艾滋病療法的評價(jià)及療效的預(yù)測4數(shù)學(xué)建模全國賽優(yōu)秀論文

1、艾滋病療法的評價(jià)及療效的預(yù)測（軒轅楊杰整理）摘要艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)hiv的數(shù)量，同時產(chǎn)牛更多的cd4, 至少要有效地降低cd4減少的速度，以提高人體免疫能力.對于問題1,我們通過對題屮所給的附件1里的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類排序分析對 cd4和h1v的數(shù)據(jù)按照時間（周）從小到大進(jìn)行排序，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù) 序列，對于每個時間點(diǎn)cd4的數(shù)據(jù)，我們分別求其平均值，并對于人數(shù)較多的時 間對應(yīng)的cd4的值，從中挑出來，作成表格和圖形，找出其極大值、極小值和穩(wěn) 定值的一組數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色預(yù)測模型進(jìn)行假設(shè)，建立相應(yīng)的微分方程模型進(jìn)行預(yù) 測，運(yùn)用mat lab軟件計(jì)算我們需要的數(shù)據(jù)，從而找出極大值、極

2、小值和穩(wěn)定值 岀現(xiàn)的時間點(diǎn)（周）對應(yīng)于h1v,我們做同樣的分析.最后我們綜合分析得到結(jié) 論：病人在測試用藥的40周后的第28周停止用藥最好.對于問題2,我們對題中附件2里的數(shù)據(jù)先按療法分為4類，再分別將每一 類療法的數(shù)據(jù)按年齡排序，分為3個階段，挑選出對我們有價(jià)值的數(shù)據(jù)，求其平 均值，并對于人數(shù)較多的時間對應(yīng)的cd4的值，從屮挑出來作成表格和圖形，對 這些階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們得岀第4種療法最優(yōu).然后對療法4的所有數(shù)據(jù) （不分年齡）進(jìn)行總體分析，再運(yùn)用灰色模型，建立和應(yīng)的微分方程模型進(jìn)行預(yù) 測，運(yùn)用mat lab軟件計(jì)算我們需要的數(shù)據(jù)，從而找出極大值、極小值和穩(wěn)定值 出現(xiàn)的時間點(diǎn)（周）最終我

3、們得到如下結(jié)論：病人在第52周時停止用藥最好.對于問題3,治療費(fèi)用的多少直接影響到病人對療法的選擇，我們運(yùn)用層次 分析法，第一步構(gòu)建層次分析模型；第二步求本層次耍素相對于上一層次耍素的 權(quán)重；第三步運(yùn)用和法求判斷矩陣的特征向量；第四步計(jì)算最大特征值，對判斷 矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)；第五步綜合計(jì)算結(jié)果，最終得到結(jié)論：接受療法1是病人 最滿意的療法.關(guān)鍵詞:灰色預(yù)測模型 層次分析法iiiv的濃度cd4的值 殘差檢驗(yàn)一、問題重述艾滋病是由艾滋病毒引起的這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗 各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的牛命.人類免疫系統(tǒng)的cd4細(xì)胞在抵御hiv 的入侵中起著重要作用，當(dāng)cd4被hi

4、v感染而裂解吋，其數(shù)量會急劇減少，hiv 將迅速增加，導(dǎo)致aids發(fā)作.艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)hiv的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的cd4, 至少要有效地降低cd4減少的速度，以提高人體免疫能力.迄今為止人類還沒有找到能根治aids的療法，目前的一些aids療法不僅對 人體有副作用，而口成本也很高許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好 的aids療法現(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)actg公布的兩組數(shù)據(jù).我們要解決的問題是：1、利用題中所給附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療 終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則 可選擇提前終止治療）.2、利

5、用題屮所給附件2的數(shù)據(jù)，評價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以cd4為標(biāo)準(zhǔn)）， 并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間.3、艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達(dá)國家理供的藥品價(jià)格如下：600mg zidovudine 1. 60 美元，400mg didanosine 0. 85 美元，2. 25 mg zalcitabine 1. 85 美元，400 mg nevirapine 1. 20美元.如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對2 屮的評價(jià)和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變.二、問題分析問題1是依據(jù)同時服用zidovudine, lamivudinc和indinavir這3種藥物 的300多名

