(完整word版)全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練講座：第十八講由中點(diǎn)想到什么

1、N,連結(jié) MN 則 AB 與 MN 的關(guān)系是（）第1頁(yè)（共8頁(yè)）蘭州第十中學(xué)數(shù)學(xué)組2013年最新八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第十八講由中點(diǎn)想到什么線段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對(duì)稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中 點(diǎn)想到什么？常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：1 中線倍長(zhǎng)；2 作直角三角形斜邊中線；3.構(gòu)造中位線；4構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形等.熟悉以下基本圖形，基本結(jié)論：鳥(niǎo)4且例題求解【例 1】 如圖，在厶 ABC 中，/ B=2/ C, AD 丄 BC 于 D, M 為 BC 的中點(diǎn)，AB=10cm,貝

2、U MD 勺長(zhǎng)為_(kāi)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥 取 AB 中點(diǎn) N,為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運(yùn)用創(chuàng)造條件.注 證明線段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：（1） 利用直角三角斜邊中線定理；（2） 運(yùn)用中位線定理；（3）倍長(zhǎng)（或折半）法.【例 2】 如圖，在四邊形 ABCD 中，一組對(duì)邊 AB=CD 另一組對(duì)邊 AX BC 分別取 AD BC 的中點(diǎn) M第2頁(yè)（共8頁(yè)）A . AB=MN B . ABMN C. AB ABC 的中線,（2003 年廣西中考題）2.如圖， ABC 中、BC= a,中點(diǎn),則旺2（|a）D、E1;分另【J是 A

3、B:若 D3、E3分別是AC 的中點(diǎn),則D1E1DB E2C 的中點(diǎn).則a;若 D2、E2分別是 DB E1C 的21 37D3E3(a a) a若 Dn3 32 48En 分另【J是 D-1B、En-1C 的中點(diǎn),貝UDnEn= （n 1 且 n 為整數(shù)）.(200l年山東省濟(jì)南市中考題）3如圖, ABC 邊長(zhǎng)分別為 AD=14 BC=I6, AC=2Q P 為/ A 的平分線AD 上一點(diǎn)，且 BP 丄 AD, M 為 BC 的中點(diǎn)，則PM 的值是4.如圖,梯形 ABCD 中, AD/ BC,對(duì)角線 ACL BD, AC=5cm BD=12cm 則該梯形的中位線的長(zhǎng)等于cmDMpt第5頁(yè)（共

4、8頁(yè)）5.如圖，在梯形 ABCD 中, AD/ EF/ GH/ BC, AE=EG=GB=AD=18BC=32 貝 U EF+GH=()A . 40 B . 48 C 50 D . 566. 如圖，在梯形 ABCD 中, AD/ BC, E、F 分別是對(duì)角線 BD AC 的中點(diǎn)，若 AD=6cm BC=18cm，則 EF 的長(zhǎng) 為（）A . 8cm D . 7cm C . 6cm D . 5cm7.如圖，矩形紙片 ABC沿 DF 折疊后，點(diǎn) C 落在 AB 上的 E 點(diǎn)，DE DF 三等分/ ADC AB 的長(zhǎng)為 6，則梯 形ABCD 的中位線長(zhǎng)為（）A.不能確定B . 23C ., 3D .

5、,3+1（2001 年浙江省寧波市中考題）&已知四邊形 ABCD 和對(duì)角線 AG BD,順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ 給出以下 6 個(gè)命題:若所得四邊形MNPQ矩形，則原四邊形 ABCD 為菱形；若所得四邊形MNPQ菱形，則原四邊形 ABCD 為矩形；若所得四邊形MNPQ矩形，貝 U AC 丄 BD若所得四邊形MNPQ菱形，貝 U AC=BD若所得四邊形MNPQ矩形，則/ BAD=90 ;若所得四邊形MNPQ菱形，貝 U AB=AD以上命題中，正確的是（）A. B . C .D .（2001 年江蘇省蘇州市中考題）9.如圖，已知 ABC 中，AD 是高，CE 是中線，DC=BE D

6、GL CE, G 為垂足.求證：（1）G是 CE 的中點(diǎn)；（2003 年上海市中考題）10 .如圖，已知在正方形 ABCD 中, E 為 DC 上一點(diǎn)，連結(jié) BE,作 CF 丄 BE 于 P,交 AD 于 F 點(diǎn)，若恰好使得AP=AB 求證：E 是 DC 的中點(diǎn).4 It)An第6頁(yè)（共8頁(yè)）11.如圖，在梯形/ ABCa n _（1）求證：EF= FB;（第毎、11（2）SBCE能否為 S梯形ABCD的??？若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB 與 CD 的關(guān)系.312 .如圖，已知 AGL BD, AF 丄 CE BD CF 分別是/ ABC 和/ ACB 的角平分線,若 BF=2, ED=3

7、GC=4 則厶ABC 的周長(zhǎng)為（2002 年四川省競(jìng)賽題）13.四邊形 ADCD 勺對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) F，M N 分別為 AB CD 中點(diǎn)，MN 分別交 BD AC 于 P、Q,/ FPQ=ZFQP 若 BD=1Q 貝 U AC=（重慶市競(jìng)賽題）CP 的長(zhǎng)是B/ CD 以14 .四邊形 ABCD 中, ADBC C、F 分別是 AB CD 的中點(diǎn)，AD BC 的延長(zhǎng)線分別與EF 的延長(zhǎng)線交于 H、G,則/ AHE / BGE 填“”或“=”或“ ”號(hào))15.如圖,在厶 ABC 中,DC=4 BC 邊上的中線 AD=2, AB+AC=3V7，貝 U SAABC等于(A.1516.如圖

