應力與強度計算

1、第三章應力與強度計算一.內(nèi)容提要本章介紹了桿件發(fā)生基本變形時的應力計算，材料的力學性能，以及基本變形的強度計算。1 拉伸與壓縮變形1.1拉（壓）桿的應力1.1.1拉（壓）桿橫截面上的正應力拉壓桿件橫截面上只有正應力 :，且為平均分布，其計算公式為(3-1)式中F N為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負號規(guī)定拉應力為正，壓應力為負。公式（3-1 ）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應力集中現(xiàn)象，橫截面上應力分布很不 均勻；（4） 截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角

2、:.<20°時，可應用式（3-1）計算,所得結(jié)果的誤差約為 3%。1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應力（如圖 3-1）圖3-12a圖）上的應力為平均分布，其計算公式為全應力p . - cos :(3-2)正應力2；. - ：." cos 二(3-3)切應力1sin 2 二(3-4)拉壓桿件任意斜截面（式中二為橫截面上的應力。正負號規(guī)定：:-由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。-:.拉應力為正，壓應力為負。對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負。兩點結(jié)論：(1) 當口 =0°時，即橫截面上，%達到最大值，即(CT hax =CT。當

3、a = 90 0時，即 縱截面上，：_- . = 90 ° =0。(2) 當，.=45°時，即與桿軸成45°的斜截面上，達到最大值，即(.)max 三。1. 2拉(壓)桿的應變和胡克定律(1)變形及應變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。RilT 1 J匚- -r* 一 -丄一-TI圖3-2軸向變形軸向線應變.':l = l J z = 一l-l橫向變形Lb = b_b橫向線應變b正負號規(guī)定伸長為正，縮短為負(2)胡克定律當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。即- E ;( 3-5)或用軸力及桿

4、件的變形量表示為.M =Fn(3-6)EA式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a) 材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即;(b) 在計算時，I長度內(nèi)其N、E、A均應為常量。如桿件上各段不同，則應分段計算， 求其代數(shù)和得總變形。即n NJiI 亠(3-7)i ± Ei Ai(3) 泊松比當應力不超過材料的比例極限時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。即(3-8)1.3材料在拉（壓）時的力學性能1.3.1低碳鋼在拉伸時的力學性能 應力一一應變曲線如圖3-3所示。圖3-3低碳鋼拉伸時的應力一應變曲線卸載定律：在卸載過程中，應力和應變按直線規(guī)

5、律變化。如圖3-3中dd '直線。冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，再次加載時，材料的比例極限升高，而 塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中d'def曲線。圖3-3中，of'為未經(jīng)冷作硬化,拉伸至斷裂后的塑性應變。d'f'為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應變。四個階段四個特征點，見表1-1。表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段階段圖1-5中線段特征點說明彈性階段oab比例極限CJpCT p為應力與應變成正比的最高應力彈性極限叭為不產(chǎn)生殘余變形的最咼應力屈服階段be屈服極限為應力變化不大而變形顯者增加時的最低 應力強化階段ce抗拉強度%b為材料

6、在斷裂前所能承受的最大名義應力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-1主要性能指標，見表1-2。表1-2主要性能指標性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當坊蘭CTp時，E =P名強度性能屈服極限s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度b材料的最大承載能力塑性性能延伸率 6 _ "1 一1 X100%1材料拉斷時的塑性變形程度AA截面收縮率屮_1 X100%A材料的塑性變形程度1.3.2低碳鋼在壓縮時的力學性能圖3-4低碳鋼壓縮時的應力一應變曲線應力一一應變曲線如圖 3-4中實線所示。低碳鋼壓縮時的比例極限匚p、屈服極限；二、彈性模量 E與拉伸時基本相同，但側(cè)不出抗壓強度；b1.3.3鑄鐵