6、病人每隔幾周測試的cd4和h1v的濃度（每毫升血液里的數(shù)量），預(yù) 測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間我們運(yùn)用灰色預(yù)測模型gm （1, 1）模型來進(jìn)行假設(shè)，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過灰色模型和相應(yīng)的計(jì)算來預(yù)測 未來時間里cd4和htv的濃度及相關(guān)數(shù)據(jù).灰色預(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展 趨勢的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動 的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù) 測事物未來發(fā)展趨勢的狀況.問題2是將1300多名病人分為4組，每組按4種療法中的一種服藥，大約 每隔8周測試一次cd4的濃度.最后評價(jià)4種療法的優(yōu)劣，并對較優(yōu)的療法預(yù)

7、測 繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間我們運(yùn)用灰色預(yù)測模型，來預(yù)測 4種療法的治療效果，即我們要通過數(shù)據(jù)找到規(guī)律，通過相應(yīng)的計(jì)算（運(yùn)用excel 軟件）來預(yù)測未來時間里4種療法在不同年齡段cd4的濃度及相關(guān)數(shù)據(jù)，找到哪 一種療法療效較好，與問題1的方法相同，運(yùn)用灰色模型預(yù)測出繼續(xù)治療的效果.問題3中病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，第1種療法病人第一個月需花費(fèi)48美元，第2個月需花費(fèi)25. 5美元，以后兩種療法交替進(jìn)行，每兩個月需花費(fèi) 73. 5美元；第2種療法病人每月需花費(fèi)103. 5美元，每兩月需花費(fèi)207美元； 第3種療法病人每月需花費(fèi)73. 5美元，每兩月需花費(fèi)147美元；第4種療法病

8、 人每月需花費(fèi)109.5美元，每兩月需花費(fèi)219美元；因個人經(jīng)濟(jì)狀況的不同，這 4種療法費(fèi)用的多少可能會影響到病人選擇哪一種療法，對于此問題，我們需要 將這4種療法預(yù)測的治療效果和其所需費(fèi)用綜合考慮，運(yùn)用層次分析法進(jìn)行分 析，決定采取何種療法.三、模型假設(shè)1、對于題中附件1里的數(shù)據(jù)我們假設(shè)如下：將其按測試的時間排序，其中 在同一時間段測試結(jié)果數(shù)量少于30個的數(shù)據(jù)，我們忽略不計(jì)（例如，對于第六 周測試吋只有11個人，我們將把這十一個數(shù)據(jù)忽略）；2、假設(shè)題屮附件2里同一時間里的數(shù)據(jù)過少時，我們在計(jì)算時也將這些數(shù) 據(jù)忽略不計(jì)；3、假設(shè)影響病人治療的只有費(fèi)用和療效兩個因素，不考慮其它因素；四、符號定義

9、及說明1、x（°）為原始序列2、x為生成累加序列3、為相對殘差序列4、不為平均相對殘差5、d稱為發(fā)展系數(shù)6、弘稱為灰色作用量7、a為待估參數(shù)向量8、（）為絕對殘差序列9、cd4 （date）為測試cd4的時刻（周）10、log （cd4 count+1）為測得的 cd4 濃度11入和為最大特征值12、ci為檢驗(yàn)判斷矩陣一致性的指標(biāo)13、cr為一致性比例14、ri為修正系數(shù)15、人和舛為本層次的要素4和 （i, j二1,2，n） 16、c&為上一層次要素五、模型的建立與求解1、問題1:首先，我們通過對題中所給的附件1里的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類排序分析.對cd4和 iiiv的數(shù)據(jù)按照時間（

10、周）從小到大進(jìn)行排序，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列， 對于每個時間點(diǎn)cd4和hiv的數(shù)據(jù)，我們分別求其平均值，并對于人數(shù)較多的時 間及對應(yīng)的cd4和hiv的值，從中挑岀來，作成表格和圖形：c d 40204060cd 4h i v h i v204060表1 （不同時間點(diǎn)對應(yīng)的cd4和hiv的均值）吋間（周）c d 4吋間（周）h i v086. 0952405. 0269463137.773633. 0725494133.558443. 2404355129.754153. 0932207147. 934473.0803288152.38582.9566509173.281392. 58688

