc【規(guī)律方法】函數(shù)的圖象變換除了平移變換外，還有對(duì)稱(chēng)變換如本例一般地，函數(shù)f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)【變式探究】1.（2020·浙江高一單元測(cè)試）如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）a向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫

12、坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變b向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)仲長(zhǎng)到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變c把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度d向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】ac【解析】由圖象知，a=1,t=，所以=2，y=sin（2x+），將（，0）代入得：sin()=0，所以=k，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得然后各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得故a正確各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得然后向左平移個(gè)單位，得故c正確故選：ac2.【多選題】（2021·江蘇高三其他模擬）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐

13、標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的有（ ）a函數(shù)的最大值為2b函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)c函數(shù)是偶函數(shù)d直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸【答案】ac【解析】先根據(jù)平移伸縮表示出函數(shù)的解析式，再根據(jù)圖像性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，所以的最大值為2，為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故b和d錯(cuò)誤，a和c正確.故選：ac.【特別提醒】1.圖象的左右平移是針對(duì)x而言的，即平移多少是指自變量“x”的變化，x系數(shù)為1，而不是對(duì)“x”而言的2圖象的伸縮變換即周期變換也是針對(duì)x而言的，即只是自變量x的系數(shù)發(fā)生改變，變?yōu)樵瓉?lái)的倍，而不涉及3.在進(jìn)行圖象變換時(shí)，先平移后伸縮與

14、先伸縮后平移是兩種不同的變換，且這兩種變換中，平移的單位長(zhǎng)度不同，前者平移了|個(gè)單位長(zhǎng)度，而后者平移了|個(gè)單位長(zhǎng)度，這是因?yàn)橛蓎sinx的圖象變換為ysin(x)的圖象的過(guò)程中，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少了|個(gè)單位長(zhǎng)度，即xx，xx考點(diǎn)三 三角函數(shù)模型的應(yīng)用【典例5】【多選題】（2021·廣東深圳市·高三二模）摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)分鐘，當(dāng)時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中，正確的為（

15、 ）a摩天輪離地面最近的距離為4米b若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則c若在，時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為30d，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米【答案】bc【解析】易知摩天輪離地面最近的距離，從而可判斷a；求出分鐘后，轉(zhuǎn)過(guò)的角度，即可求出關(guān)于的表達(dá)式，即可判斷b；由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小值即可判斷c；求出在上的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，即可判斷d.【詳解】解：由題意知，摩天輪離地面最近的距離為米，故a不正確；分鐘后，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則，b正確；周期為，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，若取最小值，則，又高度相等，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，則；令，解得，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

16、減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在只有一個(gè)解；故選:bc.【典例6】平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深（米）是隨著一天的時(shí)間呈周期性變化，某天各時(shí)刻的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5（）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）.觀察散點(diǎn)圖，從， ，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（）為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的518時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（） 中的選擇的函數(shù)解析式，試問(wèn)：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的

17、安全.【答案】(1) 選做為函數(shù)模型， ;(2) 這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練.才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全.【解析】（）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示：- 依題意，選做為函數(shù)模型， （）由（）知： 令，即 又 這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全.【規(guī)律方法】三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題【變式探究】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心距離水面1米，已知水輪自點(diǎn)

18、開(kāi)始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)距水面的高度（米與時(shí)間（秒滿足函數(shù)關(guān)系式，則_，_【答案】2 【解析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)及水輪的結(jié)構(gòu)可得，再由周期求得【詳解】水輪的半徑為2，水輪圓心距離水面1，又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，故轉(zhuǎn)一圈需要15秒，故答案為：2；考點(diǎn)四 函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例7】(2019年高考全國(guó)卷文)函數(shù)在0，2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）a2 b3 c4d5【答案】b【解析】由，得或，在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，故選b【典例8】(2019年高考浙江卷)設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，即，故，所以又，因此或（2）因此，函數(shù)的值域是【典例9】（2017·山東高考真題（理）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x-6)+sin(x-2)，其中0<<3.已知f(6)=0.（）求；（）將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在-4,34上的最小值.【答案】(1) =2.(2) -32.【解析】（）因?yàn)閒(x)=sin(x-6)+sin(x-2)，所以f(x)=32sinx-12cosx-