考點31 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（文）考點一遍過_20210103224742

1、考點31 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質(zhì)與判定定理.理解以下判定定理：·如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.·如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：·如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.（2）能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題. 一、直線與平面垂直1定義如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直.記作：l.圖形表示如

2、下：【注意】定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語2直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡記為：線線垂直線面垂直圖形語言符號語言la，lb，a，b，l作用判斷直線與平面垂直【注意】在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線.3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡記為：線面垂直線線平行圖形語言符號語言作用證明兩直線平行；構(gòu)造平行線.4直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個

3、平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于.因此，直線與平面所成的角的范圍是.5常用結(jié)論（熟記）（1）若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面（2）若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)任何一條直線（3）過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直（4）過空間任一點有且只有一個平面與已

4、知直線垂直二、平面與平面垂直1定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直平面與平面垂直，記作.圖形表示如下：2平面與平面垂直的判定定理文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.簡記為：線面垂直面面垂直圖形語言符號語言l，作用判斷兩平面垂直3平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.簡記為：面面垂直線面垂直圖形語言符號語言作用證明直線與平面垂直4二面角（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱，這兩個半

5、平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.（3）二面角的范圍：.5常用結(jié)論（熟記）（1）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直（2）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面（3）如果兩個平面互相垂直，那么過第一個平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)三、垂直問題的轉(zhuǎn)化關系考向一 線面垂直的判定與性質(zhì)線面垂直問題的常見類型及解題策略：(1)與命題真假判斷有關的問題解決此類問題的方法是結(jié)合圖形進行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定(2)證

6、明直線和平面垂直的常用方法：線面垂直的定義；判定定理；垂直于平面的傳遞性()；面面平行的性質(zhì)()；面面垂直的性質(zhì)(3)線面垂直的證明證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想(4)線面垂直的探索性問題對命題條件的探索常采用以下三種方法：a先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；b先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；c把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設結(jié)論存在，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設，如果

7、得到了矛盾的結(jié)果就否定假設.典例1 如圖所示，adb和adc都是以d為直角頂點的等腰直角三角形，且bac=60°，下列說法中錯誤的是aad平面bdcbbd平面adccdc平面abddbc平面abd【答案】d【解析】易知adbd,addc,所以ad平面bdc,又與均為以d為直角頂點的等腰直角三角形,所以.又bac60°,所以為等邊三角形,故bcab2bd,所以bdc90°,即bddc.所以bd平面adc,同理dc平面abd.故選d .1在正方體中，點在側(cè)面及其邊界上運動，并且保持，則動點的軌跡為a線段b線段c的中點與的中點連成的線段d的中點與的中點連成的線段典例2

8、如圖，在三棱柱abc-a1b1c1中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形，d為線段ac的中點（1）求證：bd平面acc1a1；（2）求證：直線ab1平面bc1d；（3）設m為線段bc1上任意一點，在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點e，使cedm?請說明理由【解析】（1）三棱柱abc-a1b1c1中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形，cc1bc，cc1ac，cc1平面abc，又bd平面abc，cc1bd，又底面為等邊三角形，d為線段ac的中點，bdac，又accc1=c，bd平面acc1a1（2）如圖，連接b1c交bc1于點o，連接od，則o為b1c的中點，d是ac的中點，odab1，又od平面bc1d

9、，ab1平面bc1d，直線ab1平面bc1d（3）在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點e，使cedm，此時e在線段c1d上，證明如下：如圖，過c作cec1d，交線段c1d于點e，由（1）可知，bd平面acc1a1，又ce平面acc1a1，bdce，由cec1d，bdc1d=d，得ce平面bc1d，dm平面bc1d，cedm2如圖，在正方體中，e為棱的中點，f為棱bc的中點（1）求證：aeda1；（2）在線段aa1上求一點g，使得ae平面dfg？并說明理由考向二 面面垂直的判定與性質(zhì)判定面面垂直的常見策略：(1)利用定義(直二面角)(2)判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直(3)在運

10、用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直典例3 已知在梯形abcd中，ab/cd，e,f分別為底ab,cd上的點，且efab，ef=eb=12fc=2，ea=12fd，沿ef將平面aefd折起至平面aefd平面ebcf，如圖.（1）求證：平面bcd平面bdf；（2）若ae=2，求多面體abcdef的體積【解析】（1）由平面aefd平面ebcf，且dfef知df平面ebcf而平面bdf，所以平面bdf平面ebcf.由，可知，即bcbf，又平面ebcf,所以bc平面bdf又平面b

