數(shù)值分析上機實驗——插值

1、庶爾牘n理2厚賣 驗 報 告課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱插值實驗實驗類型上機實驗學(xué)吋2班級20111131學(xué)號2011113130姓名張振指導(dǎo)教師沈艷實驗室名稱理學(xué)樓407實驗時間2013.10.11實驗成績預(yù)習(xí)部分實驗過程 表現(xiàn)實驗報告 部分總成績教師簽字日期哈爾濱工程大學(xué)教務(wù)處制實驗一插值實驗一.插值法的基本思想1 .lagrange插值多項式的基本思想及公式：lagrange插值多項式的基本思想是把多項式的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化成n+1個基函 數(shù).（x）的構(gòu)造。其公式如下：l”（x）二外仏.其中 ljx）=（7）（f）（f m）用0,1,n.（耳_兀0）（忑（"一忑+j（耳-斗）2.ne

2、wton插值多項式基本思想及公式：newton插值多項式是lagrange插值多項式的改進(jìn)，是由基函數(shù)1, （xx°）,，（xxo）.（xx“_）逐次地推得到的多項式。其公式如下：p“(x) = ao+a】(xxo)+ art (x-x0).(x-xw_1). 其中 = fxo，x,xr ,k=0,l,n.3.hermite插值的基木思想及公式：hermite插值不僅滿足各插值點上函數(shù)值相等，而且各節(jié)點上導(dǎo)數(shù)值也想等, 甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等。在這里只給出兩種典型的hermite插值： p(x) = f(x()+fx0,x)(x-x()+ fx(),xl,x2(x-x0)(x-xi)+

3、a(xx0)(x-x!)(x-x2) 其屮系數(shù) a二 f'(xjfxo，x|fxo，x|,x2(x|xo)八 八(xj -x 0)(x, -x2 )余項 r(x)=lf(4)( © ) (xx()(xx j2(xx2).4!其中(1 + 2x-xi *xoj-州丿/、/ 、21 + 2 兀一 x。i ®x)l坷-“0丿h°(x)h (兀)=/ 、2【x- xxho（兀）=（兀一兀o）衛(wèi)0 一州丿h (%) = hq(x)yq + /?j (x)y +(兀)幾+h(x)y、2w1(x) = (x-x1)余項r3(x) = f(x)-h3(x)=(x-x0)2

4、(x-x()2 兵(a,b)4 三次樣條函數(shù)s(x)wl a,b，且在每個小區(qū)間抹沖鬥上是三次多項式，其中a =x0<x1<.< xzj = b是給定節(jié)點，則稱s(x)是節(jié)點x()x.x“上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點上給定函數(shù)yj二 f(x7.).(j=o, 1,.,n),并成立 s(xy. )=y . .(j= 0, 1,., n),則稱 s(x)為三次樣條插值函 數(shù)。二實驗題目及實驗?zāi)康?. (第2章習(xí)題20)給定數(shù)據(jù)表如下：x/0.250.300.390.450.53y；0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值s (x),并滿足條件：(

5、1) s (0.25) =1.0000, s (0.53) =0.6868；(2) s" (0.25) =s (0.53) =0.2. (第2章計算實習(xí)題3)下列數(shù)據(jù)點的插值x01491625364964y012345678可以得到平方根函數(shù)的近似，在區(qū)間0,64上作圖。(1)用這9個點作8次多項式插值l* (x).(2)用三次樣條(第一邊界條件)程序求s (x).從得到結(jié)果看在0,64上，哪個插值更精確；在區(qū)間0,1上，兩種插值哪個更精 確？三.實驗手段：指操作環(huán)境和平臺:'¥ir)7系統(tǒng)b* matlab r2009a程序語言：一種類似c語言的程序語言，但比c語

6、言要寬松得多，非常方便。四程序1.三次樣條插值程序：function y = scyt(x0, yo, x)n = length(xo)； m = length(x)；y = zeros(1# m)；p(n) = 0; q(l) = 1; d(l) = zl.oooo; d(n) = 0.6868;for k = 2：n-1,h(1) = xo(k) - xo(k-1) ； h(2) = xo(k+1) - xo(k)；p(k) = h(l) / (h(l) + h(2);q(k) = h(2) / (h(l) + h(2);d(k) = 6* ( (yo (k+l) - yo (k) ) /

