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1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備新北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)常用的數(shù)量關(guān)系式1、每份數(shù)×份數(shù)總數(shù)總數(shù)÷每份數(shù)份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)每份數(shù)2、 1 倍數(shù)×倍數(shù)幾倍數(shù)幾倍數(shù)÷ 1 倍數(shù)倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù) 1 倍數(shù)3、速度×時(shí)間路程路程÷速度時(shí)間路程÷時(shí)間速度4、單價(jià)×數(shù)量總價(jià)總價(jià)÷單價(jià)數(shù)量總價(jià)÷數(shù)量單價(jià)5、工作效率×工作時(shí)間工作總量工作總量÷工作效率工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間工作效率6、加數(shù)加數(shù)和和一個(gè)加數(shù)另一個(gè)加數(shù)7、被減數(shù)減數(shù)差被減數(shù)差減數(shù)差減數(shù)被減數(shù)8、因數(shù)
2、215;因數(shù)積積÷一個(gè)因數(shù)另一個(gè)因數(shù)9、被除數(shù)÷除數(shù)商被除數(shù)÷商除數(shù)商×除數(shù)被除數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式1、正方形( C:周長(zhǎng)S :面積a :邊長(zhǎng))周長(zhǎng)邊長(zhǎng)× 4C=4a面積 =邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)S=a×a2、正方體( V: 體積a:棱長(zhǎng) )表面積 =棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)× 6S 表=a× a×6體積 =棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)V=a×a×a3、長(zhǎng)方形( C:周長(zhǎng)S :面積a :邊長(zhǎng))周長(zhǎng) =( 長(zhǎng)+寬) ×2C=2(a+b)面積 =長(zhǎng)×寬S=ab4、長(zhǎng)
3、方體 ( V: 體積 s:面積 a:長(zhǎng) b:寬 h: 高)(1)表面積 ( 長(zhǎng)×寬 +長(zhǎng)×高 +寬×高 ) ×2S=2(ab+ah+bh)(2)體積 =長(zhǎng)×寬×高V=abh5、三角形( s:面積a:底h:高)面積 =底×高÷ 2s=ah÷ 2名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備三角形高 =面積 × 2÷底6、 平行四邊形 (s:面積三角形底 =面積 × 2÷高a:底h :高)面積 =底×高s=ah7、梯形(s:面積a :上底b:下底h:高)面積 =( 上底 +下底 )
4、 ×高÷ 2s=(a+b)× h ÷ 28、圓形(S:面積C :周長(zhǎng)d=直徑r=半徑)(1) 周長(zhǎng) =直徑× =2××半徑C=d=2 r(2) 面積 =半徑×半徑× 9、圓柱體( v: 體積h:高s:底面積r:底面半徑c:底面周長(zhǎng))(1) 側(cè)面積 =底面周長(zhǎng)×高 =ch(2 r 或d)(2)表面積 =側(cè)面積 +底面積×(3)體積 =底面積×高( 4)體積側(cè)面積÷ 2×半徑10、圓錐體(v: 體積h:高s:底面積r:底面半徑)2體積 =底面積×高&
5、#247;311、總數(shù)÷總份數(shù)平均數(shù)12、和差問題的公式( 和差 ) ÷2大數(shù)(和差 ) ÷ 2小數(shù)13、和倍問題和÷ ( 倍數(shù) 1) 小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)大數(shù)(或者 和小數(shù)大數(shù))14、差倍問題差÷ ( 倍數(shù) 1) 小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)大數(shù)(或 小數(shù)差大數(shù))15、相遇問題相遇路程速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間相遇路程÷速度和速度和相遇路程÷相遇時(shí)間16、濃度問題溶質(zhì)的重量溶劑的重量溶液的重量溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%濃度溶液的重量×濃度溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度溶液的
6、重量名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備17、利潤(rùn)與折扣問題利潤(rùn)售出價(jià)成本利潤(rùn)率利潤(rùn)÷成本×100%( 售出價(jià)÷成本 1) × 100%漲跌金額本金×漲跌百分比利息本金×利率×時(shí)間稅后利息本金×利率×時(shí)間×(1 20%)常用單位換算長(zhǎng)度單位換算1 千米 =1000 米 1 米=10 分米1 分米 =10 厘米 1 米 =100 厘米1厘米 =10 毫米面積單位換算1 平方千米 =100 公頃1公頃 =10000 平方米1平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1平方厘米 =100 平方毫米
7、體( 容) 積單位換算1立方米 =1000立方分米1 立方分米 =1000 立方厘米1 立方分米 =1 升1立方厘米 =1 毫升 1立方米 =1000 升重量單位換算1 噸=1000 千克1千克 =1000 克1千克 =1 公斤人民幣單位換算1 元=10角1角=10分 1元=100 分時(shí)間單位換算1 世紀(jì) =100年 1 年=12 月大月 (31 天) 有 :135781012月小月 (30 天) 的有 :46911月平年 2 月 28 天,閏年 2 月 29 天平年全年 365 天,閏年全年 366 天 1 日=24 小時(shí)1 時(shí)=60分1分=60秒1時(shí)=3600秒基本概念名師推薦精心整理學(xué)習(xí)
8、必備第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算一概念(一)整數(shù)1 整數(shù)的意義自然數(shù)和 0 都是整數(shù)。2 自然數(shù)我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候,用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1, 2, 3 叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有,用0 表示。 0 也是自然數(shù)。3 計(jì)數(shù)單位一(個(gè))、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億 都是計(jì)數(shù)單位。每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。4 數(shù)位計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來(lái),它們所占的位置叫做數(shù)位。5 數(shù)的整除整數(shù) a 除以整數(shù) b(b 0 ),除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù), 我們就說(shuō) a 能被 b 整除,或者說(shuō) b 能整除 a 。如果數(shù) a 能被數(shù) b(b 0 )整除,a 就叫做 b 的倍