11、cd，所以平面bcd平面bdf（2）依題意知，多面體abcdef是三棱臺abe-dcf，易得高為ef=2，兩個底面面積分別是2和8，故體積為23×2+8+2×8=283典例4 如圖,直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分別是ab,bb1的中點,ab=bc.（1）證明:bc1/平面a1cd;（2）證明:平面a1ec平面acc1a1.【解析】（1）連接ac1,交a1c于點o,連接do,則o是ac1的中點,因為d是ab的中點,所以od/bc1因為od平面a1cd,bc1平面a1cd，所以bc1/平面a1cd（2）取ac的中點f,連接eo,of,fb,因為o是ac1的中點,所以o

12、f/aa1且of=12aa1顯然be/aa1,且be=12aa1,所以of/be且of=be，則四邊形beof是平行四邊形.所以eo/bf,因為ab=bc,所以bfac.又bfcc1,所以直線bf平面acc1a1因為eo/bf,所以直線eo平面acc1a1.因為eo平面a1ec,所以平面a1ec平面acc1a1.3如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，點o是對角線ac與bd的交點，ab=2，bad=60°，m是pd的中點（1）求證：om平面pab；（2）求證：平面pbd平面pac；（3）當三棱錐cpbd的體積等于時，求pa的長4如圖，在三棱柱中，底面為正三

13、角形，底面，點在線段上，平面平面.（1）請指出點的位置，并給出證明；（2）若，求點到平面的距離.考向三 線面角與二面角求直線與平面所成的角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”作平面角時，一定要注意頂點的選擇典例5 正三棱柱的

14、所有棱長都相等，d是的中點，則直線ad與平面所成角的正弦值為a bc d【答案】b【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱長都相等，依據(jù)題設條件，可知平面acd，故為直角三角形設棱長為1，則有，.設a到平面的距離為h，則有，.設直線ad與平面所成的角為，則.解法二：在正三棱柱中，由d為中點可證平面，如圖，作，.又，ah平面，為所求的線面角設棱長為2，在中由等面積法得，.故選b.典例6 如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成的角為45°，求三棱錐的體積.【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以，因此平

15、面，而平面，所以平面平面.（2）如圖，設的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是是直線與平面所成的角.由題設知，所以，在中，所以，故三棱錐的體積.5已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面是邊長為的正三角形，且該三棱柱外接球的表面積為，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為abcd6已知四棱錐中，底面，.（1）當變化時，點到平面的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.典例7 已知abcd是正方形，e是ab的中點，將和分別沿de、ce折起，使ae與be重合，a、b兩點重合后記為點p，那么二面角的大小為_【答案】

16、【解析】如圖，取cd中點f，連接pf、ef.eppd，eppc，ep平面pcd，epcd.pc=pd，pfcd，又pfpe=p，cd平面pef，又ef平面pef，cdef，pfe為二面角的平面角設正方形abcd的邊長為2，在中，pe=1，ef=2，pfe=30°.【名師點睛】（1）二面角的平面角的頂點是二面角棱上任意一點.為了解題方便，可以把其放在某一特殊位置，這要具體問題具體分析.（2）求二面角的關鍵是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即過二面角的一個半平面內(nèi)且不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的

17、平面角或其補角.典例8 在abc中，ab=4,ac=42,bac=45，以ac的中線bd為折痕，將abd沿bd折起，如圖所示，構(gòu)成二面角a'-bd-c,在平面bcd內(nèi)作cecd，且ce=2（1）求證：ce平面a'bd；（2）如果二面角a'-bd-c的大小為90，求二面角b-a'c-e的余弦值【解析】（1）由ab=4,ac=42,bac=45得bc=4，所以abc為等腰直角三角形，由d為ac的中點得bdac，以ac的中線bd為折痕翻折后仍有bdcd.因為cecd，所以cebd，又ce平面a'bd，bd平面a'bd，所以ce平面a'bd （2

