大學(xué)物理平面簡諧波波動(dòng)方程

1、§4-2平面簡諧波的波動(dòng)方程振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。區(qū)別.波動(dòng)研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的集體表現(xiàn)。聯(lián)系振動(dòng)是波動(dòng)的根源。波動(dòng)是振動(dòng)的傳播。最簡單而又最基本的波動(dòng)是簡諧波！簡諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的波都可看成是 若干個(gè)簡諧波的疊加。對(duì)平面簡諧波，各質(zhì)點(diǎn)都在各口的平衡位置附近作簡諧振動(dòng)，但同一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)狀態(tài)不同。需要定量地描述出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。波線是一組垂直于波面的平行射線，可選用其屮一根波線為代表來研究平面簡諧 波的傳播規(guī)律。一、平面簡諧波的波動(dòng)方程設(shè)平面簡諧波在介質(zhì)中沿?zé)o軸正向傳播，在此波線上任取一參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)li參考點(diǎn)原點(diǎn)的

2、振動(dòng)方程為yq = 4cos(ef + 0o)任取一點(diǎn)p,其坐標(biāo)為x, p點(diǎn)如何振動(dòng)？a和血與原點(diǎn)的振動(dòng)相同，相位呢？沿著波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后，波每向前傳播2的距離，相位落 后2?，F(xiàn)在，0點(diǎn)的振動(dòng)要傳到p點(diǎn)，需要向前傳播的距離為兀，因而p點(diǎn)的相位比0點(diǎn)落后-2 = x2幾p點(diǎn)的振動(dòng)方程為/yp = a cos cot + %171 x由于p點(diǎn)的任意性，上式給出了任意吋刻任意位置的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，將下標(biāo) 去掉y = a cos cot+(px久丿就是沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程。如果波沿.軸的負(fù)向傳播，p點(diǎn)的相位將比0點(diǎn)的振動(dòng)相位超前夕 沿x軸負(fù)向傳播的波動(dòng)方程為人(2乃)

3、y = a cos cot + x + 0oi2>利用co = 171v , u =沿兀軸正向傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程又可寫為y = acos cot-2兀)/t丿"os®也a cos coi u )/ xt-y = a cosco+%k伉丿xu丿原點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳到p點(diǎn)所需要的時(shí)間az = -up點(diǎn)在t吋刻重復(fù)原點(diǎn)在t吋刻的振動(dòng)狀態(tài)波動(dòng)方程也常寫為-4cos(m fcx + %)2加其屮波數(shù)，物理意義為 5 長度內(nèi)所具冇完整波的數(shù)目。a波動(dòng)方程的三個(gè)要素：參考點(diǎn)，參考點(diǎn)振動(dòng)方程，傳播方向二、波動(dòng)方程的物理意義1、固定兀，如令x = x0y(r) = a cos振動(dòng)方

4、程'2兀血+ 0()一-心ia勺處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程該質(zhì)點(diǎn)在/和t2波形方程(p = cot2 一/|)y(x) = acos cotq +(p()-x、ar0吋刻各質(zhì)點(diǎn)離開各自平衡位置的位移分布情況，即r0吋刻的波形方程。波形曲線3、兀和f都在變化(2兀/y(/，x) = acos cot +(p()-各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，不同時(shí)刻的波形，反映 了波形不斷向前推進(jìn)的波動(dòng)傳播的全過程=> 行波t時(shí)刻，x處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過m的時(shí)間，傳播了=讓t的距離，傳到了 x + ax處，顯然）心+ &,兀+心）=曲,兀）行波必須滿足此方程其屮ax = ut波是

5、振動(dòng)狀態(tài)的傳播！>習(xí)題類型（1）由某質(zhì)元的振動(dòng)方程（或振動(dòng)曲線）= 求波動(dòng)方程（2）由某時(shí)刻的波形曲線=> 求波動(dòng)方程例42： 平面波在介質(zhì)中以速度u = 20m/s沿直線傳播，已知在傳播路徑上某點(diǎn)a的振動(dòng)方程為）仃=3cos（4f）,如圖4.8所示。（1）若以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求tbc, d兩點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）若以b點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求tbc, d兩點(diǎn)的振動(dòng)方程。k 8m十血*加 cb adu解：(1)振幅 a = 3m,圓頻率q = 4;trad/s,頻率 v = = 2hz,171波長 a = = 10mv波動(dòng)方程為=3 cos 4加一c點(diǎn)處標(biāo)為x