9、數(shù), b 就叫做 a 的約數(shù)(或 a 的因數(shù))。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因?yàn)?35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍數(shù), 7 是 35 的約數(shù)。一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,其中最小的約數(shù)是 1,最大的 約數(shù)是它本身。例如: 10 的約數(shù)有 1、2、5、10,其中最小的約數(shù)是 1,最大的約數(shù)是 10。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的, 其中最小的倍數(shù)是它本身。 3 的倍數(shù)有: 3、6、9、12其中最小的倍數(shù)是 3 ,沒有最大的倍數(shù)。個(gè)位上是 0、 2、4、 6、8 的數(shù),都能被 2 整除,例如: 202、480、304,都能被 2 整除。個(gè)位上是 0 或 5 的數(shù),都能被5 整除,例如: 5、
10、30、405 都能被 5 整除。一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3 整除,這個(gè)數(shù)就能被3 整除,例如: 12、108、 204 都能被 3整除。一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9 整除,這個(gè)數(shù)就能被9 整除。能被 3 整除的數(shù)不一定能被9 整除,但是能被9 整除的數(shù)一定能被3 整除。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4(或 25)整除,這個(gè)數(shù)就能被4(或 25)整除。例如: 16、404、1256 都能被 4 整除, 50、325、 500、1675 都能被 25 整除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8(或 125)整除,這個(gè)數(shù)就能被8(或 125)整除。例如: 1168、4600、 5000、12344 都
11、能被 8 整除, 1125、13375、 5000 都能被 125 整除。能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。一個(gè)數(shù),如果只有 1 和它本身兩個(gè)約數(shù), 這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù) (或素?cái)?shù)),100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、 3、 5、 7、 11、13、17、19、23、 29、31、37、 41、43、47、 53、59、61、 67、71、 73、79、83、89、97。一個(gè)數(shù),如果除了1 和它本身還有別的約數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù),例如4 、6、8、9、12都是合數(shù)。1 不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),自然數(shù)除了1 外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)
12、。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類,可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù),例如15=3× 5, 3 和 5 叫做 15 的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái),叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如把 28 分解質(zhì)因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),例如 12 的約數(shù)有 1、2、 3、 4、 6、 12;18 的約數(shù)有 1、 2、3、6、9、18。其中, 1、2、3、6是 12 和 1 8 的公約數(shù), 6 是它們的最大公約數(shù)。公約數(shù)只有 1 的兩個(gè)數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),成
13、互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù),有下列幾種情況:1 和任何自然數(shù)互質(zhì)。相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí),這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時(shí),這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì),就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù),那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),它們的最大公約數(shù)就是1。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),如 2 的倍數(shù)有 2、 4、 6 、8、10、12、 14、16、183 的倍數(shù)有 3、6、9、12、 15、18其中 6、12、18 是 2、3
14、 的公倍數(shù), 6 是它們的最小公倍數(shù)。如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。(二)小數(shù)1 小數(shù)的意義把整數(shù) 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾 可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾 一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn),小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。在小數(shù)里,每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位
15、之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。2 小數(shù)的分類純小數(shù):整數(shù)部分是零的小數(shù),叫做純小數(shù)。例如:0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。帶小數(shù):整數(shù)部分不是零的小數(shù),叫做帶小數(shù)。例如: 3.25 、 5.26都是帶小數(shù)。有限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù), 叫做有限小數(shù)。 例如: 41.7、 25.3、 0.23都是有限小數(shù)。無(wú)限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù), 叫做無(wú)限小數(shù)。 例如: 4.333.1415926無(wú)限不循環(huán)小數(shù):一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分,數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限,這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。 例如:循環(huán)小數(shù):一個(gè)數(shù)的小
16、數(shù)部分,有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn),這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如: 3.5550.033312.109109一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如:3.99 的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” , 0.5454 的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備純循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,叫做純循環(huán)小數(shù)。例如: 3.1110.5656混循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,叫做混循環(huán)小數(shù)。3.12220.03333寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候,為了簡(jiǎn)便,小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié),并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字