18、）因為二面角a'-bd-c的大小為90，所以平面a'bd平面bdc，又平面a'bd平面bdc=bd,a'dbd，所以a'd平面bdc，因此a'dce，又cecd，a'dcd=d，所以ce平面a'cd，從而cea'c由題意a'd=dc=22，所以在rta'dc中，a'c=4如圖，設a'c中點為f，連接bf， 因為a'b=bc=4，所以bfa'c，且bf=23，如圖，設a'e的中點為g，連接fg，bg，則fgce，由cea'c得fga'c，所以bfg為二面

19、角b-a'c-e的平面角， 如圖，連接be，在bce中，因為bc=4,ce=2,bce=135，所以be=26在rtdce中，de=(22)2+(2)2=10，于是在rta'de中，a'e=(22)2+(10)2=32在a'be中，所以在bfg中，因此二面角b-a'c-e的余弦值為.7已知菱形的邊長為1，將這個菱形沿折成的二面角，則兩點間的距離為abcd8如圖，多面體，平面平面，是的中點，是上的點.（1）若平面，證明：是的中點；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.1下列說法錯誤的是a垂直于同一個平面的兩條直線平行b若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直于這

20、兩個平面交線的直線與另一個平面垂直c一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行d一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直2設a，b，c表示三條直線，表示兩個平面，則下列命題中不正確的是abcd3如圖，三條相交于點p的線段pa，pb，pc兩兩垂直，p在平面abc外，ph平面abc于h，則垂足h是abc的a外心 b內(nèi)心c垂心 d重心4若是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是a若，則b若，則c若，則d若，則5如圖,a,b,c,d為空間四點,在abc中,ab=2,ac=bc=2,等邊三角形adb以ab為軸旋轉(zhuǎn),當平面adb平面abc時,cd=a3b2c5

21、d16如圖,在棱長為的正方體中,點、分別是棱、的中點，是底面上（含邊界）一動點，且滿足，則線段長度的取值范圍是a bc d7九章算術卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？問題中“芻甍”指的是底面為矩形的屋脊狀的幾何體，如圖1，該幾何體可由圖2中的八邊形abcdefgh沿bg，cf向上折起，使得ah與de重合而成，設網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1，則此“芻甍”中ef與平面bcfg所成角的正弦值為a bc d8如圖所示，在直角梯形中，分別是上的點，且（如圖）.將四邊形沿折起，連接（如圖）.在折起的過程中，下列說法中錯誤的個數(shù)是平面；四點不可能共面；若，

22、則平面平面；平面與平面可能垂直.a0b1c2d39如圖,在矩形abcd中,ab=2,ad=3,點e為ad的中點,現(xiàn)分別沿be,ce將abe,dce翻折,使得點a,d重合于點f,此時二面角e-bc-f的余弦值為 （1） （2）abcd10如圖，在正方體中，是棱上的動點，下列說法正確的是a對任意動點在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線b對任意動點在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線c當點從運動到的過程中，二面角的大小不變d當點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大11如圖,三棱錐p-abc,平面pab平面pbc,若pbbc,則abc的形狀為_.12在四面體abcd中，da平面abc，abac，ab=4，ac=

23、3，ad=1，e為棱bc上一點，且平面ade平面bcd，則de=_.13如圖，在直三棱柱中，是的中點，若是正三角形，則直線和平面所成的角的大小是_.14如圖，在三棱錐pabc中，pa底面abc，bac90°，f是ac的中點，e是pc上的點，且efbc，則_.15如圖所示，在四棱錐中，pa底面abcd，且底面各邊都相等，m是pc上的一動點，當dm_時，平面mbd平面pcd.16如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面平面，為的中點.（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，為線段上的一點，求三棱錐的體積.17如圖，已知四邊形abcd是正方形，pd平面abcd，cd=pd=2

24、ea，pd/ea，f，g，h分別為pb，be，pc的中點.（1）求證：gh/平面pdae；（2）求證：平面fgh平面pcd.18如圖，在四棱錐中，q是ad的中點，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.19如圖所示，m，n，p分別是正方體的棱ab，bc，dd1上的點.（1）若，求證:無論點p在dd1上如何移動，總有bpmn;（2）棱dd1上是否存在這樣的點p，使得平面平面?證明你的結(jié)論.20在等腰梯形abcd中，e、f分別是cd、ab的中點，cd2，ab4，adbc2.沿ef將梯形afed折起，使得afb60°，如圖（1）若g為fb的中點，求證：ag平面bcef；（