8、,B .旦2正方形 ABCD 中,.2、3AB= 8,D. 口2Q 是 CD 的中點(diǎn)，設(shè)/ DAQa,在 CD 上取一點(diǎn)P,使/ BAP= 2a,A. 1 DACED DC 的延長(zhǎng)線交 BE 于 F.-.317.如圖，已知 A 為 DE 的中點(diǎn)，設(shè) DBG ABC EBC 的面積分別為 Si, S,貝US、S2、Q 之間的關(guān)系式是（）A3,、113A.S22（SiS3）B .S22（S3Si）C .S22（SiS3）D .S22（S3Si）18.如圖，已知在厶 ABC 中，D 為 AB 的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng) GA GB 到 E、F,使 DE=DF 過(guò) E、F 分別作 GArGB的垂線，相交于點(diǎn) P

9、.求證：/ PAE=ZPBF.（2003 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）19. 如圖，梯形 ABCD 中, AD/ BC, AC 丄 BD 于 Q 試判斷 AB+CD 與 AD+BC 勺大小，并證明你的結(jié)論.（山東省競(jìng)賽題）20.已知： ABD 和 ACE 都是直角三角形，且/ ABD2ACE=90 .如圖甲，連結(jié) DE,設(shè) M 為 D 正的中點(diǎn).（1） 求證：MB=M；（2） 設(shè)/ BAD=/ CAE 固定 ABD讓 Rt ACE 繞頂點(diǎn) A 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問(wèn)：MB MC 是否還能成立？并證明其結(jié)論.（江蘇省競(jìng)賽題）第MAE)第8頁(yè)（共8頁(yè)）DD,垂足分別為 ArB1、CrD.21

10、.如圖甲，平行四邊形ABCD 外有一條直線MN 過(guò) ArB CrD4 個(gè)頂點(diǎn)分別作 MN 的垂線 AA、BB、CC、(1)求證 AA+ CCi= BBi+DD;(2)如圖乙，直線 MN 向上移動(dòng)，使點(diǎn)A 與點(diǎn) B、C、D 位于直線 MN 兩側(cè)，這時(shí)過(guò) A、B、C、D 向直線 MN 引垂線，垂足分別為 A、Bi、C、D,那么 AA、BB、CC、DQ 之間存在什么關(guān)系？(3)如圖丙，如果將 MN 再向上移動(dòng)，使其兩側(cè)各有 2 個(gè)頂點(diǎn)，這時(shí)過(guò) A、B C D 向直線 MN 引垂線，垂足分別為 A、B、C、D,那么 AA、BB、CC、DD 之間又存在什么關(guān)系？用用圖乙用丙3由中點(diǎn)測(cè)什么【例求鮮1AZD

11、NM-ZC-Z得J屜第7頁(yè)(共8頁(yè))第10頁(yè)（共8頁(yè)）M1& U建姑中點(diǎn)兒連絡(luò)絡(luò)Mlf&L血沖點(diǎn)fcM 4(2) FG-y(B+C-fiO. Si-SMBte AG,AF BCT H.K*則NF-嵐幾人刃尸恵円為甘-R(5.MHC,FO-y/IK - +( (8KEH)寺MMAC-BCMJJFG.pBCmAin*Ms iiiABEJft其申成R*ntBMJt.fiMR =yAEMtt尺皿卩川、。尺甘掰為四邊雜MDE ft邊中點(diǎn)BIN邊幣PhQR為平軒興爾秋RN.%互相平加VLPQ的中點(diǎn)，A L為WJV的中點(diǎn).中點(diǎn)丄分辭舟MN曲曲的中必二Ki.y MR& KLyrt.【學(xué)

12、力Ml練】y過(guò)M UEM交HC廷檜樓于罩燃=HS.C *. C F|-3C-AD)人B S. BK ft PF, D-BE U1.過(guò)A 1TAQLAJF：TG評(píng)磚長(zhǎng)交BT干?鼻?沖BC申貞，可證明 3 陽(yáng)盜3心IW BGYA寺 CgF：為門中點(diǎn)11* H) )連AE交DC于O.MjAO=EQJ- DC/AH,AEF-iiF建AB=2BC時(shí)二*頭11. 30 FG-3DE-6fB6-B*CF= A仁1 10 d AD中AE, fttt ME.NK, 11 MF-NE14- AME.ABNF均為尊超三驚最甲三PAEZPHF.|. AB+CDAD+BC AB中點(diǎn)Mm中直M7V.I4 OM= yAB.OJV= yCD. WV= y (AO+ BC),OM4- OMN. -J- Cfi*rD)y(AP+C) )，St AB+COAD+ Bf工心(I)產(chǎn)隹JfV St CE于？由BM=(：M=MV( (2) )MU=MC羽繼卓危，取AD中點(diǎn)0ME申AQHi PBMPCQ.MQ, MP * AECQ MQ -BP,Z BPM=ZWQC曲PBMmQMC礙MB 逐第設(shè)它釘變于點(diǎn)O*it OffcOO：丄MM T O. . W A AA, 1M.-V.CC,丄斷以A兒#CX：】.從ffll AA +CXt-2OO,，WJlBB1+DD1-=2O