17、,就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如:3.777簡(jiǎn)寫作0.5302302簡(jiǎn)寫作。(三)分?jǐn)?shù)1 分?jǐn)?shù)的意義把單位“ 1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。在分?jǐn)?shù)里,中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線;分?jǐn)?shù)線下面的數(shù),叫做分母,表示把單位“1”平均分成多少份;分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子,表示有這樣的多少份。把單位“ 1”平均分成若干份,表示其中的一份的數(shù),叫做分?jǐn)?shù)單位。2 分?jǐn)?shù)的分類真分?jǐn)?shù):分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。假分?jǐn)?shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù),叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于 1。帶分?jǐn)?shù):假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù),通常叫做帶分?jǐn)?shù)。3 約分和通分把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它
18、相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù),叫做約分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù),叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),叫做通分。(四)百分?jǐn)?shù)1 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù) , 也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來(lái)表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。二方法(一)數(shù)的讀法和寫法1. 整數(shù)的讀法:從高位到低位,一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí),先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀,再在后面加一個(gè)“億”或“萬(wàn)”字。每一級(jí)末尾的0 都不讀出來(lái),其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0 都名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備只讀一個(gè)零。2. 整數(shù)的寫法:從高位到低位,一級(jí)一級(jí)地寫,哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒
19、有,就在那個(gè)數(shù)位上寫 0。3. 小數(shù)的讀法:讀小數(shù)的時(shí)候,整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)” ,小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。4. 小數(shù)的寫法:寫小數(shù)的時(shí)候,整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來(lái)寫,小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角,小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。5. 分?jǐn)?shù)的讀法:讀分?jǐn)?shù)時(shí),先讀分母再讀“分之”然后讀分子,分子和分母按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。6. 分?jǐn)?shù)的寫法:先寫分?jǐn)?shù)線,再寫分母,最后寫分子,按照整數(shù)的寫法來(lái)寫。7. 百分?jǐn)?shù)的讀法:讀百分?jǐn)?shù)時(shí),先讀百分之,再讀百分號(hào)前面的數(shù),讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。8. 百分?jǐn)?shù)的寫法:百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式,而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“ %”
20、來(lái)表示。(二)數(shù)的改寫一個(gè)較大的多位數(shù),為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要,省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。1. 準(zhǔn)確數(shù):在實(shí)際生活中,為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便,可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬(wàn)做單位的數(shù)是 125430 萬(wàn);改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。2. 近似數(shù):根據(jù)實(shí)際需要,我們還可以把一個(gè)較大的數(shù),省略某一位后面的尾數(shù),用一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示。 例如: 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。3. 四舍五入法:要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者
21、比 4 小,就把尾數(shù)去掉; 如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5 或者比5 大,就把尾數(shù)舍去,并向它的前一位進(jìn)1。例如:省略345900萬(wàn)后面的尾數(shù)約是35 萬(wàn)。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。4.大小比較1. 比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小,位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大,如果位數(shù)相同,就看最高位,最高位上的數(shù)大,那個(gè)數(shù)就大;最高位上的數(shù)相同,就看下一位,哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。2. 比較小數(shù)的大小:先看它們的整數(shù)部分, ,整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大;整數(shù)部分相同的,名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大;十分位上的數(shù)也相同的,百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大 3. 比較分?jǐn)?shù)的大小 : 分母相同
