高考中圓錐曲線問題的探究

1、高考中圓錐曲線問題的探究湖北省興山縣第一屮學(xué)（443700）向正銀【摘要】新課程倡導(dǎo)教師在教學(xué)吋重視課程資源的開發(fā)利用，教材是教師進行教學(xué)的主要課程資源, 是學(xué)生智能的生氏點，是高考命題的重要依據(jù)。課木例題、習(xí)題和高考題簡明扼要、難度適當、編排合理,它們在知識上具有典型性，在方法上具有示范性。因此，只有教師在平常的教學(xué)屮，認真鉆研教材，研究高考試題，抓住課本中的經(jīng)典例題和習(xí)題、歷年高考題中的經(jīng)典例了，精心設(shè)計課堂教學(xué)，注重對課本例題、習(xí)題和高考題的分析與研討，在傳授知識過程中充分挖掘課本例題、習(xí)題和高考題的潛在教學(xué)功能， 做到以少勝多，舉一反三，不僅可以鞏固課堂所學(xué)基礎(chǔ)知識，滲透思想方法和數(shù)學(xué)

2、思維，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開拓學(xué)生的解題思路，擴大解題的“武器庫”，這樣才能冇效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，真正為學(xué)生減負。【關(guān)鍵詞】圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，正如波利亞所說：“屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練.”因為通過解題教學(xué)，不僅町以強化學(xué)生對數(shù)學(xué)慕礎(chǔ)知識的理解和基本技能的學(xué)握，還可以發(fā)展學(xué)生的 思、維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)索質(zhì)但數(shù)學(xué)教師如何才能讓解題教學(xué)不落入“題?！?z中？關(guān)鍵是教師要對選 擇的侮一個數(shù)學(xué)問題作全而的解題研究，使每一道例題部能真正體現(xiàn)它的思維訓(xùn)練價值，使學(xué)生能舉一反 三、觸類旁通問題1 （2007年高考山東卷第21題）已知橢圓c的

3、中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓c上的點 到焦點的距離的最大值為3,最小值為1。（1）求橢圓c的標準方程；（2）若肓線l： y二kx+ni與橢圓相交于a、b兩點（a、b不是左右頂點），以ab為肓徑的圓過橢圓c的 右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。本題的第（2）問實質(zhì)就是kack8c=-1求證直線l過定點，并求出該定點的坐標。文12給出了此題的別解和雙曲線中的類似結(jié)論，下面我將條件推廣到kackbc=n （n為常數(shù)），得出更一般的結(jié)論。結(jié)論1 橢圓二+篤=1，直線l與橢圓交于m、n兩點，a （a, 0）為右頂點，若kamkan=n （n為 ct常數(shù)），則歳過定點"加x。

4、）；xv結(jié)論2雙|11|線一y 二"=1 （ahb）, fl.線l與雙|h|線父于m> n兩點，a （a, 0）為右頂點，若kam kan2（n為常數(shù)），則l必過定點p （葺冊，。；結(jié)論3拋物線y2=2px,肯線l與拋物線交于m、n兩點，若komkon=n （n為常數(shù)），則l必過定點p 亠 0）。nx v證明：橢圓廠+曠】，直線l與橢圓交珂、n兩點，a （a, 0）為右頂點，顯然直線恥an的斜率都存在，設(shè) m (xi, yj、n(x2, y2)« kamkan = =n«xx-a x2 - a設(shè)過 m、n 的直線為 y=kx+m,則w yi=kxi+m, y

5、2=yi=kx +nb代入上式(kxi+m) (kxi+m) =nxix2a(x1+x2) +az,化簡得，(k2n) x1x2+ (mk+na) (x】+x2)+m2na2=0,22再將直線方程尸kx+m與橢圓方程二+各二1聯(lián)立，消去y得(b2+av) x2+2amx+a2 (m"b：!) =0,則有 x1+x2=-f7pf'代入上式得 /(k一n) (m一b) 2ajkm (mk+na) + (mjna2) (b2+a2k2) =0。>2?>>7化簡得,a2m2n+a2k2b2+2a3kmn+na4k2m2b2=0o 即(m+ak) a2n (m+ak)