25、2）求二面角cabf的正切值21如圖，四邊形abcd為矩形，四邊形bcef為直角梯形，bf/ce,bfbc,bf<ce,bf=2,ab=1,ad=5.（1）求證:bcaf;（2）求證:af/平面dce;（3）若二面角e-bc-a的大小為120,求直線df與平面abcd所成的角.1（2019年高考浙江卷）設三棱錐vabc的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，p是棱va上的點（不含端點）記直線pb與直線ac所成的角為，直線pb與平面abc所成的角為，二面角pacb的平面角為，則a<，<b<，< c<，<d<，< 2（2017新課標全國文科）在正方體中

26、，e為棱cd的中點，則abcd3（2017浙江）如圖，已知正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），p，q，r分別為ab，bc，ca上的點，ap=pb，分別記二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角為，則abcd4（2019年高考全國卷文數(shù)）已知acb=90°，p為平面abc外一點，pc=2，點p到acb兩邊ac，bc的距離均為，那么p到平面abc的距離為_5（2019年高考江蘇卷）如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分別為bc，ac的中點，ab=bc求證：（1）a1b1平面dec1；（2）bec1e6（2019年高考全國卷文數(shù)）圖1是由矩形adeb，abc和菱形bfgc組成的一

27、個平面圖形，其中ab=1，be=bf=2，fbc=60°將其沿ab，bc折起使得be與bf重合，連結(jié)dg，如圖2（1）證明：圖2中的a，c，g，d四點共面，且平面abc平面bcge；（2）求圖2中的四邊形acgd的面積.7（2019年高考北京卷文數(shù)）如圖，在四棱錐中，平面abcd，底部abcd為菱形，e為cd的中點（1）求證：bd平面pac；（2）若abc=60°，求證：平面pab平面pae；（3）棱pb上是否存在點f，使得cf平面pae？說明理由8（2019年高考天津卷文數(shù)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，.（1）設g，h分別為pb，ac的中點

28、，求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線ad與平面所成角的正弦值.9（2019年高考浙江卷）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是ac，a1b1的中點.（1）證明：；（2）求直線ef與平面a1bc所成角的余弦值.10（2018江蘇）在平行六面體中，求證：（1）平面；（2）平面平面11（2018浙江）如圖，已知多面體abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，abc=120°，a1a=4，c1c=1，ab=bc=b1b=2（）證明：ab1平面a1b1c1；（）求直線ac1與平面abb1所成的角的正弦值12（2018北京文科）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為

29、矩形，平面pad平面abcd，papd，pa=pd，e，f分別為ad，pb的中點.（）求證：pebc；（）求證：平面pab平面pcd；（）求證：ef平面pcd.13（2018天津文科）如圖，在四面體abcd中，abc是等邊三角形，平面abc平面abd，點m為棱ab的中點，ab=2，ad=，bad=90°（）求證：adbc；（）求異面直線bc與md所成角的余弦值；（）求直線cd與平面abd所成角的正弦值14（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，點e，f(e與a，d不重合)分別在棱ad，bd上，且efad求證：（1）ef平面abc； （2）adac1

30、5（2017新課標全國文科）如圖，四面體abcd中，是正三角形，ad=cd（1）證明：acbd；（2）已知是直角三角形，ab=bd若e為棱bd上與d不重合的點，且aeec，求四面體abce與四面體acde的體積比變式拓展1【答案】a【解析】如圖，連接，在正方體中，有平面，因為，所以平面，又點在側(cè)面及其邊界上運動， 故點的軌跡為平面與平面的交線段故選a2【解析】（1）如圖，連接，由正方體的性質(zhì)可知，又，平面，又平面，.（2）所求g點即為a1點，證明如下：由（1）可知，取cd的中點h，連接ah，eh，如圖，由，可證df平面ahe，ae平面ahe，dfae.又，ae平面，即ae平面dfg.3【解析】

