23個基礎的圓錐曲線專題+N

1、23個基礎的圓錐曲線專題23個基礎的圓錐曲線專題 1、設橢圓，其焦點在軸上，若其準焦距(焦點到準線的距離)，求橢圓的方程.2、設橢圓的離心率，其通徑(過焦點且垂直于長軸的焦直徑)，為兩焦點，是上除長軸端點外的任一點，的角平分線交長軸于，求的取值范圍.ABNMFO3、設橢圓的離心率，為兩焦點，橢圓與軸的交點為，求三角形的面積4、如圖，設橢圓，為長軸頂點，過左焦點、斜率為的直線交橢圓于兩點，若，求5、設橢圓，其離心率，其通徑， 求橢圓的方程. 兩條焦直徑(過焦點的弦)AB與CD互相垂直.求ABCDMN6、設橢圓，左焦點為，在橢圓上任取三個不同點，使得，求：7、如圖所示，橢圓，過原點的兩條直線交圓于

2、，與的延長線相交于，與的延長線相交于，求所在的直線方程.8、設橢圓，過右焦點的直線交于兩點，為中點.若的斜率為：，求橢圓的方程；若直線交于兩點，與相交于，求點的坐標.9、設橢圓的長軸端點為，與軸平行的直線交橢圓于兩點，的延長線相交于點，求點的軌跡.10、已知拋物線，為的焦點，為上任一點，為過點的切線，求證：與的夾角等于與軸的夾角.11、已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為，在上，過作拋物線的兩條切線、，其中、為切點.當?shù)淖鴺藶闀r，求的直線方程；當在上移動時，求的最小值.12、過拋物線的焦點作斜率分別為兩條不同弦和，以、為直徑的圓圓(、為圓心)的公共弦所在的直線記為，若圓心到距離的最小值

3、為，求拋物線的方程.AMNC13、已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為8，求動圓圓心的軌跡方程.14、如圖已知，在拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為. 過原點的圓其圓心在拋物線上，與拋物線的準線交于不同的兩點，若，求圓的半徑.15、如圖，拋物線，拋物線，點在拋物線上，過作的兩條切線和，當時，切線的斜率為.ABM求：所在的直線方程；當點在拋物線上運動時，求中點的軌跡方程.16、已知拋物線，焦弦被分為、兩段，求：17、如圖，在正方形中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，分別將線段和等分成十等分，分點分別記為和，連接，過作軸的垂線與交于點. （1） 求：點的軌跡方程；（2） 求：過點的切線方程。

4、18、已知，雙曲線，過右焦點的直線交于兩點，以為直徑的圓與的準線還有另外兩個交點，與原點構成的三角形，求：的最小值.23個基礎的圓錐曲線專題解答1、設橢圓，其焦點在軸上，若其準焦距(焦點到準線的距離)，求橢圓的方程.解：先求的范圍：由焦點在軸上，則：，即：；另外，所以；所以.求的值：焦點坐標：；橢圓的準線：；準焦距：則：，即：方程有兩個解：（舍），和，故.確定橢圓方程：將，代入方程得：2、設橢圓的離心率，其通徑(過焦點且垂直于長軸的焦直徑)，為兩焦點，是上除長軸端點外的任一點，的角平分線交長軸于，求的取值范圍.解：通徑，即時的.當時代入方程得：，即：，故通徑：，即： 由離心率，即：，即：則：

5、聯(lián)立解得：，則寫出橢圓的方程： 求的角平分線的直線方程：由得過點的切線方程為：即：，其斜率為： 根據(jù)橢圓的切線定理，是過點的法線，其斜率為：則的直線方程為： 將代入上式得：即：，故： 求出的范圍因為點是上除長軸端點外的任一點，故：，即：. 代入式得：.3、設橢圓的離心率，為兩焦點，橢圓與軸的交點為，求三角形的面積解：先求的方程：將代入的方程得：，故：再由，即：，則：，的方程為： 求三角形的面積：的高，即；的底，即焦距；故：另外，是橢圓的焦點三角形，可以用橢圓的焦點三角形公式秒之. ABNMFO4、如圖，設橢圓，為長軸頂點，過左焦點、斜率為的直線交橢圓于兩點，若，求解：本題由于直線過左焦點，所以

6、采用以左焦點為原點的極坐標，可使問題大大簡化. 橢圓的極坐標方程為： 直線的方程為： 那么：；代入得：，即：，故：于是：；故：，所以：5、設橢圓，其離心率，其通徑， 求橢圓的方程. 兩條焦直徑(過焦點的弦)AB與CD互相垂直.求解：先求橢圓的方程：由離心率得：，則： 由通徑得： 聯(lián)立得：，故橢圓的方程為：兩條焦直徑都過焦點，所以采用以焦點為原點的極坐標解題更便捷.以左焦點為原點的橢圓極坐標方程為： 那么，設：，則：，代入方程式得：于是， 于是， 由式式得： 將，代入式得：6、設橢圓，左焦點為，在橢圓上任取三個不同點，使得，求：解：橢圓的參數(shù)：，故離心率，準焦距.采用極坐標，以左焦點為原點的極坐

7、標方程為： ，即： 設，則，分別代入式得：，ABCDMN由于：所以上三式相加得：故：7、如圖所示，橢圓，過原點的兩條直線交圓于，與的延長線相交于，與的延長線相交于，求所在的直線方程.解：首先看一下原點和橢圓的位置關系將原點坐標代入得：小于0表明原點在橢圓內部.本題中，原點和直線是橢圓的一對極點和極線.這里先簡單介紹一下極點和極線：過橢圓外一點向橢圓作的所有割線點的連線，相交于兩點和，一個點在橢圓內(假設)，一個點在橢圓外(假設). 這3個點、和構成特殊的三角形，稱為自極三點形. 其中，點和直線是一對極點和極線；點和直線是一對極點和極線；點和直線是一對極點和極線.如果將極點的坐標，做等效代入橢圓

