高考數(shù)學(xué)難點突破18__不等式的證明策略

1、狀元源http:/zyyloo.com/免注冊、免費提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測試各科資源下載難點18不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式 證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式 的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.難點磁場()已知。>(),/?>(),且 a+h=.求證:s+丄)()2竺a b 4案例探究例門證明不等式】+厲+厲+礦命題意圖：木題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題冃，考查學(xué)生觀察能力、 構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬級題冃知識依

2、托：本題是一個與自然數(shù)乃有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及 不等式證明屮的放縮法、構(gòu)造法等.錯解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯課：1這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：木題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從77乂到n=k+的過渡采用了放縮法；證法 二先放縮，后裂項，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨具匠心, 發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；(2)假設(shè)心如1)時,不等式成立,即1+$ +杏+.+ *<2,貝嘰+羋+ 土 +刀亙 a/2 v3+ 2乂 伙+ 1) +1 k+(k + 1)

3、+ 1 vt+t vt+7當(dāng)n=k+l時,不等式成立.綜合、(2)得:* 1 1 1 當(dāng)圧n吋，都有1+士 +斗+ + ¥ a/2 v3另從r到r+1時的證明還有卜-列證法: 2仗 + 1)-1 -2jk伙+ 1) =k-2伙仗+ 1) + 仗 + 1) =(vt-vm)2 >o,2jr 伙+ 1) + 1 <2伙+ 1),*.* j比 + 1 > 0, 2.yk h/< 2k +1.vefi又如:v 2vttt _ 2ql > /2qk + j£ + l+jk + l. 2vt + j=<2jk + l.vf+t證法二 對任意run：都

4、冇：1 _ 2 2 vrvt+vt vr+vrn= 2(vt-vtt),因此1+1 1 17t7t+石< 2 + 2(v2 -1) + 2(v3 - v2) hh 2(v" jn 1) = 2ylh.證法三:設(shè)心)=2麗一(1那么對任意kwn *都有:伙+ 1)_2心伙 + 1) 1vt+1伙 + l)_2jk伙 + )+燈=巫舉00 4k + vth朋+i)>/伙)因此，對任意 nwn“ 都有f(n)>f(n)>->f()=i>0,' 1hf= h；= + f= < 2.yln.yll v3 4n例2求使v7 + 77 wax +

5、y (x>0, y>0)恒成立的。的最小值.命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)牛邏輯分析能力，屬于 級題目.知識依托:該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目,所求a的最值蘊含于怛成立的不等式屮, 因此盂利用不等式的冇關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思、想是解決題h的突破口，然后再 利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯解分析：本題解法三利用三角換元后確定q的収值范圍，此時我們習(xí)慣是將x、y與 cos 0、sin 來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令vx =cos ，yy =sin (0< < ),這樣也得a2sin +cos0,但是這種換元是錯誤的.其原因是：(1)縮小了 x、

6、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本 題又增加了 “x、)=1”這樣一個條件，顯然這是不對的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a 滿足不等關(guān)系，a f(x)，則如冃皿；若。有(尤)，貝u qmaxhwmin，利用這一基本事實，町以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題還冇三角換元法求最值用的恰當(dāng)好 處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于d的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2-jxy w /(x+y),即 2 -yjxy w (/ 1 )(x+y),當(dāng)且僅當(dāng)兀二y時，中有等號成立. 比較、得a的最小值滿足a2-1 = 1,/.a2=2, a=y

7、j2 （因 a>0）,的最小值是解法二x + y +x+ yx + yvx>（）, y>0, .xy2yxy （當(dāng) x=y 時"二”成立）,逅w1,晅的最大值是1. x + yx + y從血叫知，w的最大值為jl + 1 = v2 ,又由已知，得:.a的最小值為解法三：>(),原不等式可化為耳+lwa,設(shè) j=tan，0 e(0,壬).tan + 1 wa jtan，& +1 ；即 tan + l wasco &/.izsin &+cos =a/2 sin（ + ）,4xvsin（ +蘭）的最大值為1（此時0 = -44由式可知a的最小

8、值為v2 .錦囊妙計1. 不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基木的 方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主耍方向是因式分解、配 方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則 考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提， 充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴視野.2. 不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式 法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)川換元法時，要注意代換 的等價性.放縮