11、523203.0938223. 06250024179. 7246232.81451625169. 5593242.82963026192.1538252.52982539213.6538263. 42608740195.9894382.96428641174.8235392.720833402.710714413.117857423. 327273圖1 （cd4濃度隨時間的變化圖形）圖2 （hiv濃度隨時間的變化圖形）對于這兩個圖，我們?nèi)∷鼈兊漠惓Ｖ?，然后利用灰色模型預(yù)測下一個異常值 出現(xiàn)的時間。首先我們介紹一下灰色模型的知識?；疑Ｐ蛯?shí)質(zhì)是對原始數(shù)據(jù)序列作為一次累加生成，使生成序列呈一定規(guī)

12、律，并用典型曲線擬合，從而建立其數(shù)學(xué)模型.對已知原始數(shù)據(jù)列x® =嚴(yán))(1),少(2),，嚴(yán) s首先進(jìn)行一階累加，得新序數(shù)列為x二d)(l),d)(l) + x(2)，,兀+ + ,)()利用x(,)構(gòu)成下述白化形式的微分方程：dxdk+ ax(1) = u(1)其中a川是待定系數(shù)，利用最小二乘法求解參數(shù)y ,式中一*兀(1)+兀-如小y =嚴(yán))(2),嚴(yán))(3),，少5) 丁所以方程(1)的解為：丘仗+ 1)= x(,)(0)- £皿+蘭(其 + k=l, 2, 3，n)- a a取 x(,)(0) = x(0)(l),有£伙+ 1)= x(o)(l)-嚴(yán) +竺

13、(2)aa(其中k = l,2,3,),然后將求得的參數(shù)回代模型進(jìn)行精度檢驗(yàn).首先，取cd4的極大值所對應(yīng)的時間作成一組原始序列，其相應(yīng)的x和x如下:表2k1234cd4 (date)周392339原始數(shù)據(jù)x®392339累加后數(shù)據(jù)x3123577根據(jù)表2,可知x® =3,9,23,39,在此x(°)滿足：是極大值所對應(yīng)的人數(shù)較多，具有普遍性.構(gòu)造累加生成數(shù)列x。)=3,12,35,74,構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣b和數(shù)據(jù)向量y一占兀+兀一：兀(2) +兀(3)b 2一丄兀(3) +兀(4)-7.500011.=-23.5000 1 l -54.5000 11x(o,(2)y=

14、 ?o)(3)x(o)(4)9=2339計(jì)算/由mat lab計(jì)算得-0.6044 6.7361得a = -0.6217; w = 5.9478,然后計(jì)算得w/a =9.5670,將數(shù)據(jù)代入(2)式,得無伙+ 1) = 3 + 11.1451嚴(yán)曲-11.1451對于cd4的預(yù)測，我們代入數(shù)據(jù)分析：當(dāng)£ = 4時 免(4 +1) = 3 + 9.5670 e06217*4 一 9.5670 = 141.5228 x(0) (4 + 1) = x(,) (4 +1) 77 = 147.5474-77 = 70.547467. 5228-39 (39 周的序號)=28.5228即從開始用藥

15、到第2& 5228+40=68. 5228周時岀現(xiàn)極大值.下面取cd4的極小值點(diǎn)所對應(yīng)的時間作成一組原始序列表3k123cd4 (date)周52541原始數(shù)據(jù)x（°）52541累加后數(shù)據(jù)x53071下面取cd4的穩(wěn)定點(diǎn)所對應(yīng)的時間作成一組原始序列 表4k123cd4 (date)周92441原始數(shù)據(jù)x92441累加后數(shù)據(jù)x93374對它們進(jìn)行類似于對cd4的極大值的處理方法，可以得到：cd4出現(xiàn)極小值 點(diǎn)在測試用藥的40周后的第23. 850周及出現(xiàn)穩(wěn)定點(diǎn)在在測試用藥的40周后的 第44. 55周.接下來，取hiv的極小值所對應(yīng)的時間作成一組原始序列，其相應(yīng)的x®