22、的分?jǐn)?shù),分子大的分?jǐn)?shù)比較大;分子相同的數(shù),分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的,先通分,再比較兩個(gè)數(shù)的大小。(三)數(shù)的互化1. 小數(shù)化成分?jǐn)?shù):原來(lái)有幾位小數(shù),就在 1 的后面寫幾個(gè)零作分母,把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子,能約分的要約分。2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù):用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù),有的不能除盡,不能化成有限小數(shù)的,一般保留三位小數(shù)。3. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù):只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位,同時(shí)在后面添上百分號(hào)。5.
23、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù):把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù),只要把百分號(hào)去掉,同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。6. 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù):通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時(shí),通常保留三位小數(shù) ) ,再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù):先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù),能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。(四)數(shù)的整除1. 把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除,一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。2. 求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是:先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商只有公約數(shù) 1 為止,然后把所有的除數(shù)連乘求積,這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。3. 求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是:先用這幾個(gè)數(shù)(或其中
24、的部分?jǐn)?shù))的公約數(shù)去除,一直除到互質(zhì)(或兩兩互質(zhì))為止,然后把所有的除數(shù)和商連乘求積,這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù):1 和任何自然數(shù)互質(zhì); 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì);當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí),這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì);兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1 時(shí),這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。(五)約分和通分約分的方法:用分子和分母的公約數(shù)(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。通分的方法:先求出原來(lái)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù),然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。三性質(zhì)和規(guī)律(一)商不變的規(guī)律商不變的規(guī)律:在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍
25、,商不變。(二)小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的性質(zhì):在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。(三)小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化1. 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位, 原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大 10 倍;小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位, 原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大 100倍;小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位,原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000 倍 2. 小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位, 原來(lái)的數(shù)就縮小 10 倍;小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位, 原來(lái)的數(shù)就縮小 100倍;小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位,原來(lái)的數(shù)就縮小1000 倍 3. 小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí),要用“ 0" 補(bǔ)足位。(四)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)(零除外) ,分?jǐn)?shù)的大小不變。(
26、五)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系1. 被除數(shù)÷除數(shù) = 被除數(shù) / 除數(shù)2. 因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù),所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。3. 被除數(shù) 相當(dāng)于分子,除數(shù)相當(dāng)于分母。四運(yùn)算的意義(一)整數(shù)四則運(yùn)算1 整數(shù)加法:把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。在加法里,相加的數(shù)叫做加數(shù),加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù),和是總數(shù)。加數(shù) +加數(shù) =和 一個(gè)加數(shù) =和另一個(gè)加數(shù)2 整數(shù)減法:已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。在減法里,已知的和叫做被減數(shù),已知的加數(shù)叫做減數(shù),未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù),名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。加法和減法互為逆運(yùn)算。3 整數(shù)乘法:求幾個(gè)相