6、 +b2 (akm) =0,得一 =a 9 一 =kk29n + )。直線y二kx+m,令y二0,得x=- o當=-a ,直線過定點(a, 0)與己知孑盾。當巴= a2n-h2k kka(a2n + h2)a2n -h2,直線過定點aa2n + h2)a2n -h20)o同理可證雙曲線二-cr-y二l（ahb）,直線l弓雙曲線交于m、n兩點，aq,0）為右頂點，若kamkan=n5為常數(shù)）5必過定點p （轡護，5對于拋物線y2px,設(shè)0m、on的斜率為k“ k? （k¥0, k20）,點線0m的方程，總線on的方程分工），所以總k2別為y二kx y二k2x,將它們與拋物線方程y2=2

7、px分別聯(lián)立得m （孕，竺），n （ 2p k h線mn的方程為y二乜丄(x+空)，因為k、kr 所以直線過定點1)(-紐，0).k +k2 kxk2n問題2已知a(-1,0)、b(l,0)是圓x2+y2=l與x軸的兩個交點，cd是垂直于ab的動弦，直線ac和 db和交于點p,問是否存在兩個定點e、f,使| |pe|-|pf|為定值？若存在，求出e、f的坐標；若不存在, 請說明理由。解：a(-l, 0), b(l, 0),設(shè) c(xi, yi), d(xi, -yj.貝！直線 ac:y二'(x+1),直線 bd:y= (x-1),兩 兀+ 1 1式相乘得,y2=a-(宀1)，因為c(x

8、】，yj在圓x2+y2=l上,所以xyl,代入上式得p的軌跡方程為 兀1-1x2-y-lo所以存在兩個定點e (-v2 , 0)、f ( v2 , 0),使|pe卜|pf|為定值2。根據(jù)這道定值定點問題，得出圓錐illi線的一個重要性質(zhì)。結(jié)論4 a (-a, 0),b(a, 0)是圓x2+y2=a2- x軸的兩個交點,cd是垂直于ab的動弦,直線ac和db相交 于點p,存在兩個定點e (-v2a, 0)、f ( v2a, 0),使|pe|-|pf| |為定值2a, p的軌跡方程為x2-y2=a2.兀2 y 2結(jié)論5 a (-a, 0), b (a, 0)是橢圓+ =1與x軸的兩個交點，cd是垂

9、直于ab的動弦，直線ac和dba b相交于點p,存在兩個定點e (-丿/+滬,0)、f (+/異,o),使|pe|-|pf|為定值2q,p的軌跡2 2 方程為丄t-企二1。a2 b22 2結(jié)論6 a(-a,0),b(a,0)是雙曲線耳-篤二1與x軸的兩個交點，cd是:垂直于ab的動弦，直線ac和db相交于點p,存在兩個定點e (-7«2-b2 , 0)、f (-b2 , 0),使|pe| + |pf|為定值2a, p的軌跡2 2方程為亠+與二1。/ b2證明：對于圓的證明與上題的證明完全札i同，下面以橢圓為例進行證明：a (-a, 0), b(a, 0),設(shè) c(x】，yj, d(x

10、i,-yj.直線 ac:y= (x+a),直線 bd:y= (x-a),兩式+ axx-a_ 22 2 2 2相乘得，yj，(x2-a2),因為c(x】,yj在橢圓二+ l=1上，所以芻+牛=1,代入上式得p的軌x. -act b_ctzr1的頂點為a,a2,b,b2，焦點為片，耳,由求根公式町得w齊喬,4 加 212x1x2=3 + 4/2 2 跡方程為篤-二1。所以存在兩個定點e c-yla2 +b2 , 0）、f （ j" +滬,o）,使|pe|-|pf|為定 a h值2a.對于雙illi線的證明同理可證，證明略。問題3（2010年陜西高考文理科的20題）如圖，橢圓c ：aq