16、和x如下:表5k1234hiv (date)周392540原始數(shù)據(jù)x392540累加后數(shù)據(jù)x3123777根據(jù)表3,可知x（°）=3,9,25,40，構(gòu)造累加生成數(shù)列x二3,12,37,77,構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣冋和數(shù)據(jù)向量x-7.50001-24.5000 1-57.0000 1-|k(,)(l) + x(,)(2)b =-|x(l)+ 0(3)+ d)(4) 2_?0)(2)"9 x(,)(3)=25*"(4)40計(jì)算'由mat lab計(jì)算得:-0.60446.7361得6z =-0.6044 u/ = 6.7361 ,計(jì)算得w/tz =-11.1451 將數(shù)

17、據(jù)代入(2)式，得丘伙 + 1) = 3 + 11.1451嚴(yán)馴-11.1451對于h1v的預(yù)測，我們代入數(shù)據(jù)分析：當(dāng)比=4時丘(4 +1) = 3 +11451 06044*4 一 11451 = 147.5474£()(4 +1)=無(4 +1) 77 = 147.5474-77 = 70.547470. 5474-40 (40 周的序號)=30. 5474即，hiv出現(xiàn)極小值點(diǎn)在測試用藥的40周后的第30周. 下面取htv的極大值點(diǎn)所對應(yīng)的時間作成一組原始序列表6k123hiv (date)周42642原始數(shù)據(jù)x（°）42642累加后數(shù)據(jù)x43072下而取hiv的穩(wěn)定

18、點(diǎn)所對應(yīng)的時間作成一組原始序列 表7k123456hiv (date)周478232440原始數(shù)據(jù)x（°）478232440累加后數(shù)據(jù)x411194268108對它們進(jìn)行類似于對hiv的極小值的處理方法，可以得到：hivtn現(xiàn)極大值 點(diǎn)在測試用藥的40周后的第23周及出現(xiàn)穩(wěn)定點(diǎn)在測試用藥的40周后的第20 周.綜合上面對問題一 cd4和h1v的預(yù)測，當(dāng)cd4有下降趨勢，hiv有上升趨勢 時就及時停止用藥為準(zhǔn)則，進(jìn)行綜合考慮，我們得岀結(jié)論：在測試用藥的40周 后的大約第28周時停止用藥.2、問題二：對于附錄二的數(shù)據(jù)，我們先對其按療法排序，再在每種療法中按年齡排序， 分別把各療法的數(shù)據(jù)分

19、成三個階段：青年（15歲一30歲），中年（30歲一50 歲），老年（50歲一70歲）繪岀各個階段各種療法效果的曲線圖：表8 （15歲一30歲各種療法效果）時間療法1時間療法2時間療法3時間療法402.885276502.66456402.69953802.66035972. 3672.57171873. 407673.05313382.82155382.45588482. 68145282.922688153.048387592.81862162.323462123. 096975162.46849152.785094173.091037152.926482172.770636162.4261

20、81202.58836163. 339975233.128983212.76035223. 12296173. 689525242.629217232.311942252.469834232. 98675263.192257242. 4273282. 76472243. 280473312. 95525252.753614322.157846312.968288322. 633262. 6458332. 6493323. 071557332.272513302. 193067392. 40634332.652983312.454525343. 13162322. 439893392. 5264

21、332.45088342. 24945352.41965392.558775對應(yīng)圖象如下:圖3 （療法1中cd4的曲線圖）圖4 （療法2中cd4的曲線圖）cd4 （療法1 ）cd4 （療法2）32.52.5 '21.5cd4（療仏1jj1. 51 cd4 （療法 2 ）10.50.5-0）102030400（1020304050圖6 （療法4屮cd4的曲線圖）圖5 （療法3屮cd4的曲線圖）cd4 （療法4 ）01020304050f-cd4 （療法 4 ）對于15歲到30歲，我們可由圖中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出療法4的cd4濃度的平均值 最大，其它依次為療法3,療法2,療法1,并且療法4中cd4

22、的方差最小，依 次為療法3,療法2,療法1,所以療法效果由好到差排序?yàn)椋函煼?,療法3, 療法2,療法1表9 （30歲一50歲各種療法效果）時間療法1時間療法2時間療法3時間療法402. 99921602. 9774402. 94439502. 8739162. 78228672. 8298173.37119273. 02129272. 96463383. 15114983.06132383. 25254182.93712492. 94047592. 9437193. 174338142.623222153. 091911132. 995992142. 944944153. 00148162.