27、同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。在乘法里,相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。在乘法里,0 和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。一個(gè)因數(shù)×一個(gè)因數(shù)= 積一個(gè)因數(shù) =積÷另一個(gè)因數(shù)4 整數(shù)除法:已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。在除法里,已知的積叫做被除數(shù),已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù),所求的因數(shù)叫做商。乘法和除法互為逆運(yùn)算。在除法里, 0 不能做除數(shù)。因?yàn)?0 和任何數(shù)相乘都得 0,所以任何一個(gè)數(shù)除以 0,均得不到一個(gè)確定的商。被除數(shù)÷除數(shù) =商 除數(shù) =被除數(shù)÷商 被除數(shù) =商×除數(shù)(二)小數(shù)
28、四則運(yùn)算1. 小數(shù)加法:小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。2. 小數(shù)減法:小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算 .3. 小數(shù)乘法:小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同,就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算;一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾 是多少。4. 小數(shù)除法:小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。5. 乘方 :求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如3×3=32(三)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備1. 分?jǐn)?shù)加法:分?jǐn)?shù)加
29、法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。2. 分?jǐn)?shù)減法:分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。3. 分?jǐn)?shù)乘法:分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同,就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。4. 乘積是 1 的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。5. 分?jǐn)?shù)除法:分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。(四)運(yùn)算定律1. 加法交換律:兩個(gè)數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變,即a+b=b+a 。2. 加法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加,再加上第三個(gè)數(shù);或者先把后兩個(gè)數(shù)相加,再和第一個(gè)數(shù)相加它們的
30、和不變,即( a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘法交換律:兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置它們的積不變,即a×b=b× a。4. 乘法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,再乘以第三個(gè)數(shù);或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘,再和第一個(gè)數(shù)相乘,它們的積不變,即 (a × b) ×c=a× (b ×c) 。5. 乘法分配律:兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘, 可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加,即(a+b) × c=a× c+b×c 。6. 減法的性質(zhì):從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù), 可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和, 差不變,
31、即 a-b-c=a-(b+c)。(五)運(yùn)算法則1. 整數(shù)加法計(jì)算法則:名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備相同數(shù)位對(duì)齊,從低位加起,哪一位上的數(shù)相加滿十,就向前一位進(jìn)一。2. 整數(shù)減法計(jì)算法則:相同數(shù)位對(duì)齊,從低位加起,哪一位上的數(shù)不夠減,就從它的前一位退一作十,和本位上的數(shù)合并在一起,再減。3. 整數(shù)乘法計(jì)算法則:先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù),用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘,乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位,然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。4. 整數(shù)除法計(jì)算法則:先從被除數(shù)的高位除起,除數(shù)是幾位數(shù),就看被除數(shù)的前幾位;如果不夠除,就多看一位,除到被除數(shù)的哪一位,商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上
32、不夠商1,要補(bǔ)“ 0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。5. 小數(shù)乘法法則:先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積,再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),就從積的右邊起數(shù)出幾位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn);如果位數(shù)不夠,就用“ 0”補(bǔ)足。6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則:先按照整數(shù)除法的法則去除,商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊;如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),就在余數(shù)后面添“ 0”,再繼續(xù)除。7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則:先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn),使它變成整數(shù),除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位(位數(shù)不夠的補(bǔ)“ 0”),然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。8. 同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法 :同分母分?jǐn)?shù)相加減,只把分子相加減,分母不變。9. 異