11、=",s 陽眉金=2s blfib2f2（i）求橢圓c的方程；（ii）設(shè)n為過原點的直線，/是與n垂直相交于1）點， 與橢圓相交于a, b兩點的直線，|op = l.是否存在上述 總線"吏m亦=（）成立？若存在，求出直線/的方程;并說出; 若不存在，請說明理由.新解：由|aq| = ",s陽心=2s時辱知 齊養(yǎng)7,滬2c, 又因為,解得是4,肚3,2 2故橢関c的方程為+ = 1.43（2）當/不垂直于x軸時,設(shè)1的方程為y = kx + m , 由oa ob = 0得/必+口府0將y=kx+m代入橢圓方程，得(3+4k)x2+8kmx+ (4it2) =0,0

12、= xlx2 + y y2 = x,x2 + (kx、+ m)(kx2 + m)a°= xjx2 +k xtx2 +km(x1 +x2) + m=(1 + /)石兀 2 +£"2(x| + 兀2)+加2,將，代入上式并化簡得應(yīng)用：1。（2009年山東高考22題）設(shè)橢圓e:iiq 得 7異二 12 (護+1),這時|oph f m = = -/2a lo 尸7(ii )當 /垂直 x 軸時，滿足 04-05 = 0 , a( -21 , -21 ),b( -2-v21 )或7777a( -v2?, -v2t),b( -v2t,-v2t).邊甘|0p|二上也=綜上所述

13、，使刃亦=0成立的直線/不存在.2 2結(jié)論7:橢圓c: + 4 = l，n為過原點的直線，2是與n垂直相交于p點，與橢圓相交于a, b兩點的 a b厶直線，滿足鬲方=。時呼島，p的軌跡方程為宀宀珞，】是該圓的切線,1 " w|ab|wj/+b2 ；雙曲線二一與二1為過原點的直線，/是與n垂直相交于p點，與橢圓1 2 >2 相交于a, b兩點的直線,滿足刃亦=0時，|0p|二/=,p的軌跡方程為xsy?二 心,1a2-b2a-b-是該圓的切線.（證明方法同新解法，略）.3綜±, |ab | 的取值范圍為->/6<l ab< 2>/3 b|j：0為

14、坐標原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b, roa丄亦？若 存在,寫出該圓的方程,并求|ab |的取值范圍,若不存在說明理由。丫2 v2q簡解：易得橢圓e的方程為+ = 10由上面結(jié)論得存在圓x2+y2=-,設(shè)該圓的切線方程為843y = lc（ + m,由上面結(jié)論知/ 2此冬| ab | w j/+/異，所以1 6 <11< 2>/3 ,當h僅當k=± 32時取i ab |取最人值2品,當r = 0或ab的斜率不存在時，| ab |取最小值*。2 22. (2009年北京理科高考試題)已知雙曲

15、線c:亠-莓= 1(。>(),/?>()的離心率為巧，右準線方程為 / bx =3(t)求雙曲線c的方程；(ii )設(shè)直線/是圓o:x張同慶 茍玉德。2007年高考山東卷第21題的引申與推廣。數(shù)學(xué)通訊2008 (8)o 王瑞平2007年高考山東卷第21別解，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007年，(4) + /=2上動點p(兀°,兒)牝兒工0)處的切線雙曲線c交于不同的兩點a,b,證明zaob的大小為定值。2 2 2簡解：易求雙曲線方程x2-=lo由上面結(jié)論易知該圓滿足x?+y2二,1是該圓的切線，則2la2-b2 i/與雙曲線c交于不同的兩點4,3, zaob的大小為定值90°。對近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，教師要進行深入、全面的探究。總結(jié)歸納高考中主要出現(xiàn)的熱點題型，然示 精選一些高考試題講解，最好一題多解，幫助學(xué)牛從多個切入口，較廣泛地聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)知識和思想方法。 豐富多彩的解題方法既給學(xué)生帶來驚喜，又給學(xué)生帶來美妙的感覺。這