7、拉伸時的力學性能h) o-edifl 圖3-5鑄鐵拉伸時的應力一應變曲線 應力一一應變曲線如圖3-5所示。應力與應變無明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應變很小，試驗時只能側(cè)得抗拉強度匚b。彈性模量E以總應變?yōu)?.1%時的割線斜率來度量。1.3.3鑄鐵壓縮時的力學性能 應力一一應變曲線如圖3-6所示。圖3-6鑄鐵壓縮時的應力一應變曲線鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大4 5倍，破壞時破裂面與軸線成 45 0 35 0。宜于做抗壓構(gòu)件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率:. > 5%的材料稱為塑性材料。延伸率5%的材料稱為脆性材料。1.3.5屈服強度口°對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材

8、料產(chǎn)生0.2%的殘余應變時所對應的應力作為屈服強度，并以坊0.2表示。1.4強度計算許用應力材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數(shù)求得。塑性材料ns脆性材料nb.二G(3-10)其中ns,nb稱為安全系數(shù)，且大于1。強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。對軸向拉伸（壓縮）桿件(3-9)N tcr = < jp- JA按式（1-4）可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。2. 扭轉(zhuǎn)變形2.1 切應力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應力與否無關(guān)

9、。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應力而無正應力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應力狀態(tài)。2.3切應變切應力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應變或切應變，用表示。2.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應力與切應變成正比，即E及泊松式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)(另兩個彈性常數(shù)為彈性模量 比)，其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料，E、. 、 G有下列關(guān)系(3-11)2.5圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時應力和強度條件2.5.1橫截面上切應力分布規(guī)律用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過平面假設，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應力分布規(guī)律和大小。(

10、1) 沿半徑成線性分布，圓心處 1； =0,最大切應力在圓截面周邊上。(2) 切應力方向垂直半徑，圓截面上切應力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3-7。2.5.2切應力計算公式 橫截面上某一點切應力大小為(3-12)式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩,為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應力為maxTWt(3-13)式中Wt二“稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。R2.5.3切應力公式討論(1) 切應力公式(3-12)和式(3-13)適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。(2) 極慣性矩I p和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)

11、Wt是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力 愈強。因此，設計空心軸比實心軸更為合理。實心圓兀d41 p 32（外徑為d）n dWt -16空心圓 （外徑為D, 內(nèi)徑為d）4兀D4Ip (1a )32da =D4Tt D4Wt =(1 a )16表3-32.5.4強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為-max(3-14)對等圓截面直桿maxTm ax一 一Wt(3-15)式中L I為材料的許用切應力。3.彎曲變形的應力和強度計算3.1梁橫截面上正應力3.1.1中性層的

12、曲率與彎矩的關(guān)系EI(3-16)式中，亍是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；IE是橫截面對中性軸 Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應力計算公式(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩； -的意義同上；y是欲求正應力的點到中性軸的距離。由式（3-17）可見，正應力二的大小與該點到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一 側(cè)為拉應力，另一側(cè)為壓應力。在實際計算中，正應力的正負號可根據(jù)梁的變形情況來確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點均為拉應力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點均為壓應力。最大正應力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處m axM max* ym axmax(3-18)Wz式中，Wz稱為抗彎截面系

13、數(shù)。對于ymaxh b的矩形截面,1 2Wzbh ;對于直徑為D6d的圓形截面， Wz = D 3 ;對于內(nèi)外徑之比為 a 的環(huán)形截面,32D若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數(shù)值相等，'34Wz = D (1 _a )。32若不是對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數(shù)值不相等。3.2梁的正應力強度條件梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力，其表達式為匚maxmax(3-19)Wz由正應力強度條件可進行三方面的計算：(1)校核強度即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應力以及所受載荷，校核正應力是否超過容許值，從而檢驗梁是否安全。(2)設計截面即已知載荷及容許應力，可由式 wz確定

14、截面的尺寸b M max _Wz J 確定許(3)求許可載荷即已知截面的幾何尺寸及容許應力，按式可載荷。對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁(如 的工字形截面等)，其強度條件應表達為t字形截面、上下不等邊G maxmaxy1h."t 1(3-20a)maxy maxy2 - k'c 1(3-20b)式中，G 1,匕c 1分別是材料的容許拉應力和容許壓應力；y, y2分別是最大拉應力點和最大壓應力點距中性軸的距離。若梁上同時存在有正、負彎矩，在最大正、負彎矩的橫截面上均要進行強度計算。3.3梁的切應力QS；-(3-21)Izb式中，Q是橫截面上的剪力；S；是距中性軸

