(完整word版)九年級數(shù)學(xué)上冊圓專題輔助線

1、第1頁共 5 頁圓專題一輔助線1.遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心和弦 的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：1、利用垂徑定理；2、禾 U 用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5 、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，AE是OO 的直徑，P0 丄 AB 交OO 于 P 點，弦 PN 與 AB 相交于點 M , 求證：PM?PN=2PO2.分析：要證明 PM?PN=2PO2，即證明 P

2、M?PC =P02,過 0 點作 0C 丄 PN 于 C,根據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明PM?PC=PO2，要證明 PM?PC=PO2只需證明 Rt POCsRt PMO.1證明：過圓心 O 作 OC 丄 PN 于 C,.PC= PN2/PO 丄 AB, OC 丄 PN ,/ MOP= / OCP=90 .又/ OPC= / MPO , Rt POCsRt PMO.些 即 PO2= PM?PC. PO2= PM?-PN , PM?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如圖，已知 ABC 內(nèi)接于OO,ZA=45, BC=2,求OO 的面積。【例 2】如圖，OO 的直徑為 10,弦 AB= 8

3、, P 是弦 AB 上一個動點,那么 OP 的長的取值范圍是_第2頁共 5 頁【例 3】如圖，弦 AB 的長等于OO 的半徑，點 C 在弧 AMB 上,則/ C 的度數(shù)是_第3頁共 5 頁2.遇到有直徑時常常添加(畫)直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在 ABC 中，/ C=90。，以 BC 上一點 0 為圓心，以 0B 為半徑的圓交 AB 于點 M，交 BC 于 點 N .(1)求證：BA BM=BC BN ;(2)如果 CM 是OO 的切線，N 為 OC 的中點，當(dāng) AC=3 時，求 AB 的值.分析：要證 BA BM=BC BN，需證 ACBNMB

4、，而/ C=90。，所以需要 NMB 中有個直角，而BN 是圓 O 的直徑，所以連結(jié) MN 可得/ BMN=90(1)證明：連結(jié) MN，則/ BMN=90 = / ACB ACBNMBBC ABBN AB BM=BC BN(2)解：連結(jié) OM，則/ OMC=90 N 為 OC 中點 MN=ON=OM，/ MON=60 1/ OM=OB，/B=2 /MON=30/ACB=90 ,AB=2AC=2X3=6【例 4】如圖，AB 是OO 的直徑，AB=4,弦 BC=2,ZB=_3.遇到 90的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?5】如圖，AB、AC 是

5、OO 的的兩條弦，ZBAC=90 ,AB=6, AC=8OO 的半徑是_5. 遇到有切線時(1)常常添加過切點的半徑(連結(jié)圓心和切點)(2)常常添加連結(jié)圓上一點和切點作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。BAC第4頁共 5 頁2、利用切線的性質(zhì)定理可得 OAL AB,得到直角或直角三角形。第5頁共 5 頁【例 6】如圖，AB 是O0 的直徑，弦 AC 與 AB 成 30角，CD 與OO 切于 C,交 AB?勺延長線于 D,求證：AC=CD6. 遇到證明某一直線是圓的切線時切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切

6、線”就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以，在證明直線是切線時，往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線，才能順利地解決問題下面是添輔助線的小規(guī)律.1 .無點作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心例 7 .已知：如圖， AB 是O0 的直徑，AD 丄 AB 于 A , BC 丄 AB 于 B,若/ DOC= 90 .求證：DC 是O0 的切線.分析：DC 與O0 沒有交點，“無點作垂線”，過圓心 0 作 0E 丄 DC,只需證 0E 等于圓的半徑因為 A0 為半徑，若能證 0

7、E=0A 即可而 0E、0A 在厶 DE0、 DA0 中, DA0證明：作 0E 丄 DC 于 E 點，取 DC 的中點 F,連結(jié) 0F.又/ D0C= 90 . F0=FD / 1 = / 3./ AD 丄 AB , BC 丄 AB, BC / AD, 0F 為梯形的中位線 0F/ AD . / 2= / 3.1 = / 2. D0 是/ ADE 的角平分線./ 0A 丄 DA , 0E 丄 DC , 0A=0E=圓的半徑. DC 是O0 的切線.需證明 DE02有點連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例 8.已知：如圖， AB

8、 為O0 的直徑，BC 為O0 的切線，切點為 B, 0C 平行于弦 AD，求證：CD 是O0 的切線.分析：D 在O0 上，有點連圓心，連結(jié) D0,證明 D0 丄 DC 即可.證明：連結(jié) D0,T0C/ ADDA0= / C0B,ZAD0= / D0C而/ DA0= / AD0 D0C= / C0B，又 0C=0C , D0=B0D0CB0C/ 0DC= / 0BC ,/ BC 為O0 的切線，切點為 B / 0BC=9O,0DC=9O,又 D 在O0 上， CD 是O0 的切線.【例7】如圖所示，已知 AB 是OO的直徑，ACLL于 C, BDLL于 D,且 AC+BD=AB求證：直線 L

9、 與OO相切。第6頁共 5 頁【例 8】如圖， ABO 中，OA= OB 以 O 為圓心的圓經(jīng)過 AB 中點 C,且分別交 OA OB 于點 E、F.求證：AB 是OO 切線;7.遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形?！纠?9】如圖，P 是OO 外一點，PA PB 分別和OO 切于 A B, C 是弧 AB 上任意一點，過 C 作OO 的切線分別交 PA PB 于 D 丘，若厶 PDE 的周長為 12,則 PA 長為_&遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，

10、或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：禾 U 用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：1內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；2內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等?！纠?10】如圖， ABC 中，/ A=45 , I 是內(nèi)心，則/ BIC=_【例 11】如圖，Rt ABC 中，AC=8 , BC=6，/ C=90 ,OI 分別切 AC , BC, ABC 的內(nèi)心 I 與外心 O 之間的距離.9.遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等。第7頁共 5 頁課后沖浪1已知：P 是OO 外一點，PB, PD 分別交OO 于 A、B 和 C D,且 AB=CD 求證: PO 平分/ BPD.PRt第8頁共 5 頁4如圖，學(xué)校 A 附近有一公路 MN 拖拉機從 P 點岀發(fā)向 PN 方向行駛，已知/ NPA=30 , AP=160 米，假 使拖拉機行使時，A 周圍 100 米以內(nèi)受到噪音影響，問：當(dāng)拖拉機向 PN 方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪音影響？請說明理由.如果拖拉機速度為 18 千米/小時，則受噪音影響的時間是多少秒？5如圖，A 是半徑為 1 的圓 O 外的一點，OA=2 AB 是圓 O 的切線，B 是切點，弦 BC/ OA 連結(jié) AC,求陰 影部分的面積.我們可以把圓中常用輔助線的規(guī)律總結(jié)為如下歌訣：弦與弦心距，密切緊相連；直徑對直角，圓心作半徑；已知有