31、（1）在中，因為o，m分別是bd，pd的中點，所以ompb又om 平面pab, pb平面pab，所以om平面pab （2）因為底面abcd是菱形，所以bdac因為pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd又acpa=a，所以bd平面pac又bd平面pbd，所以平面pbd平面pac （3）因為底面abcd是菱形，且ab=2，bad=60°，所以，又，三棱錐的高為pa，所以，解得4【解析】（1）點為線段的中點.證明如下：取中點為，的中點為，連接，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，所以.又因為平面，平面，所以.又，所以平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）由，得.由（1

32、）可知，點到平面的距離為.的面積，則等腰三角形底邊上的高為.記點到平面的距離為，由，得，解得，故點到平面的距離為.5【答案】a【解析】如圖所示，為正三角形的中心，設為的中心，由題意知：平面，連結(jié)，則即為與平面所成的角.由題易知線段的中點為外接球的球心，設外接球的半徑為，則，.在正三角形中，.，.故選a.6【解析】（1）由，知，則，由平面，平面，得，由，平面，得平面，則點到平面的距離為一個定值，且.（2）設直線與平面所成的角為，由，可知，又平面，平面，故，又，則平面，則點到平面的距離為，由知點與點到平面的距離相等，則點到平面的距離為，由知，故.7【答案】b【解析】菱形abcd的邊長為1，將這個菱

33、形沿ac折成的二面角，取ac中點o，連結(jié)do，bo，bd，則，是將這個菱形沿ac折成的二面角的平面角，則，即，d兩點間的距離為故選b8【解析】（1）設平面平面，因為平面pbc，平面adp，所以，又因為，所以平面pbc，所以，所以，又因為m是ap的中點，所以n是dp的中點.（2）在平面abcd內(nèi)作，垂足為g，過g作于h，連接ah（如圖），因為平面平面pbc，所以平面pbc，則，又，所以平面pbc，則，所以平面，則，所以為二面角的平面角，易知，又，則，在中，易知，則，所以.即二面角的平面角的余弦值為.考點沖關1【答案】d【解析】由線面垂直的性質(zhì)定理知，垂直于同一個平面的兩條直線平行，a正確；由面面

34、垂直的性質(zhì)定理知，若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直，b正確；由面面平行的判定定理知，一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行，c正確；當一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條相互平行的直線垂直時，該直線與平面不一定垂直，d錯誤，故選d2【答案】d【解析】對于選項d，可能還有b，或者b在內(nèi)，所以d不正確3【答案】c【解析】連接ah并延長交bc于d，連接pd，papb,papc，pbpc=p pa平面pbc，則pabc，又ph平面abc，則phbc，又paph=p，bc平面pad，則bcad，同理abch，故垂足h是abc的垂心,選c4【答案】c【解析

35、】a中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正確；b中，若，平面可能平行也可能相交，不正確；c中，若，則分別是平面的法線，又，必有，正確；d中，若，平面可能平行也可能相交，不正確.故選c5【答案】b【解析】取ab的中點e,連接de,ce,因為adb是等邊三角形,所以deab當平面adb平面abc時，因為平面adb 平面abc=ab，所以de平面abc，可知dece.由已知可得de=3,ec=1，在rtdec中,cd=de2+ce2=2.6【答案】d【解析】因為平面，平面，所以，又因為所以可得平面，當點在線段上時，總有，所以的最大值為，最小值為，則線段長度的取值范圍是，故選d7【答案】a【解析】

36、如圖，取fg中點m，連接em，過點e作eo平面bcfg，連接fo，om，則efo為直線ef與平面bcfg所成的角，易知fm=1，om=1，ef=eg=5，所以em=2，oe=3，則sinefo=oeef=35=155.8【答案】b【解析】連接，取的中點，的中點，連接，易證明四邊形是平行四邊形，即，所以平面，所以正確；若四點共面，因為，所以平面，可推出，所以，這與已知相矛盾，故四點不可能共面，所以正確；連接，在梯形中，易得，又，所以平面，即，所以平面，則平面平面，所以正確；延長至，使得，連接，易得平面平面，過作于，則平面，若平面平面，則過作直線與平面垂直，其垂足在上，前后矛盾，故錯誤.綜上所述，