23、920189142. 8784153. 461571162. 857395172. 873692153.090771163. 236929172.912648182.525738162. 963573173. 162113182.411288232.772151173. 2571232.914984192.145536242. 488135182.815439242. 944396232. 624111252. 565847202.418625253. 187663242.509352312.668779222. 696175303.375683252.801459322.759853232.

24、827146312.828146262. 64354332. 6525242.683149322.995426302.526175342. 762253.172161333. 000446312.765033353. 126842272. 680846392.663931322.504889392.462977303.015608402.635139332. 496461402.22785312.753107342. 49127322.691459352. 235275332. 9556382.410567342. 635508392.488143392.808205402. 2082403.

25、 2244對應(yīng)圖彖如下:圖7 （療法1中cd4的曲線圖）圖8 （療法2中cd4的曲線圖）cd4 （療法1 ）cdl （療法2）+ cd4©法 2）.圖9 （療法3屮cd4的曲線圖）圖10 （療法4屮cd4的曲線圖）cd4 （療法3）cd4 （療法3）cd4療法（4 ）t-cd4療法（4 ）對于30歲到45歲，我們可由圖中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出療法4的cd4濃度的平均值 最大，其它依次為療法3,療法2,療法1,并且療法4中cd4的方差最小，依 次為療法3,療法2,療法1,所以療法效果由好到差排序?yàn)椋函煼?,療法3,療法2,療法1表10 （50歲-70歲各種療法效果）吋間療法1吋間療法2吋間療法3

26、吋間療法403. 05456703. 3590303. 1941802.93508883.04168873. 097583. 4350783.827308163.19905683. 36821163.669967163. 762278172.775514153. 5212243. 13955243. 5007243.094467163. 30882273. 13955313. 13994262.581186172. 7019313.01272323.574617322.895667243. 42954323.772783393. 4711323.61185363.141567403. 4468

27、對應(yīng)圖象如下:對于50歲到70歲，我們可由圖中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出療法4的cd4濃度的平均值最大, 其它依次為療法3,療法2,療法1,并且療法4中cd4的方差最小，依次為療 法3,療法2,療法1,所以療法效果由好到差排序?yàn)椋函煼?,療法3,療法2, 療法1.綜上圖表，我們評價(jià)如下，不論在任何年齡段，4種療法總體療效由好到差 依次為：療法4,療法3,療法2,療法1,即第4種療法最優(yōu)，下面，我們確定 其最佳治療終止時間.對療法4的數(shù)據(jù)不分年齡，按照時間進(jìn)行排序，對各個時間點(diǎn)對應(yīng)的cd4 的數(shù)據(jù)求平均值，如果該時間點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)較多，把該時間點(diǎn)和所對應(yīng)的cd4 的值取岀來得到下表及所對應(yīng)的圖形：表1 (療法

28、4中l(wèi)og (cd4 count+1)的均值)時間log (cd4count+l)02.83564973.02882383. 24883793.317596153.301195163.299549173. 360405233. 024497243.064096263.194985303.176694312. 893515323. 0544332.919191342.783876392.736491402.957543首先，取cd4的極大值所對應(yīng)的時間作成一組原始序列，其相應(yīng)的和x如下：表12k1234cd4 (date)周9172432原始數(shù)據(jù)x (0)9172432累加后數(shù)據(jù)x (1)926

29、5082根據(jù)表12,可知x(°)=9,17,24,32,計(jì)算得到累加生成數(shù)列x(,) =9,26,50,82,以及數(shù)據(jù)矩陣盡和數(shù)據(jù)向量eb2 =-lx(,)(l) + x(1)(2) -*兀+ d)(3) -|x(1)+ 0(4)vo)(2)y2= x(o)(3)兀172432由mat lab軟件計(jì)算'得:_ -0.3079一 11.8639-17.5000 1-38.0000 1-66.0000 1則m/6z = -38.5317a = -0.3079 ;w = l 1.8639, 將數(shù)據(jù)代入(2)式，得鈔)(4 + 1) = 9 + 38.5317嚴(yán)°7旳一 3

