橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一?P?F?2?F?1注意注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：橢圓定義中容易遺漏的三處地方： （1） 必須在平面內(nèi)必須在平面內(nèi); （2）兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定兩點(diǎn)間距離確定;(常記作常記作2c) （3）繩長）繩長-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定. (常記作常記作2a, 且且2a2c) 1 .橢圓定義橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的距離和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌

2、跡叫作的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦橢圓的焦點(diǎn)點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距 12,F F1 2|FF二二思考：在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的思考：在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）橢圓較扁（線段）;兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓較圓（圓）.由此可知，橢圓的形狀與由此可知，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距兩定點(diǎn)間距離、繩長離、繩長有關(guān)有關(guān)軌跡是軌跡是一條線段一條線段軌跡不存在軌跡不存在 求動點(diǎn)軌跡求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

3、，用有序?qū)崝?shù)對（）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo);（2）寫出適合條件）寫出適合條件 P（M） ;（3）用坐標(biāo)表示條件）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 ; （4）化方程為最簡形式）化方程為最簡形式;（5）證明以化簡后的方程為所求方程）證明以化簡后的方程為所求方程(可以省略可以省略不寫不寫,如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy2 2原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單

4、；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸直線作為坐標(biāo)軸.).)(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)解：取過焦點(diǎn)解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直的垂直平分線為平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖如圖). 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的點(diǎn)，橢圓的焦距焦距2c(c0)，M與與F1和和F2的距離的的距離的和等于正和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .

5、xF1F2M0y（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(2222

6、2222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方1F2FxyO),(yxM 0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2叫做叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是 ，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 ,其中12(,0)( ,0)FcF c222cba12(0,),(0, )Fc Fc 如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上（選取方式不同，調(diào)換x,y軸）如圖所示,焦點(diǎn)則變成 只要將方程中 的 調(diào)換，即可得12222byax.p01F2Fxy（，a）(0,-a) a a2 22 22 20 0b ba a1 1y yb bx x2 2yx,也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

7、。也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。) 0( 12222babxay總體印象：對稱、簡潔，總體印象：對稱、簡潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式012222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸：軸：焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸：軸：3.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義12yoFF

8、Mx1oFyx2FM注注: :共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.181. 025. 222 yx)0( 12222 babyax解：以兩焦點(diǎn)所解：以兩焦點(diǎn)所在直線為在直線為X軸，線段軸，線段 的垂直平分線為的垂直平分線為y軸軸,建立建立平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系xOy。則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則這個(gè)

9、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:根據(jù)題意根據(jù)題意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，這個(gè)橢圓的方程為：因此，這個(gè)橢圓的方程為：21FF2, 1FFF1F2xy0M待定系數(shù)法11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx練習(xí)練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?練習(xí)練習(xí)2.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)

10、焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為F1(0,3)，F(xiàn)2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上；軸上；6(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(2,0)、F2(2,0),且過且過P(2,3)點(diǎn)；點(diǎn)； (4)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)和和Q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149練習(xí)練習(xí)3. 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請，請?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 并且并且CF1=2,則則CF2=_. 1162522yx變式：變式： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1）.14491622yx5436(-3,0)、(3,0)8116922yx練習(xí)練習(xí)4.已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 .22xy+=14m2222xyxy+=1+=1m -13-mm -13-m例例2、過橢圓、過橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)的一個(gè)焦點(diǎn) 的直