33、分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法 :先通分,然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。10. 帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法 :整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減,再把所得的數(shù)合并起來(lái)。11. 分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則 :分?jǐn)?shù)乘整數(shù),用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變;分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備12. 分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則 :甲數(shù)除以乙數(shù)( 0 除外),等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。(六) 運(yùn)算順序1. 小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。2. 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。3. 沒有括號(hào)的混合運(yùn)算 :同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算;兩級(jí)運(yùn)算先算乘、除法
34、,后算加減法。4. 有括號(hào)的混合運(yùn)算 :先算小括號(hào)里面的,再算中括號(hào)里面的,最后算括號(hào)外面的。5. 第一級(jí)運(yùn)算:加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。6. 第二級(jí)運(yùn)算:乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。五應(yīng)用(一)整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用1 簡(jiǎn)單應(yīng)用題( 1) 簡(jiǎn)單應(yīng)用題:只含有一種基本數(shù)量關(guān)系,或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題,通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。( 2) 解題步驟:a 審題理解題意:了解應(yīng)用題的內(nèi)容,知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時(shí),不丟字不添字邊讀邊思考,弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題,幫助理解題意。b 選擇算法和列式計(jì)算:這是解答應(yīng)用題的中心工作。 從題目中告訴什么,要求什么著手, 逐步根據(jù)所給的條件和問題,
35、聯(lián)系四則運(yùn)算的含義,分析數(shù)量關(guān)系,確定算法,進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。C 檢驗(yàn):就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確,是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,馬上改正。2 復(fù)合應(yīng)用題(1)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的,用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題,通常名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備叫做復(fù)合應(yīng)用題。(2)含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。求比兩個(gè)數(shù)的和多(少)幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。(3)含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個(gè)數(shù),求兩個(gè)數(shù)的和(或差)。已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù),求兩個(gè)數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)。(
36、4)解答連乘連除應(yīng)用題。(5)解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。(6)解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題:小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題,他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同,只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d 答案:根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,先口答,逐步過渡到筆答。( 3 )解答加法應(yīng)用題:a 求總數(shù)的應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少,乙數(shù)是多少,求甲乙兩數(shù)的和是多少。b 求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,求乙數(shù)是多少。(4 )解答減法應(yīng)用題:a 求剩余的應(yīng)用題:從已知數(shù)中去掉一部分,求剩下的部分。-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題:已知甲乙兩數(shù)各是多少,求甲數(shù)比乙數(shù)多多少,或乙數(shù)比甲
37、數(shù)少多少。c 求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少,乙數(shù)比甲數(shù)少多少,求乙數(shù)是多少。(5 )解答乘法應(yīng)用題:a 求相同加數(shù)和的應(yīng)用題:已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù),求總數(shù)。b 求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題: 已知一個(gè)數(shù)是多少, 另一個(gè)數(shù)是它的幾倍, 求另一個(gè)數(shù)是多少。( 6)解答除法應(yīng)用題:a 把一個(gè)數(shù)平均分成幾份,求每一份是多少的應(yīng)用題: 已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的,求每一份是多少。b 求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題:已知一個(gè)數(shù)和每份是多少,求可以分成幾份。C 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題:已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少,求較大數(shù)是較小數(shù)的幾名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備倍。d 已