37、錯誤的個數(shù)是1.故選b9【答案】b【解析】如圖所示,取bc的中點p,連接ep,fp,由題意得bf=cf=2,所以pfbc又，所以epbc,所以epf為二面角e-bc-f的平面角,而，在epf中，,所以二面角e-bc-f的余弦值為74.10【答案】c【解析】因為在平面內(nèi)，且平行于平面，故a錯誤；平面即平面，又平面與平面斜相交，所以在平面內(nèi)不存在與平面垂直的直線，故b錯誤；平面即平面，平面與平面是確定的平面，所以二面角的大小不改變，故c正確；平面即平面，點到平面的距離為定值，故d錯誤.故選c11【答案】直角三角形【解析】平面pab平面pbc，平面pab平面pbc=pb,pbbc,bc平面pbc，b

38、c平面pab，bcab，abc為直角三角形，故答案為直角三角形.12【答案】135【解析】過a作ahde,因為平面ade平面bcd，且平面ade平面bcd=de,ah平面bcd，ahbc,又adbc,bc平面ade, bcae ,ae=3×45，ad=1，de=135.13【答案】30°.【解析】如圖所示，連接ad，由題意可知即為直線和平面所成的角.不妨設，則，則，即直線和平面所成的角的大小是.14【答案】1【解析】在三棱錐pabc中，因為pa底面abc，bac90°，所以ab平面apc.因為ef平面pac，所以efab，因為efbc，bcabb，所以ef底面ab

39、c，所以paef，因為f是ac的中點，e是pc上的點，所以e是pc的中點，所以.15【答案】pc【解析】由相關定理可知，bdpc.當dmpc時，則有pc平面mbd.而pc平面pcd，所以平面mbd平面pcd.所以應填pc.16【解析】（1）因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面.（2）因為為等邊三角形，所以，因為，平面，平面，所以平面.因為點在線段上，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為四邊形為菱形，所以，所以.17【解析】（1）如圖，分別取pd的中點m，ea的中點n.連接mh，ng，mn，因為g，h分別為be，pc的中點，所以，因為ab與cd平行且相等，所以mh平行且等

40、于ng，故四邊形ghmn是平行四邊形.所以gh/mn.又因為gh平面pdae，mn平面pdae，所以gh/平面pdae.（2）因為pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc.因為bccd，pdcd=d，所以bc平面pcd.因為f，h分別為pb、pc的中點，所以fh/bc.所以fh平面pcd.因為fh平面fgh，所以平面fgh平面pcd.18【解析】（1）如圖，連接，是的中點，則四邊形是平行四邊形，.又，又平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）由（1）知平面平面，又平面平面，平面，平面，則為直線與平面所成的角，在中，.故直線與平面所成角的正切值為.19【解析】（1）連接bd，則bdac.

41、，mnac，bdmn，dd1平面abcd，mn平面abcd，dd1mn，mn平面bdd1 b1.無論p在dd1上如何移動，總有bp平面bdd1 b1，總有mnbp.（2）存在點p，且p為dd1的中點，使得平面apc1平面a1acc1.證明如下：由題意可得bdcc1，又bdac，accc1=c，bd平面a1acc1.連接，與的交點為e，連接pe，則pebd，pe平面a1acc1.又pe平面apc1，平面apc1平面a1acc1.20【解析】（1）因為afbf，afb60°，所以為等邊三角形又g為fb的中點，所以agfb在等腰梯形abcd中，e、f分別是cd、ab的中點，所以efab于是

42、efaf，efbf，又afbf=f，所以ef平面abf，因為ag平面abf，所以agef.又efbf=f，所以ag平面bcef. （2）如圖，連接cg，因為在等腰梯形abcd中，cd2，ab4，e、f分別是cd、ab中點，g為fb的中點，所以ecfgbg1，則四邊形cgfe是平行四邊形，從而cgef.因為ef平面abf，所以cg平面abf.過點g作ghab于h，連接ch，則chab，所以chg為二面角cabf的平面角. 在中，bg1，gbh60°，所以gh32.在中，cgbg，bg1，bc2，所以cg1.在中，可得，所以二面角cabf的正切值為.21【解析】（1）四邊形abcd為矩形