30、8.5317 = 124.3456x(,) (4 +1) = f (4 +1) 77 = 124.3456-82 = 42.345642.3456-32= 10.3456即從開始用藥到第10.3456+40=50.3456周吋出現(xiàn)極大值點(diǎn).用同樣的方法，我們由本文的附錄5和附錄6得出極小值點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)出現(xiàn)時 的時間，預(yù)測在從用藥開始的第39+12.6145周二51.6145周出現(xiàn)極小值點(diǎn)，預(yù)測 在從用藥開始的第40+11. 5219周二51. 5219周岀現(xiàn)穩(wěn)定點(diǎn).綜上可得，病人在第52周時停止用藥最好3、問題三:對于該問題我們運(yùn)用層次分析法，層次分析模型如圖所示：圖15i目標(biāo)層i淮則層i方案層

31、求本層次耍素相對于上一層次要素的權(quán)重.方法是將本層次的要素4和勺1,）相對于上一層次要素按重要程度進(jìn)行兩兩比較,得成對比較矩陣（知）,呦美國運(yùn)籌學(xué)家s33ty給岀了要素兩兩比較吋，確定知值 的1-9標(biāo)尺，見表13:表13定義定義14和4同等重要2介于同等與略微重要之間3a較勺略微重要4介于略微與明顯重要之間54較明顯重要6介于明顯與十分明顯重要之間74較十分明顯重要8介于十分明顯與絕對重要z間94較絕對重要（1）、對4種療法相互做比較，將4種療法相對費(fèi)用因素（g）比較時，其勺值見表14：表14療法1療法2療法3療法4療法11859療法21/811/42療法31/5415療法41/91/21/5

32、1合計(jì)517/36027/2129/2017從此表得到成對比較矩陣為<18591/811/421/5415j/91/21/51注意表中主對角線數(shù)字a. = 1,且有a. = /air求成對比較矩陣的特征向量(冬,©)丁，該向量標(biāo)志要素人，&相應(yīng) 于上層要素$的重要程度的排序求特征向量可應(yīng)用線形代數(shù)中的方法，但一般 可應(yīng)用近似算法進(jìn)行.先對成對比較矩陣的每列求和得令%=如乞r，并計(jì)算得到j(luò)=17=1q = dj / h , b：j和g數(shù)字見表15. 7=1表15c1療法1療法2療法3療法4©療法1360/5178/(27/2)5/(129/20)9/170. 6

33、484療法21/8/(517/360)1/(27/2)1/4/(129/20)2/170. 0794療法31/5/(517/360)4/(27/2)20/1295/170. 2212療法41/9/(517/360)1/2/(27/2)1/5/(129/20)1/170. 0510由此表可得到歸一化矩陣360/5178/(27/2)5/(129/20)9/171/8/(517/360)1/(27/2)1/4/(129/20)2/171/5/(517/360)4/(2 刀 2)20/1295/171/9/(517/360)1/2/(27/2)1/5/(129/20)1/17下面我們計(jì)算最大特征值入

34、和，對成對比較矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)上述計(jì)算 得到的能否作為下層要素對上層某一要素排序的依據(jù)呢？需要檢驗(yàn)成對比較 矩陣中的勺值之間是否具有一致性，即vz, / = !,有5 = a)ja)j,因而成對比 較矩陣可寫為3a=nco2aw =nw這里/?為特征值當(dāng)成對比較矩陣完全一致時有入和=n,而當(dāng)成對比較矩陣 在一致性上存在誤差時有2max > n ,誤差越大，(入和-n)的值就越大.其中我們運(yùn)用mat lab軟件中的函數(shù)cig(a)計(jì)算出入疵層次分析法中用ci作為檢驗(yàn)成對比max較矩陣一致性的指標(biāo)，其中ci二益二n 1因成對比較矩陣的階數(shù)越大時，一致性越差，為消除階數(shù)對一致性檢驗(yàn)的 影響，

