數(shù)字信號處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告5

1、數(shù)字信號處理實(shí)驗(yàn)第五次實(shí)驗(yàn)應(yīng)用fft實(shí)現(xiàn)信號的頻譜分析學(xué) 號：高超姓 名：12081311指導(dǎo)老師：黃怡、楊萌選課時(shí)間：周一 35節(jié)實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2014年11月24日n-1n=0從而，x(o)=寺su("-0一斥產(chǎn))=on-1x詩(i-廣朋)諾tn=ox(2) = 0一. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 能夠熟練掌握快速離散傅里葉變換的原理及應(yīng)用fft進(jìn)行頻譜分析的基木方法。(2) 對離散傅里葉變換的主要性質(zhì)及fft在數(shù)字信號處理的重要作用有進(jìn)一步的了解。二. 基本原理1.離散傅里葉變換(dft)及其主要性質(zhì)dft表示離散信號的離散頻譜，dft的主耍性質(zhì)中有奇偶對稱特性、虛實(shí)特性等。通過實(shí) 驗(yàn)可以加深

2、理解。實(shí)序列的dft具有偶對稱的實(shí)部和奇對稱的虛部，也即：x(k) = x*(n k)實(shí)序列dft的這個(gè)特性，在本實(shí)驗(yàn)中可以通過實(shí)指數(shù)序列及三角序列看出來。對于單一頻率的三角序列來說，他的dft譜線也是單一的，這個(gè)物理意義可以從實(shí)驗(yàn)中得 到驗(yàn)證，在理論上可以推到如卞：設(shè)2兀兀(?1) = sin (其dft為n7x(k)=工 xn)ekn n=0.2n.2nn-11 (gt 晉(n-2)n _ ej2nn = _nn=0nj2x(n -2) = 0x(n»2j 念2j以上這串式中x(0)反映了無(71)的直流分量，x(l)是無)的一次諧波，又根據(jù)虛實(shí)特性 x*(/v-l) = x(l

3、),而其他分量均為零。當(dāng)周期減小時(shí)顯然s加的譜只應(yīng)該在k = 3以及/c = n 3才有分量，實(shí)驗(yàn)者可以通過和上述相同的步驟加以理論證明。由于cos (等)心)和sin (年)心5)相位差中，所以它的dft只包括實(shí)部而沒冇虛部，以 上性質(zhì)在本次實(shí)驗(yàn)中可得到驗(yàn)證。2. 利用dft對信號進(jìn)行頻譜分析dft的重要應(yīng)用之一是對時(shí)域連續(xù)信號的頻譜進(jìn)行分析，稱為傅里葉分析，吋域連續(xù)信號 離散傅里葉分析的基本步驟如下圖5- 1所示sqf| lpf 弘")|匚店 a/d i麗甞麗dft 一_. w(n)圖5-1時(shí)域連續(xù)信號離散傅里葉分析步驟其中消混頻低通濾波器lpf (預(yù)濾波器)的引入，是為了消除或

4、減少時(shí)域連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成 序列時(shí)可能出現(xiàn)的頻譜混疊的影響。實(shí)際工作中，吋域離散信號班巧的吋寬是很長的其至是無 限長。由于dft的需要，必須把兀(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即進(jìn)行數(shù)據(jù)截?cái)?。?shù)據(jù)的截 斷相當(dāng)于加窗處理。因此，在計(jì)算x(7l)的dftz前，用一個(gè)時(shí)域有限的窗函數(shù)w(x)加到x(7l)上 是非常有必要的。在實(shí)際應(yīng)用中，消混疊低通濾波器的阻帶不可能無限衰減，故有無)的頻譜xc/72)周期延 拓得到的x(rs)有非零混疊，即出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。最后是進(jìn)行dft運(yùn)算。加窗后的dft為加窗對頻域的影響，用周期卷積表示x(評)w(rd)d8n-1u(/c)=v(ji)ennk , 0 < n

5、< n 1 m=q其中假設(shè)窗函數(shù)長厶小于或等于dft長度n。有限長序列鞏町=x(n) w(7i)的dft相當(dāng)于鞏7i)傅里葉變換的等間隔取樣。心)=心)lgn因?yàn)閐ft頻率間隔為警，月.模擬頻率0和數(shù)字頻率3間的關(guān)系為a)= nrf所以離散頻率點(diǎn)n對應(yīng)的模擬頻率為q =等,頻率分辨率為=利用dft計(jì)算頻譜，只給出頻譜3"即或qk=k的頻率分量，即頻率的取樣值，而不 可能得到連續(xù)的頻譜函數(shù)。如果在兩個(gè)離散的譜線z間有一個(gè)特別大的頻譜分量，就無法檢測出來了。為了在保持原來頻譜形狀不變的情況下，使頻譜加密，即使頻域取樣點(diǎn)數(shù)增加，從而使原 來看不到的頻譜分量變得可以看到，可以通過在信號

6、數(shù)據(jù)的末端補(bǔ)加一些零值點(diǎn)，使dft計(jì)算 周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加，但又不改變原有的記錄數(shù)據(jù)的方法來實(shí)現(xiàn)。3 快速離散傅里葉變換(fft)快速離散傅里葉變換是計(jì)算離散傅里葉變換的一種快速算法，為了提高運(yùn)算速度，卩卩丁將 dft的計(jì)算逐次分解成較小點(diǎn)數(shù)的dft。按吋間抽取(dit) fft算法把輸入序列尢)按其n值為 偶數(shù)或是奇數(shù)分解成越來越短的序列。按頻域抽取(dif) fft算法把輸出序列x(/c)按其k值得奇 偶分解成越來越短的序列。三. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)結(jié)果1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1)編寫一個(gè)調(diào)用fft函數(shù)的通用程序，可以計(jì)算下列三種序列的離散頻譜。指數(shù)序列：(n) = (0.9)nu(n)o周期為n的余弦序列

