與圓有關(guān)的軌跡方程的求法

1、精品文檔與圓有關(guān)的軌跡方程的求法若已知?jiǎng)狱c(diǎn)P ( a, 3)在曲線Ci:f 1 (x,y ) =o上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P (x,y )依動(dòng)點(diǎn)P而動(dòng),它滿足關(guān)系：x x(,) y y(,)則關(guān)于a、3反解方程組，得g(x, y)h(x, y)代入曲線方程f i (x,y ) =0,即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C： f (x,y ) =0.例1、(求軌跡)：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4, 3)，端點(diǎn)A在圓(x 1)2 y2 4上 運(yùn)動(dòng)，求線段 AB的中點(diǎn)M的軌跡方程【例2】已知點(diǎn)A(3 , 0)，點(diǎn)P在圓x2 +yI的上半圓周上，/ AOP勺平分線交PA于Q求 點(diǎn)Q的軌跡方程.【法一】如圖所示，設(shè)P(xo

2、, yo)( yo>0) , Qx, y).OC為/ AOP的平分線,PQ |OP| 1QA |OQ|31 Q分PA的比為丄.3xo3(xo41)xoyoyo4yo3y又因 x2 y2 =1,且 yo>o,16Gy216321.x2歡迎下載 Q的軌跡方程為(x -)2 y2 (y o).416精品文檔例3、已知圓x22y4,過A(4,0)作圓的割線 ABC則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為()A. (x1)22y4 B .(x1)2y24(0 x 1)C. (x2)22y4 D .(x2)22y4(0 x 1)變式練習(xí)1 :已知定點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，AM 1

3、 MB，則點(diǎn)M的軌跡方程是3 1 、解：設(shè) M (x, y), A(X1, y1) ； AM MB , (x x1, y3yj 3(3 x, y),Xiyi1(3 x)31y3Xiyi4x34y31.點(diǎn)A在圓x2y21上運(yùn)動(dòng),2 x12y1(3x1)2/ )2(尹)1,即(x34)916，點(diǎn) M的軌跡方程是(x9162:已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓1上運(yùn)動(dòng)，AOB的平分線交AB于點(diǎn)M，則10歡迎下載點(diǎn)M的軌跡方程是解:設(shè) M (x, y), A(x1, y1). / OMAOB的平分線誥OAOB 一 1 一AM - MB .3由變式1可得點(diǎn)M的軌跡方程是(x3)2 y224163：已知直線y

4、 kx 1與圓x24相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點(diǎn)P的軌跡方程M是OP的中點(diǎn)，.點(diǎn)M解：設(shè)P(x, y) , AB的中點(diǎn)為M OAPB是平行四邊形，二的坐標(biāo)為(=y)，且OM AB. 直線y kx 1經(jīng)過定點(diǎn)C(0,1) , OM CM ,2 2OM CM (-,y) (-,- 1) (-)2 斗乂 1) 0，化簡(jiǎn)得 x2 (y 1)2 1 . .點(diǎn) P 的軌2 2 2 2 2 2 2跡方程是x2 (y 1)2 1 .4、圓(x 2)2(y 1)29的弦長為2,則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 -5、 已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(X勺2 (y 7)2 16相切，則動(dòng)圓圓心的軌

5、跡方程是()A.(x 5)2 (y 7)2 25B . (x 5)2 (y 7)217 或(x 5)2 (y 7)215C . (x 5)2 (y 7)29D . (x 5)2 (y 7)225 或(x 5)2 (y 7)296.已知兩定點(diǎn) A(-2,0),B(1,0), 包圍的面積等于(B )A p B 4 p C 8如果定點(diǎn)P滿足PA=2PB則定點(diǎn)P的軌跡所p D 9 p7：已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)1O(0,0)，A(3,0)的距離的比為 丄，求點(diǎn)M的軌跡方程28如圖所示，已知圓O: x2 y2 4與y軸的正方向交于 A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y 2上運(yùn)動(dòng), 過B做圓0的切線，切點(diǎn)為 C，求 ABC垂心H

6、的軌跡.B1M$分析：按常規(guī)求軌跡的方法， 設(shè)H (x , y),找x, y的關(guān)系非常難.由于H點(diǎn)隨B , C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮 H , B , C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.解：設(shè) H(x, y) , C(x' , y')，連結(jié) AH , CH ,則 AH BC, CH AB, 所以 OC AH , CH /OA , 所以四邊形BC是切線OC BC , OA OC ,所以CH所以x2AOCH是菱形.OA 2，得-2-2)滿足x y(y 2)24(xy 2,x.0)即是所求軌跡方程.說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí).采取代入法求軌跡方程. 做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾

7、何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法.9.已知圓的方程為 x2 y2 r2，圓內(nèi)有定點(diǎn) P(a,b)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) A、B，使 PA PB，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結(jié) AB , PQ交于M，顯然 OM AB ,AB PQ ,由OM2OA2，即在直角三角形AM(羅2(寧)2 寸(x a)2 (y b)2 r2,也即x22 2 2 2y 2r (a b )，這便是Q的軌跡方程.解法二:、2設(shè) Q(x,y)、A(x1，y1)、B(x?, y?)，則為

8、2y1r2,2x22y2又PQAB2，即(x a)22 2 2 2(y b)(Xi X2) (yi y2)2r2(x-|X2y2)又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故x a x1 x2 , ybyiy2，即2 2 2(x a) (y b) 2r2(xx yiy2)+，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.)、Q(x, y),解法三： 設(shè) A(rcos , r sin )、B( r cos , r sin由于APBQ為矩形，故AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有x a rcos r cos ,y b r sinr sin ,又由PA PB有 型b1r cos a r cos a聯(lián)立、消去 、

9、，即可得Q點(diǎn)的軌跡方程為x2 y2 2r2 (a2 b2).說明：本題的條件較多且較隱含， 解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)， 否則，將使解題陷入困境之中.2 2 010、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2 y 1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為 A、B , APB =60 , 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.解：設(shè) P(x, y) . v APB =600,二 OPA =300. v OA AP ,二 OP 2OA 2 , /I 2222x2 y22，化簡(jiǎn)得x y 4 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x y 4.練習(xí)鞏固：設(shè)A( c,0), B(c,0)(c0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a 0)，求P點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y).由PAPBa(a0)，得也x.(x c)2y2c)2y2化簡(jiǎn)得(1 a2)x2(1a2)y22c(1 a2)x c2 (1 a2)0.所以當(dāng)1時(shí)，化簡(jiǎn)得1時(shí)，化簡(jiǎn)得x20.2c(1 a2)a 1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以2 x c20 ,整理得(xaJc)2a 1d a2(2c, 0)為圓心,a 12ac1為半徑的圓;1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.11、已知兩定點(diǎn) A( 2,0) , B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA 2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍 的面積