9、性是不等式證明屮最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要 證的結(jié)論中考查.冇些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含冇“至少” “惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各 種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.殲滅難點訓(xùn)練一、填空題!.()知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且+ =1, x+y的最小值為va>0, b>0, a+b=f :.abs 不可能成立v =a+b2yfab , : abw ,從而得證.4證法二：(均值代換法)mx1;1以 ci +f i,

10、 b= b2 2*.*a-b 1» a>0, b>0,lfiv , iiv 2 2z 1門1、 a_+l /r + 1 (a + -)(/? + -) =x aba b(斗 + 斤)2 +1 (t + f2)i25即(a + )(b + -)> ab4證法五：（三角代換法）t a>0, /?>0, a+h= 1,故令 «=sin2 ci, /?=cos2,。丘(0，一) +1 (* + 'l +'+)(+ +2 +f +1)1 1 z 1 w 12+ zi+ '22+fl 2+ 2(g + /+ 1)(1 + 2 +f

11、+ 1) (7 + z22)2 l2_ 44-jl24253 241 t 2225>16=25 "144顯然當(dāng)且僅當(dāng)=0,即出時,等號成立.證法三：（比較法）*a+b=l,。>(), /?>(), .a+b2yab , : abw 丄4宀1 決+1254局 2+33"+ 8(1-仙(8-")、八=> 0(lw/ l 25 (g + -)(/? +ab4a(1 v, 1、25(d + -)(/? + -)> a b 4證法四：(綜合法)4cib4ab/a+b= 1, d>0, b>0,:a+b22yl，ab .425 (l-

12、)2+l> 16 丄n4 ab=>(1一")2+1>25tab1io1o1(d + )(/? + ) = (sinr a + -)(cosa + -) a bsinpcos tz_ sin4 a + cos4 a - 2sin2 ezcos2 a+ 2 _ (4-sin2«)2 + 164sin2 2a4sin2 2a/ sin2 la < 1,/. 4 - sin2 2or>4-l = 3.24-2sm2 2a + 16'25(4_sin2 2a)225i 1> n>； > 4sin2 2a4sin*- 2a 4i

13、ios即得3+丄) +丄)>.ab4殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：令=cos2 0, =sin2 0,則 x=asec2 0 , y=bcsc2 , /.x+y=t7sec2 +/?csc2 兀y0 =6/+/?+«tan2 0 na+b+2 vtan2 0 /?cot2 0 = a + b + 2yab .答案：a-b+2 4ah2. 解析：由 owlddl<lbclo(dd)2<(bc)2<=>(d+b)24adv(b+c)24/?c */ a+d=b+c, /. 4ad< 4bc,故 ad>bc.答案：ad>bc3. 解析：把、q看成

14、變量，則m<p<nf m<q<n.答案：in<p<q<n二、4.證法一：a2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c2 1)3 3=3«2+3/?2+3c2(a+b+c)2 3=3a2+3b2-3c2ctlrc1lablac2bc 3=(a b)2+(bc)2+(c)2 no a2+b2+c233證法二：*.* (a+b+c)1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2-b2-a2-c2+b2+c23(a2+b2+c2') 2 (a+b+c)2= 1 ：a2+b2+c2 三、 yi. . . i 6? 4- b

15、+i a + b + c . ? .2、a+b + c證法二：、> j ：.a+b-+cv 3v 33/+/,+<? 3證法四：設(shè)«=-+ o ,方=丄+ 0,。=丄+ y.333*.* a+b+c= 1,。/ =0/. tz2+/r+c2=(-+ a )2+( - + 0尸+( -+ r)2333=- + ( a + /3+ r)+ 2+2+ r23317門22、1=-4- x+0-+ 廠$ 33j+b'+cg 3(2)證法一:如 + 2 = j(3d + 2) x 1 < 3f/ + 2 + 2同理巧匸巨v越三，莎匚i <蟲三2 2j3g + 2

16、+ j3b + 2 + j3c + 2 < 3(" + " + c + 9 = 62.原不等式成立.證法 _, j3a + 2 + q3b + 2 +3c + 2 < j (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2)13v3* j3a + 2 + j3b + 2 +3c + 2 w 3y3 < 6原不等式成立5.證法一：由 x+y+z=l, x2+y2+z1=丄，得 x2+y2+( 1 xy)2=,整理成關(guān)于 y 的一元二 2次方程得:2y2-2( 1 x)y+2.x2-2x+ - =0, vyer,故力 $0 4(lx)24x2(2?2x