7、h(2) - (yo (k) - yo (k-1) ) / h(l) ) / (h(l) + h (2)； endb(l) = q(l) / 2;for k = 2 zn-l,b(k) = q(k) / (2 - p(k)*b(k-1)；endtemp(1) = d(1) / 2；for k = 2 zn-l,temp (k) = (d (k.) p (k) *temp (k-1) )/ (2 - p (k) *b (k-1)；endm(l) = 0;m(n) = 0;for k =1：-1：2,m(k) = temp(k) - b(k)*m(k+l)； endfor i = 1：m#for

8、k = 1：n-l,if (x(i) >= xo(k) && (x(i) <= xo(k+1),h = xo(k+1)- xo(k)；y(i)= m(k)*(xo(k+1)- x(i)3 / (6*h)x(i) )/h)-xo(k)/h)；+ m (k+1)*(x(i)- xo(k)a3 / (6*h)+ (yo(k) m(k)*h“2 / 6)*(xo(k+1) + (yo(k+1) - m(k+1)*h2 / 6)*(x(i) endendend 控制臺輸入代碼：x0= 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53;y0= 0.5000 0.5477 0.6

9、245 0.6708 07280; x= 0.25:0.02:0.53;y=scyt(xo z yo z x)2. 拉格朗日插值程序：function y=lagrange(xo,yo,x) n=length(xo)；m=length(x)； for i=l:mz=x(i);s=00;for k=l:np=1.0;for j =1：nif j =kp=p*(z-xo(j)/(xo(k)-xo(j );endends=p*yo(k)+s；endy (i)=s；end三次樣條插值程序：function y = scyt(xo, yo, x)n = length(xo)； m = length(x)

10、；y = zeros(1, m)；p (n) = 0 ； q (1) = 0 ； d (1) = 0 ； d (n) =0 ；for k = 2h(1) = xo(k)- xo(k-1)； h(2) = xo(k+1)- xo(k)；p(k) = h(l) / (h(l) + h(2);q(k) = h(2) / (h(l) + h(2);d(k) = 6*(y0(k+l) - y0(k)/h(2) - (yo(k) yo(kl) / h(l) ) / (h(l) + h (2)；endb(l) = q(l) / 2；for k = 2：n-1,b(k) = q(k) / (2 p(k)*b(

11、k-l);end temp(1) = d(1) / 2 ；for k = 2：n,temp(k) = (d(k)- p(k)*temp(k-1)/ (2 - p(k)*b(k-1)；endb(k)*m(k+1)；m(n) = temp(n)； for k = n-1：-1：1,m (k) = temp(k) end for i = 1:m,for k = 1：n-l,if (x(i)>= xo(k) && (x(i) <= xo(k+1),h = xo(k+1)- xo(k)；y(i) = m(k)*(xo(k+1)- x(i)a3 / (6*h)+ m(k+1)*

12、(x(i)- xo(k)人3/(6*h)+ (yo(k)- m(k)*hx2 / 6)*(xo(k+1)- x(i)/h)+ (yo (k+1) puk+lphy / 6 ) * ( (x (i)- xo (k) ) /h)；endendend 控制臺輸入代碼：x0= 0 1 4 9 16 25 36 49 64;y0= 0 1234567 8;x= 0:4 : 64;yl=sqrt(xo)plot(xo,yl)hold ony2 = lagrange(xo z yo z x)plot(x,y2,1r1)hold ony3= scyt(xo, yo, x)plot(x,y3,'g*)五.實驗結(jié)果比較與分析1.圖像:分析與結(jié)果：從圖像上看，用三次樣條插值得到的擬合曲線比較完美，無“龍格”現(xiàn)彖出現(xiàn)。2.圖像比較:0,1區(qū)間上圖像放大結(jié)果