43、,abbc,又bfbc,ab,bf是平面abf內(nèi)的兩條相交直線,bc平面abf,af平面abf,bcaf.（2）在ce上取一點m,使cm=bf,連接fm,bf/ce,bf/cm,四邊形bcmf為平行四邊形,mfbc,mf ad,四邊形admf為平行四邊形,af/dm,dm平面dce,af平面dce,af/平面dce.（3）bcab,bcbf,abf就是二面角e-bc-a的平面角,abf=120,bf=2,ab=1,ad=5,af=ab2+bf2-2abbfcosabf=7,在直角adf中,df=ad2+af2=23,過f作fn與ab的延長線垂直,n是垂足,連接nd，在rtfnb中,fn=3,b

44、c平面abf,bc平面abcd,平面abf平面abcd,fn平面abcd,fdn是直線df與平面abcd所成的角,在rtfdn中,fdn=30.則直線df與平面abcd所成的角為30.直通高考1【答案】b【解析】如圖，為中點，連接vg，在底面的投影為，則在底面的投影在線段上，過作垂直于于e，連接pe，bd，易得，過作交于，連接bf，過作，交于，則，結(jié)合pfb，bdh，pdb均為直角三角形，可得，即；在rtped中，即，綜上所述，答案為b.【名師點睛】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數(shù)知識

45、求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角，未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法.2【答案】c【解析】根據(jù)三垂線定理的逆定理，可知平面內(nèi)的線垂直于平面的斜線，則也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，a.若，那么，很顯然不成立；b.若，那么，顯然不成立；c.若，那么，成立，反過來時，也能推出，所以c成立；d.若，則，顯然不成立，故選c.【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.3【答案】b【解

46、析】設o為三角形abc中心，則o到pq距離最小，o到pr距離最大，o到rq距離居中，而三棱錐的高相等，因此，所以選b4【答案】【解析】作分別垂直于，平面，連接，由題意可知，平面，又平面，又易知，為的平分線，又，【名師點睛】本題主要考查學生空間想象能力，合理畫圖成為關鍵，準確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關系，利用勾股定理解決注意畫圖視角選擇不當，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關系，問題則很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關系利于觀察，解題事半功倍5【解析】（1）因為d，e分別為bc，ac的中點，所以edab.在直三棱柱abca1b1c1

47、中，aba1b1，所以a1b1ed.又因為ed平面dec1，a1b1平面dec1，所以a1b1平面dec1.（2）因為ab=bc，e為ac的中點，所以beac.因為三棱柱abca1b1c1是直棱柱，所以cc1平面abc.又因為be平面abc，所以cc1be.因為c1c平面a1acc1，ac平面a1acc1，c1cac=c，所以be平面a1acc1.因為c1e平面a1acc1，所以bec1e.【名師點睛】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.6【解析】（1）由已知得adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg確定一個平面，從而a，

48、c，g，d四點共面由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge又因為ab平面abc，所以平面abc平面bcge（2）取cg的中點m，連結(jié)em，dm.因為abde，ab平面bcge，所以de平面bcge，故decg.由已知，四邊形bcge是菱形，且ebc=60°得emcg，故cg平面dem因此dmcg在dem中，de=1，em=，故dm=2所以四邊形acgd的面積為4【名師點睛】本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問題，考查考生在折疊過程中哪些量是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，突出考查考生的空間想象能力. 7【解析】（1）因為平面abcd，所以又因為底面abcd為菱形

49、，所以所以平面pac（2）因為pa平面abcd，平面abcd，所以paae因為底面abcd為菱形，abc=60°，且e為cd的中點，所以aecd所以abae所以ae平面pab所以平面pab平面pae（3）棱pb上存在點f，使得cf平面pae取f為pb的中點，取g為pa的中點，連結(jié)cf，fg，eg則fgab，且fg=ab因為底面abcd為菱形，且e為cd的中點，所以ceab，且ce=ab所以fgce，且fg=ce所以四邊形cegf為平行四邊形所以cfeg因為cf平面pae，eg平面pae，所以cf平面pae【名師點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8【解析】（1）連接，易知，.又由，故.又因為平面pad，平面pad，所以平面pad.（2）取棱pc的中點n，連接dn.依題意，得dnpc，又因為平面平面pcd，平面 平面，所以平面pac，又平面pac，故.又已知，所以平面pcd.（3）連接an，由（2）中平面pac，可知為直線與平面pac所成的角，因為為等邊三角形，cd=2且n為pc的中點，所以.又，在中，.所以，直線ad與平面pac所成角的正弦值為.【名師點睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的