35、引進(jìn)修正系數(shù)ri,并最終用一致性比例cr的值作為成對比較矩陣是否 具有一致性的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)其屮cr=,當(dāng)計(jì)算得到cr值小于0.1時，認(rèn)為成ri對比較矩陣通過一致性檢驗(yàn). 代入數(shù)據(jù)1.000086622.931312.71370.12251.00000.35901.55690.34112.78591.00004.33730.07870.6484、0.07940.2212,0.0510 丿0.64230.23061.0000a用mat lab軟件屮計(jì)算出amax = 4.0003ci = (4.0003 - 4) / (4 -1) = 0.0001c/? = c/ = aoooi=ooooll236&

36、lt;()1 ri 0.89所以成對比較矩陣通過一致性檢驗(yàn).由該成對比較矩陣計(jì)算得到的權(quán)重向量函可作為療法1, 2, 3, 4相對于費(fèi)用因素的重要度依據(jù).（2）、用相同的方法可列岀4種療法相對于另一個因素的成對比較矩陣如下:<11/21/51/7211/41/65411/3<7631從而得到表16：表16療法1療法2療法3療法4療法111/21/51/7療法2211/41/6療法35411/3療法47631合計(jì)1523/289/2023/14表17療法1療法2療法3療法4©療法11/15(1/2)/(23/2)(1/5)/(89/20)(1/7)/(23/14)0. 06

37、05療法22/151/(23/2)(1/4)/(89/20)(1/6)/(23/14)0. 0945療法35/154/(23/2)1/(89/20)(1/3)/(23/14)0. 2772療法47/156/(23/2)3/(89/20)1/(23/14)0. 5678由表17,得到歸一化矩陣"1/15(1/2)/(23/2)(1/5)/(89/20)(1/7)/(23/14)2/151/(23/2)(1/4)/(89/20)(1/6)/(23/14)5/154/(23/2)1/(89/20)(1/3)/(23/14)遼/156/(23/2)3/(89/20)1/(23/14)用mdt

38、bb軟件屮計(jì)算出amax =4 = 2,成對比較矩陣是一致陣，通過一致性檢驗(yàn);（3）、計(jì)算得到相應(yīng)的權(quán)重向量，連同對g的權(quán)重向量列于表18：表18gc2療法10. 64840. 0605療法20. 07940. 0945療法30. 22120. 2772療法40. 05100. 5678以上成對比較矩陣均通過了一致性檢驗(yàn)最后列出c;, c?兩個準(zhǔn)則相對于目 標(biāo)的成對比較矩陣，并算出權(quán)重向量分為如下：r 13、1 1<3丿(0.7500)(0.2500丿用mat lab軟件計(jì)算出心x = 2 » ,成對比較矩陣是一致陣;接下來，綜合計(jì)算結(jié)果并對方案排序優(yōu)選；記si, s2, s3

39、, s4為4種療法相對 于用一種適合自己的療法的總目標(biāo)的得分/ 1、si0.6484 0.0605、0.5014、s20.0794 0.0945<0.7500、0.0832s30.2212 0.27720.2500,0.23520.0510 0.5678 ,01802丿按排序結(jié)果，療法1是病人最滿意的療法 下面進(jìn)行組合一致性檢驗(yàn)：(0.2500)=0.000025(0.7500丿/?/=(0.890.2500、0.7500丿= 0.89c)=0 + = 0.000028<0.1廠7由上面我們求的卅一，t =0 = 0.00002s<0,(0.5014)n noan通過了組合-

40、致性檢驗(yàn)，前面得到的組合向量02352可以作為最終決策依(0.1802丿據(jù).六、木吳型的檢驗(yàn)1、對問題一:殘弟檢驗(yàn)：首先，對cd4進(jìn)行檢驗(yàn)： 對于cd4,根據(jù)預(yù)測公式，計(jì)算x(°),得x(1) = 3,13.8339,34.0076,71.5729 累減生成x(0)序列為0。)=3,10.8339 ,20.1737, 37.5653,而原序列為x(0) =3,9,23,39 計(jì)算絕對殘差和相對殘差序列：絕對殘差序列：a(0)= 0,1.8339, 2.8263, 1.4347 ,由= %,= 1,2,可，其屮相對殘差序列:=0,0.2038,0.1229,0.0368并計(jì)算平均相對殘