6、c=-13m,振動(dòng)方程為= 3cos(4f_ 蘭藝<5丿d點(diǎn)坐標(biāo)為%d=9m,振動(dòng)方程為(71(9乃)° = 3 cos4加xn15 d)=3 cos4加一j5丿m(2) a點(diǎn)坐標(biāo)為 心=5m,波動(dòng)方程為=3 cosi”兀)l 2 v 7ji5丿=3 cosmc點(diǎn)坐標(biāo)為xc=-8m,振動(dòng)方程為=3 cos4-ttt+ 715 丿=3 cos 4加 +13龍、丿d點(diǎn)坐標(biāo)為%d=14m,振動(dòng)方程為/ 、71z9小3 cos4加xp + 71j5)-3 cos4加一5丿兒m4.3： 一平面簡諧橫波以u(píng) = 400m/s的波速在均勻介質(zhì)屮沿+兀方向傳播。位 于處標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為

7、0.01秒，振幅為0.1m,取原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過平衡 位置且向止方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。(1) 寫岀波動(dòng)方程；(2) 寫出距原點(diǎn)2m處的質(zhì)點(diǎn)p的振動(dòng)方程；(3) 畫tb t = 0.005秒和0.007秒時(shí)的波形圖;(4) 若以距原點(diǎn)2m處為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。解：(1)由題意 a = 0m, t = 0.01 秒，u = 400m/s . 2”可得圓頻率 co =200/r rad/s,波長 a = ut = 4m t出旋轉(zhuǎn)矢量圖知，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相位3兀0()=co故原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為(3龍、yq - 0.1 cos 200刃 hm2丿波動(dòng)方程為y = 0.1 cos 200加 +3兀

8、71x22(2) xp=2 m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為(、,3兀 71、( ,tc=0.1 cos,200刃+2=0.1 cos200加 + l2丿m(3) “ =0.005秒時(shí)，波形方程為y = 0.1 cos 200加i += 0.1 cos(57171x2 2/7171/ 、71x= 0sinxj-2丿u)371271x20.1 cos因?yàn)?=0.0025 = -7,故由心時(shí)刻的波形向+x方向平移彳即可得乙時(shí)刻的波形。如圖所示(4)y (7i 2zr 八'兀兀、200加 +h=0cos200加 +#1 2 2丿< 2 2 )y = 0.1 cos方向傳播ex. 4：求:(1) o

9、點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)波動(dòng)方程 解：(1)由t = 2s時(shí)的波形圖可知2a = 0.5 m r a = 2 m ，/. t = = 4 s ,u利用旋轉(zhuǎn)矢量圖法得出秒時(shí)o3兀m + (po= f c兀t = 2 , co =2o點(diǎn)的初相位(pq=2o點(diǎn)的振動(dòng)方程為171co =t 2點(diǎn)振動(dòng)相位71go =0.5 cos7171 t + 22)t = 2s(2)波動(dòng)方程 = 0.5cosf/ + +v 22e心一列機(jī)械波沿?zé)o軸正向傳播，/二0時(shí)的波形如圖所示，已知波速為lom-s-1, 波長為2m,求：(1) 波動(dòng)方程；(2) p點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線；(3) p點(diǎn)的坐標(biāo)；(4) p點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間.原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初始條件為>-0 =£"<()，久=f由題知 2 = 2m, w = 10 m s_l,貝 uv = = = 5hz,a 2圓頻率 (o = 1071原點(diǎn)o的振動(dòng)方程為(兀、y = 0.1 cos 10刃 + mi3丿波動(dòng)方程為(71、y = 0.1cos 10r + - mq丿a(2)由圖知，f = 0 吋，yp =, v/ < 0 >:嘰=土 (p點(diǎn)的相位應(yīng)落后于0點(diǎn)，故取負(fù)值) 34/