15、為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；I z是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。 切應力計算公式6QzhbhI4(3-22)最大切應力發(fā)生在中性軸各點處,3.3.2工字形截面梁3 Qmax2 A切應力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔。切應力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為Q :B22bh221Tly(H -h )+-<4-yI zb82丿-(3-23)式中各符號可參看。另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應力，計算公式為Q

16、H_.(3-24)2I翼緣部分的水平切應力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化， 并與腹板部分的豎向剪切應力形成 所謂的剪應力流。由于這部分切應力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中 才用到它。3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈 拋物線變化。最大切應力發(fā)生在中性軸上，其大小為 nd2 2d(3-25)QS： Q 83北4 Q-max4Izb nd3 Ad64圓環(huán)形截面上的切應力分布與圓截面類似。3.4切應力強度條件梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力，即m ax式中，Qmax是梁上的最大切應力值;QmaxSzmaxIzb(3-2

17、6)Szmax是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩;I z是橫截面對中性軸的慣性矩；b是- max處截面的寬度。對于等寬度截面，-max發(fā)生在中性軸上,對于寬度變化的截面，-max不一定發(fā)生在中性軸上。切應力強度條件同樣可以進行強度校核、設計截面和求許可載荷三方面的計算。在進行梁的強度計算時，應注意下述二個問題。（1） 對于細長梁的彎曲變形， 正應力的強度條件是主要的， 剪應力強度條件是次要的。 一般僅需考慮正應力強度條件。對于較粗短的梁，當集中力較大時，截面上剪力較大而彎矩 較小，或是薄壁截面梁時，需要校核切應力強度。（2）正應力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應力為零；切應力的最大值一般

18、發(fā)生在中性軸上，該處的正應力為零。 對于橫截面上其余各點，將同時存在正應力和切應力，這些點的強度計算，應按強度理論計算公式進行。3.5提高彎曲強度的主要措施3.5.1選擇合理的截面形式由公式（3-20）可知，梁所能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比。在截面面積相同的情況下，改變截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)Wz，從而達到提高彎曲強度的目的。WW為了比較各種截面的合理程度，可用抗彎截面系數(shù)與截面面積的比值-來衡量，丄AA比值愈大，截面就愈合理。在選擇截面形狀時，還要考慮材料的性能。對于由塑料材料制成的梁，因拉伸與壓縮 的容許應力相同，以采用中性軸為對稱軸的截面。對于由脆性材料制成的梁，因容許拉應

19、力遠小于容許壓應力，宜采用T字形或II形等中性軸為非對稱軸的截面，并使最大拉應力發(fā)生在離中性軸較近的的邊緣處。3.5.2用變截面梁一般的強度計算是以危險截面的最大彎矩Mmax為依據(jù)的，按等截面梁來設計截面尺寸，這顯然是不經(jīng)濟的。如果在彎矩較大的截面采用較大的尺寸，在彎矩較小的截面采用較小的尺寸，使每個截面上的最大正應力都達到容許應力，據(jù)此設計的變截面梁是最合理的，稱為等強度梁。3.5.3改善梁的受力狀況合理布置梁上的載荷和調(diào)整梁的支座位置，使梁的最大彎矩變小，也可達到提高彎曲強 度的目的。4剪切及其實用計算4.1剪切的概念剪切定義為相距很近的兩個平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對（相反）

20、的兩 個力，當這兩個力相互平行錯動并保持間距不變地作用在構(gòu)件上時，構(gòu)件在這兩個平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產(chǎn)生剪切變形。4.2剪切的實用計算名義切應力：假設切應力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應力為Q（3-27） A剪切強度條件：剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力即=遼 I 丨（3-28）A利用式（3-28）對構(gòu)件進行剪切強度校核、截面設計和許可載荷的計算。 5擠壓及其實用計算5.1擠壓的概念擠壓 兩構(gòu)件接觸面上產(chǎn)生的局部承壓作用。擠壓面相互接觸壓緊的面。擠壓力承壓接觸面上的總壓力，用Pbs表示。5.2擠壓的實用計算名義擠壓應力假設擠壓應力在名義擠壓面上是均勻分布的