41、差乖=丄乞得n /=!0.0909 <0，而0>6 = 0.0368 < 0.05 ,故可得出所建立的模型合格(見附錄4)下面，對hiv進(jìn)行檢驗(yàn)： 對于hiv,根據(jù)預(yù)測公式，計(jì)算x(°),得亡=3,14.7426,36.2334,75.5648 累減牛成 龍 序列為 0°)=3, 11.7426, 21.4908, 39.3314而原序列為 x<0) =3,9,25,40 計(jì)算絕對殘差和相對殘差序列：絕對殘差序列： (0) = 0,8.7426,3.5092,0.6686,由二厲,1=1, 2,，n,其中cd.=相對殘差序列：0 = 0, 0.971

42、4, 0.14036& 0.016715,并計(jì)算平均相對平均殘差不二0.06355575 <0.1,而§二0.016715 < 0.05 ,我 們可得此模型合格，接近優(yōu)秀，模型精確度較高.（見附錄4）2、對問題二： 對于療法4,我們根據(jù)預(yù)測公式，計(jì)算x（°）,得x（,） = 9,26.1383,49.4560,81.1813 累減生成 十 序列為 0°）=9,17.1383,23.3177,31.7253而原始序列為x（0） =9,17,24,32 計(jì)算絕對殘差和相對殘差序列：絕對殘差序列：a（0） = 0,0.1383,0.6823 ,0.2

43、747 ,由二%心 1,2, /,其屮相對殘差序列:<d =0,0.0081,0.0284,0.0086,并計(jì)算平均相對殘差0 = 0.0113 <0.05,模型合格，而06= 0.0086 <0.01 , 模型精確度最高.同理，將此檢騎方法運(yùn)用于極小值點(diǎn)，得平均相對殘差0 = 0.0252 <0.05, 模型合格；而& =0.0035v0.01,模型精確度高.運(yùn)用于穩(wěn)定值點(diǎn)時，模型也合 格.七、模型的評價(jià)對于問題一，首先我們對從題中所給的大量數(shù)據(jù)利用excel軟件按照時間分 別對cd4的濃度和hiv的值進(jìn)行升序排列，然后忽略人群較少cd4的濃度和 hiv,并口

44、對相同吋間點(diǎn)求均值.我們會因此得到比較符合實(shí)際的一組吋間與 cd4的濃度的列表和時間與hiv值的列表，并得到相應(yīng)的圖形.然后利用灰色模 型預(yù)測岀很準(zhǔn)確的結(jié)果.在對篩選過的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的過程中，有很多數(shù)據(jù)的處 理工作量很大，有進(jìn)一步合理改進(jìn)會大大提高效率.本模型可應(yīng)用到其他類似的 問題中.對于問題二，首先我們利用excel軟件按方案歸類，在每個方案中對年齡按 實(shí)際情況合理分為的三個年齡段，即青年，中年，老年.在每個年齡段中，按時 間篩選出比較符合實(shí)際的一組cd4濃度的數(shù)據(jù)，并得到其與時間對應(yīng)的圖形， 進(jìn)行比較符合實(shí)際的分析，得到最優(yōu)方案，并對四個方案進(jìn)行由好到壞的排序. 在此過程中也有很多數(shù)據(jù)的

45、處理工作量很大，有進(jìn)一步合理改進(jìn)會人人提高效率. 此外本模型可應(yīng)用到其他類似的問題屮.對于問題三，我門首先考慮到費(fèi)用和療效兩個因素對方案的影響，正確合理 地選擇了層次分析法在運(yùn)用此方法的過程中，應(yīng)用matlab軟件，得到的數(shù)據(jù)比 較準(zhǔn)確，而h檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r效果趨近最優(yōu)，從而得到病人比較滿意的療法它的適 用范圍非常廣泛，可應(yīng)用到其他類似的問題中.八、參考文獻(xiàn)1 灰色理論在干旱預(yù)測中的應(yīng)用，http:/wvv. jz5. cn/luenwen/shu訂i/200504/11102. html, 2006 年 9 刀 16 日2 吳紅斌，灰色預(yù)測法ppthttp:/course. shufe. edu. cn/course/tjyc/multimedia/10. ppt ,2006 年 9 月 16 口3 胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用(第四版)，北