38、知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少,求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。(7)常見的數(shù)量關(guān)系:總價(jià) = 單價(jià)×數(shù)量路程 = 速度×時(shí)間工作總量 =工作時(shí)間×工效總產(chǎn)量 =單產(chǎn)量×數(shù)量3 典型應(yīng)用題具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題,通常叫做典型應(yīng)用題。(1)平均數(shù)問題:平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。解題關(guān)鍵:在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。算術(shù)平均數(shù):已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù),求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式:數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù) =算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù):已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù),求總平均數(shù)是多少。數(shù)量關(guān)系式 (部分平均數(shù)×權(quán)數(shù))的總和&
39、#247;(權(quán)數(shù)的和) =加權(quán)平均數(shù)。差額平均數(shù):是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關(guān)系式:(大數(shù)小數(shù))÷ 2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù) =最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。例:一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開往乙地,又以每小時(shí)60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。分析:求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“1 ”,則汽車行駛的總路程為“ 2 ”,從甲地到乙地的速度為 100 ,所用的時(shí)間為,汽車從乙地到甲地速度為 60
40、千米 ,所用的時(shí)間是,汽車共行的時(shí)間為 + = ,汽車的平均速度為 2÷ =75(千米)( 2) 歸一問題:已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量,其中一種量改變,另一種量也隨之而改變,其變化的規(guī)律是相同的,這種問題稱之為歸一問題。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備根據(jù)求“單一量”的步驟的多少,歸一問題可以分為一次歸一問題,兩次歸一問題。根據(jù)球癡單一量之后,解題采用乘法還是除法,歸一問題可以分為正歸一問題,反歸一問題。一次歸一問題,用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。 ”兩次歸一問題,用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。 ” 正歸一問題:用等分除法求出“單一量”之后,再用乘法
41、計(jì)算結(jié)果的歸一問題。反歸一問題:用等分除法求出“單一量”之后,再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。解題關(guān)鍵:從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量(單一量) ,然后以它為標(biāo)準(zhǔn),根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。數(shù)量關(guān)系式:?jiǎn)我涣?#215;份數(shù)=總數(shù)量(正歸一)總數(shù)量÷單一量 =份數(shù)(反歸一)例 一個(gè)織布工人,在七月份織布 4774 米 , 照這樣計(jì)算,織布 6930 米 ,需要多少天?分析:必須先求出平均每天織布多少米, 就是單一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)(3)歸總問題:是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù),以及不同的單位數(shù)量(或單位數(shù)量
42、的個(gè)數(shù)),通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)(或單位數(shù)量) 。特點(diǎn):兩種相關(guān)聯(lián)的量,其中一種量變化,另一種量也跟著變化,不過變化的規(guī)律相反,和反比例算法彼此相通。數(shù)量關(guān)系式:?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量。例 修一條水渠,原計(jì)劃每天修 800 米 , 6 天修完。實(shí)際 4 天修完,每天修了多少米?分析:因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度,就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量,再求總量,歸總問題是先求出總量,再求單一量。 80 0 ×
43、6 ÷ 4=1200 (米)( 4) 和差問題:已知大小兩個(gè)數(shù)的和,以及他們的差,求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。解題關(guān)鍵:是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和 (或兩個(gè)小數(shù)的和),然后再求另一個(gè)數(shù)。解題規(guī)律:(和差)÷ 2 =大數(shù)大數(shù)差 =小數(shù)(和差)÷ 2=小數(shù)和小數(shù) = 大數(shù)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào)46人到甲班工作,這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少12 人,求原來(lái)甲班和乙班各有多少人?分析:從乙班調(diào) 46人到甲班,對(duì)于總數(shù)沒有變化,現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個(gè)乙班,即 9 4 12 ,由此得到現(xiàn)在的乙班是(
44、9 4 12 )÷ 2=41 (人),乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為41+46=87 (人),甲班為 9 4 87=7 (人)( 5)和倍問題:已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系,求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題,叫做和倍問題。解題關(guān)鍵:找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)(即1 倍數(shù))一般說(shuō)來(lái),題中說(shuō)是“誰(shuí)”的幾倍,把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后,再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)(也可能是幾個(gè)數(shù))與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,再去求另一個(gè)數(shù)(或幾個(gè)數(shù))的數(shù)量。解題規(guī)律:和÷倍數(shù)和 =標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù) =另一個(gè)數(shù)例 : 汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛,大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,運(yùn)輸場(chǎng)