8、方程，得到的就是其極線方程.這樣使得求極線方程變得極為簡單.本題，將原點坐標做等效代入橢圓方程，就得到所在的直線方程.將極點坐標做等效代入橢圓方程得到極線方程：故：代入，后得到：即：，即：所以所在的直線方程是：8、設橢圓，過右焦點的直線交于兩點，為中點.若的斜率為：，求橢圓的方程；若直線交于兩點，與相交于，求點的坐標.解：由于右焦點在直線上，將右焦點的坐標代入，得：，故：，聯(lián)立橢圓和直線得到交點的坐標：消元法消去得：即：整理得： 由于為中點，所以，代進式由韋達定理得： 由此得到的斜率為：已知，故：，于是 所以橢圓的方程為：直線經(jīng)過點，直線也經(jīng)過點，故點必在關于橢圓以為極點的極線上.代入極線方程

9、得：；即：由于與關于軸對稱，根據(jù)對稱性，所以點的坐標為：PQSAB9、設橢圓的長軸端點為，與軸平行的直線交橢圓于兩點，的延長線相交于點，求點的軌跡.解：設，由得：故： 由得：，故： 由式得： 又，兩點在橢圓上，滿足：即：，即：代入式得：即：，故：即：，這就是點的軌跡方程.10、已知拋物線，為的焦點，為上任一點，為過點的切線，求證：與的夾角等于與軸的夾角.證明：為拋物線的焦半徑，設其傾角為，aq我們看上半軸即部分，下半軸與上半軸對稱。，則：拋物線兩邊對求導：，即故點的切線為：即：，與的夾角為，而就是與軸的夾角.11、已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為，在上，過作拋物線的兩條切線、，其中

10、、為切點.當?shù)淖鴺藶闀r，求的直線方程；當在上移動時，求的最小值.解：先求拋物線的方程由焦點到直線的距離為得：，即：拋物線的方程為： 下面求的直線方程：的直線方程與點是拋物線的一對極線和極點，故用極線方程秒之.的直線方程：將的坐標值代入得：，即： 點到準線的距離，點到準線的距離. 即： 由于，可將作為極線，來求其極點.極點關于拋物線的極線為：，即：與對比得：，當在上移動時，其極線必過點. 設的直線的斜率為，則的直線方程為：即： 點為與的交點.將代入式得：即：即： 方程的兩個根就是和.由韋達定理得：，代入式得：故的最小值是.12、過拋物線的焦點作斜率分別為兩條不同弦和，以、為直徑的圓圓(、為圓心)

11、的公共弦所在的直線記為，若圓心到距離的最小值為，求拋物線的方程.解：拋物線的焦點.設直線的方程為：，直線的方程為：則：點的坐標滿足拋物線方程和直線的方程即：于是：故： 是圓的直徑，圓心是，則由韋達定理得：， 圓的直徑平方為：將式代入上式得:故圓的直徑為：圓的半徑為：圓的方程為： 同理，圓的方程為： 由-得：將，代入上式化簡得： 這就是兩圓的公共弦的直線方程.由圓心到距離為：將， 代入上式，并由圓心到距離的最小值為得：故：，則拋物線方程為：.13、已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為8，求動圓圓心的軌跡方程.解：解題思路：弦和的垂直平分線相交于圓心.設：，則：，的垂直平分線方程為： 的斜率為：

12、則的垂直平分線的斜率為：的中點為：，則的垂直平分線方程為： 聯(lián)立，消去得：即：，即：，即：這就是求動圓圓心的軌跡方程，是條拋物線.AMNC14、如圖已知，在拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為. 過原點的圓其圓心在拋物線上，與拋物線的準線交于不同的兩點，若，求圓的半徑.解：拋物線的準線方程：設圓其圓心坐標為：，因圓心在拋物線上，則：又圓過原點，則： 故圓得方程為：即：即：對于在準線上的兩點，其，代入上式得：即： 方程的兩個解就是的縱坐標. 由韋達定理得：， ；，；代入得：將結果代入式得：，即：.將結果代入式得：故：圓的半徑為： ABM15、如圖，拋物線，拋物線，點在拋物線上，過作的兩條切線和，當

13、時，切線的斜率為.求：所在的直線方程；當點在拋物線上運動時，求中點的軌跡方程.解：先求點的坐標：拋物線的導函數(shù)為：，即：拋物線在點的斜率就是切線的斜率為，故：，即：再求所在的直線方程：點與所在的直線是關于的一對極點和極線，故：所在的直線方程為：即： 求的坐標：因為方程過點，故： ；當時，確定所在的直線方程：將代入式得：這就是所在的直線方程.設的中點為，則：，將代入拋物線方程得：，即：由韋達定理得：或者：. 這就是中點的軌跡方程.16、已知拋物線，焦弦被分為、兩段，求：解：拋物線的焦點，即：，以焦點為原點建極坐標，則拋物線的極坐標方程為：設：，則：于是： 故：17、如圖，在正方形中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，分別將線段和等分成十等分，分點分別記為和，連接，過作軸的垂線與交于點. 求：點的軌跡方程；求：過點的切線方程。解：因為，所以的直線方程為：，即：所在的的垂線方程為：那么過作軸的垂線與交于點，故：，則：，這就是點的軌跡方程. 點的坐標為：則該點的切線方程為：，即：18、已知，雙曲線，過右焦點的直線交于兩點，以為直徑的圓與的準線還有另外兩個交點，與原點構成的三角形，求：的最小值.解：該雙曲線的基本參數(shù)：，故：，焦點設過右焦點的直線方程為：，則：. 代入雙曲線方