17、+丄)$022同理町得y, ze 0,-證法二：設(shè) x=+xf , y= +y'33于是2=(丄+w )2+(|+y')2+(*+/)22+zf ?+彳(x，+y，+才)j2+才2三丄+疋2+m3e-r231,2=_ fx+v3= +x' 2+y3故",證法三：設(shè)兀、79 .,得0*弓朋0, -1十則* f +/ =0,213 , 2=+ x32. 22y, * 0,3y、z三數(shù)小若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x<0,則x2>0,丄=/+)?+孑鼻 2宀耳“+丄>丄，矛盾 2 2 2三數(shù)中若有最大者大于2，不妨設(shè)x> -.則丄=? 2+孑$3 322

18、 (1 -x) a z 所以佟l仝即卅3 21=x +=x x+ 2 2 2 23 /2 x 11十二一x(x)+> ；才盾.2 3220,3乙八、丁m口b + c 7 c + d 2 d + b 7 “、6.(1)證明:對 +y +l 一2(小+ yz + e2bc+ y2 _2兀)+ (匕b + z2 -2yz) + (+x2 -2zx)b b * cc= (-2 a7+(=(令.仝一abc(2)證明：所證不等式等介于-y)2+(jjy7 c+a a+h-'歹+)2 >0a _z1 > 2(xy + zx)2 2 2" + z z + x x+y、2qy

19、 廠(+ )2(xy + w + zx)% y z9ro xyz yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx)2 o(x + y + z)(ys + yz2 +z? x + zx2 +x2y-xy2) >2(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4(x2yz + xy2z + xyz2)<=> ynl in1(2)rti二項式定理有：(1 +m)"= 1+c m+c : m2+ +c ； mn,(1+b= 1+c 仙+c 細(xì)?+c ；：/?",z + yz3 + zh + +x3y +

20、xy3 > 2x2yz + 2xy2z + 2xyz2<=> yz(y-z)2 +zx(z-x)2 -xy(x-y)2 +x2(y-z)2 +y2(z-x)2 + 2(x-y)2 上式顯然成立，.原不等式得證.7. 證明：對于 1 <fw加，月.a；” =m(zn /+1),曲巴，同理竝=蘭 mnl nn-i + n由于in<n,對于整數(shù)k=l, 2,，li,有一 > 一- n m.az az由知加a：>a/a；”(1v07),而 c；” = ；ili:.nicn>c,<m<n)a/n°c =n°c =l mc j

21、, =nc ；n =tn n» m2c n >n2c , ，於c：>化；, 腫c佇 >0,，rc;：>o,1+c t 加+c 細(xì)'+c ；： m > 1+c n n+c：”/+c ；： rln, 即(1+?)“>( 1+m"成立.&證法一:因q>0, b>0, /+戾=2,所以(d+b) 一 2"=4''+戾+3/?+3川,一8=3«2/?+3«/?26=3 _ab(a+b)2 =3 ab(a+b) (/+/,) =3(a+b)(a b)20. 即(a+bfw2,又

22、 o+b>0,所以 a+bw2,因為 2喬k wa+bw2,m = a + b n = ab所以abwl.證法二：設(shè)d、b為方程x2mx+n=0的兩根，則 因為 «>(),方>(),所以 /?>(), hx),且 a=m2-4n) 因為 2=6t3+/23=(tz+/?)(tz2ah+b2)=(a+b) l(fl+/?)23tz/? =m(m23n)2 cn=所以23 3m將代入得/h2-4( - )0,3即 一“ +8 $（）,所以一加3+82（）,即 mw2,所以 a+bw2,3 3m得乂 /n24n,所以 4所以abwl.因 a>0, b>(

23、), /+慶=2,所以3m 由22加 即 證法三： 2=a3+b3=(a+b)(a1+b2ah) m (a+b)(2abcib)=ab(a+b) 于是有 6m3ab(ci+b),從而 83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a'y+b3= (a+b) 所以 a+bw2,(下略) 證法四：因為心巴(口)32 2_ (a + /?)4t72 4- 4b2 -4ab-a2 -b2 - lab _ 3(a + b)(a -b)2 >8所以對任意非負(fù)實數(shù)a、b,有亡蘭3（凹尸2 2因為 d>o, b>0, /+滬=2,所以 1=/ +" 2（£±a）3,2 2=9，寧wl,即a+穴2,（以下略）證法五：假設(shè)d+b>