45、有大貨車和小汽車各有多少輛?分析:大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛,這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi),為了使總數(shù)與( 5+1 )倍對(duì)應(yīng),總車輛數(shù)應(yīng)( 115-7 )輛 。列式為( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (輛), 18 × 5+7=97 (輛)(6)差倍問題:已知兩個(gè)數(shù)的差,及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解題規(guī)律:兩個(gè)數(shù)的差÷(倍數(shù)1 )= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù) =另一個(gè)數(shù)。例 甲乙兩根繩子,甲繩長(zhǎng)63 米 ,乙繩長(zhǎng) 29米 ,兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度,結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩長(zhǎng)的 3倍,甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米?各減去多少米
46、?分析:兩根繩子剪去相同的一段,長(zhǎng)度差沒變,甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的3倍,實(shí)比乙繩多( 3-1)倍,以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式(63-29)÷( 3-1) =17 (米) 乙繩剩下的長(zhǎng)度, 17× 3=51 (米) 甲繩剩下的長(zhǎng)度,29-17=12(米) 剪去的長(zhǎng)度。(7)行程問題:關(guān)于走路、行車等問題,一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度,叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他們之間的關(guān)系,再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備解題關(guān)鍵及規(guī)律:同時(shí)同地相背而行:路程=速度和×時(shí)間。同時(shí)相向而行:相遇時(shí)間=速
47、度和×時(shí)間同時(shí)同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及時(shí)間 =路程速度差。同時(shí)同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程 =速度差×時(shí)間。例 甲在乙的后面28 千米 ,兩人同時(shí)同向而行,甲每小時(shí)行16千米 ,乙每小時(shí)行9千米 ,甲幾小時(shí)追上乙?分析:甲每小時(shí)比乙多行(16-9)千米,也就是甲每小時(shí)可以追近乙(16-9)千米,這是速度差。已知甲在乙的后面28千米 (追擊路程), 28千米 里包含著幾個(gè)( 16-9)千米,也就是追擊所需要的時(shí)間。列式28÷ (16-9)=4 (小時(shí))(8)流水問題:一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型
48、,它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。船速:船在靜水中航行的速度。水速:水流動(dòng)的速度。順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?。逆水速度:船逆流航行的速度。順?biāo)?=船速水速逆速 =船速水速解題關(guān)鍵:因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和,逆流速度是船速與水速的差,所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。 解題時(shí)要以水流為線索。解題規(guī)律:船行速度 =(順?biāo)俣?+ 逆流速度)÷ 2 流水速度 =(順流速度逆流速度)÷ 2 路程 =順流速度× 順流航行所需時(shí)間路程 =逆流速度×逆流航行所需時(shí)間例 一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r(shí)行 28 千米 ,到乙地后
49、,又逆水 航行,回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí),已知水速每小時(shí) 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米?分析:此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間,或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備順?biāo)俣群退?速度,因此不難算出逆水的速度,但順?biāo)玫臅r(shí)間,逆水所用的時(shí)間不知道,只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí),抓住這一點(diǎn),就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間,這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284× 2=20 (千米) 2 0×2=40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小時(shí)) 28 × 5=140(千米)。(
50、9) 還原問題:已知某未知數(shù),經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果,求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題,我們叫做還原問題。解題關(guān)鍵:要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。解題規(guī)律:從最后結(jié)果 出發(fā),采用與原題中相反的運(yùn)算(逆運(yùn)算)方法,逐步推導(dǎo)出原數(shù)。根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系,然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。解答還原問題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法,后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào)。例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人,如果四班調(diào) 3 人到三班,三班調(diào) 6 人到二班,二班調(diào) 6 人到一班,一班調(diào) 2 人到四班,則四個(gè)班的人數(shù)相等,四個(gè)班原有學(xué)生多少人?分析:當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí),應(yīng)為 168 ÷
51、; 4 ,以四班為例,它調(diào)給三班 3 人,又從一班調(diào)入 2 人,所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷4-2+3=43 (人)一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 (人);二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42 (人)三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。( 10)植樹問題:這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題,叫做植樹問題。解題關(guān)鍵:解答植樹問題首先要判斷地形,分清是否封閉圖形,從而確定是沿線段植樹還是沿周長(zhǎng)植樹,然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。解題規(guī)律:沿線段植樹棵樹 =段數(shù) +1棵樹 =總路程÷株距 +1株距 =總路程÷(棵樹 -1 )總路程 =株距×(棵樹 -1 )沿周長(zhǎng)植樹棵樹 =總路程÷株距株距 =總路程÷棵樹名師推薦
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