21、，則fbs 1(3-29)Abs式中，Abs表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當擠壓面為平面時為接觸面面積，當擠壓面為曲面時為設計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力AbsLbs 1(3-30)利用式（3-29）對構(gòu)件進行擠壓強度校核、截面設計和許可載荷的計算。二.基本要求1. 拉伸與壓縮變形1.1熟練掌握應力的計算，理解胡克定律。1.2 了解常用材料在拉伸和壓縮時的機械性質(zhì)及其測量方法。1.3理解許用應力、安全系數(shù)和強度條件，熟練計算強度問題。2. 扭轉(zhuǎn)變形2.1理解純剪切的概念、切應力互等定理和

22、剪切胡克定律。2.2理解圓軸扭轉(zhuǎn)時應力公式推導方法，并熟練計算扭轉(zhuǎn)應力。2.3理解圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件的建立方法，并熟練計算強度問題。3. 彎曲變形3.1理解彎曲正應力的概念及其公式推導方法，熟練掌握彎曲正應力及強度問題。3.2理解彎曲切應力的概念及其公式推導方法，掌握簡單截面梁彎曲切應力的計算及彎 曲切應力強度條件。4. 剪切與擠壓變形：了解剪切和擠壓的概念，熟練掌握剪切和擠壓的實用計算方法。5. 熟練掌握常用截面的形心、靜矩、慣性矩的計算及平行移軸公式。三.補充例題.O例1.桿系結(jié)構(gòu)如圖所示，已知桿AB、AC材料相同，U-160 MPa,橫截面積分別為 A<, = 706 .9 mm2

23、,A2 =314 mm2，試確定此結(jié)構(gòu)許可載荷P。圖i-n解：（1）由平衡條件計算實際軸力，設AB桿軸力為Nt , AC桿軸力為N2。對于節(jié)點A,由a X =0得N 2 sin 45 = N 1 sin 30（ a）由'=0得（b）（c）N t cos 30 亠 N 2 cos 45= P由強度條件計算各桿容許軸力蘭 B 】 = 706 .9 "60 O06 X10 丄=1 1 31 kNN2I A2 L J - 31416010 610 - = 50.3 kN（ d）由于AB、AC桿不能同時達到容許軸力，如果將In, 1， N2 1代入（2）式，解得P 丄 133 .5 k

24、N顯然是錯誤的。正確的解應由（a）、（b）式解得各桿軸力與結(jié)構(gòu)載荷 P應滿足的關(guān)系N,2P二 0.732 P1.3（e）一 2P1.3= 0.5 18P（2）根據(jù)各桿各自的強度條件，即N,乞N, , N N 2 1計算所對應的載荷 P丨，由 （c）、（e）有N,冬 IN J = A I - 113 .1 kN0.732 P <113 .1 kN蘭 1 5 45 kN（ g）由（d）、（f）有N 2 _ N 2 I - A2- 50.3 kN0.518 P - 50 .3 kNPj - 97.lkN（ h）要保證AB、AC桿的強度，應?。╣）、（h）二者中的小值，即 旦】，因而得P 1 =

25、 97.1 kN上述分析表明，求解桿系結(jié)構(gòu)的許可載荷時，要保證各桿受力既滿足平衡條件又滿足強度條件。例2.如圖 所示沖床，Pmax = 400 kN，沖頭I- I - 400 MPa,沖剪鋼板，= 360 MPa,PA4（2）按鋼板剪切強度計算tQPT =bA二 dt設計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解: （1）按沖頭壓縮強度計算d所以Pt1.04 cm二d -b例3.2.5m3挖掘機減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過平鍵連接，已知鍵所受的力為P = 12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mm , h=16mm, 1 2 =70mm，圓頭半徑 R= 14mm （如圖）。鍵的許用切應力 b = 87MPa，輪轂的許用擠壓應力取kbs= 100MPa，試校核鍵連接的強度。解： （1）校核剪切強度鍵的受力情況如