7、：v2(n) = cos (晉兀)，.ft 0 < n < /v - 1 o復(fù)合函數(shù)序列：v3 (n) = 0.9sbi (晉4- 0.6sin (箱 n)。(2)計(jì)算實(shí)指數(shù)序列珂)的n點(diǎn)離散頻譜叫(k),記錄n為不同的2的幕次方時(shí)的伙)值, 并與理論值(小5)進(jìn)行分析比較。(3) 計(jì)算周期為w的余弦序列卩2(町的n點(diǎn)fft、2n點(diǎn)fft及(n + 2)點(diǎn)fft,記錄結(jié)果并分 析說明。(4) 已知信號x(t) = 0.15 sin(2n/1t:) + sin(2ir/2t) o.lsin(211/31),其中a = 1hz, f2 = 2hz, f3 = 3hz,取樣頻率為32hz

8、編程實(shí)現(xiàn)：32點(diǎn)和64點(diǎn)fft,畫出其幅度譜。比較兩者間的差異，思考實(shí)際頻率與離散頻譜 圖中橫坐標(biāo)k的對應(yīng)關(guān)系。2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)源代碼：1).編寫一個(gè)調(diào)用fft函數(shù)的通用程序，可以計(jì)算題屮三種序列的離散頻譜 %計(jì)算三種序列的通用函數(shù)clear allclcn = 100;n 二 0 : nl;xnl = 0.9.an;xn2 = cos(2.*pi.*n./n);xn3 = 0.9.*sin(2.*pi.*n./n) + 0.6. *sin(2.*pi.*n./(3.*n);vn fi-1d0圖5 - 2指數(shù)序列吋域譜及其離散頻 譜xk1 = fft(xnl, n); magxkl = abs

9、(xkl); phaxkl = angle(xkl); subplot(l, 2,1); plot(n, xnl);xlabelcn')； ylabel('v(n)');title('vl nn 二 100');subplot(l, 2, 2);k = 0 : length(magxkl)-l; stem(k, magxkl, xlabel('k');ylabelc|v(k)r)； title(*vln n 二 100');%指數(shù)序列實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-2所示,figure(2);xk2 = fft(xn2, n); magxk2 =

10、 abs(xk2); phaxk2 = angle(xk2); subplot(l, 2,1);plot(n, xn2); xlabel('n'); ylabefv(n)*);title(*v2 nn=100');subplot(l, 2, 2);k = 0 : length(magxk2)-l; stem(k, magxk2, xlabelck');ylabelc|v(k)r); title(*v2n n=100');10m an an ?o m圖5 - 3余弦序列時(shí)域譜及其離散頻 譜圖5-4復(fù)合函數(shù)序列時(shí)域譜及其離散頻譜%余弦序列實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-3所

11、示,figure(3)xk3 = fft(xn3,n); magxk3 = abs(xk3); phaxk3 = angle(xk3); subplot(l, 2,1);plot(n, xn3); xlabelcn');ylabelcvfn)*)；title(*v3 nn 二 100');subplotfl, 2, 2);k = 0 : length(magxk3)-l; stem(k, magxk3, xlabel('k');ylabel(*|v(k)r); title('v3 nn 二 100');%復(fù)合函數(shù)序列實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-4所示,2）計(jì)

12、算實(shí)指數(shù)序列巾（71）的n點(diǎn)離散頻譜人伙），記錄n為不同的2的幕次方時(shí)的伙）值, 并與理論值歐）進(jìn)行分析比較%實(shí)指數(shù)序列頻譜的相關(guān)計(jì)算 clear allclcn = input('序列長度 n='); n 二 0 : n-l;xnl = 0.9.an;xk1 = fft(xnl, n); magxkl = abs(xkl); phaxkl = angle(xkl);k = 0 : length(magxkl)-l; stem(kz magxkl, xlabelck');ylabelc|x(k)r)；title('指數(shù)序列j;%實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖5-5、5-6、5-

13、7所示指數(shù)序列圖5-6巾®)的64點(diǎn)離散頻譜(k)丨f niih門ni【initm*xxuc圖5-7vi(n)的128點(diǎn)離散頻譜人伙)實(shí)驗(yàn)分析：有實(shí)驗(yàn)圖像可知，對于巾伍)的n點(diǎn)離散頻譜仏)，n的取值不同，會(huì)導(dǎo)致頻 譜不同：頻率最大值不同，各個(gè)點(diǎn)的取值情況不同，但是頻譜的整體的變化趨勢是一致的。3).計(jì)算周期為n的余弦序列v_2 (n)的n點(diǎn)fft、2n點(diǎn)fft及(n+2)點(diǎn)fft,記錄結(jié)果并分 析說明。%復(fù)合函數(shù)序列頻譜的相關(guān)計(jì)算clear allclcn = inputc序列長度 n=*);a = 2;b = 2;n 二 0 : nl;xn2 = cos(2.*pi.*n./n);

14、xk2 = fft(xn2, n);xk3 = fft(xn2, a*n);xk4 = fft(xn2, n+b);figure;magxk2 = abs(xk2);phaxk2 = angle(xk2);k = 0 : length(magxk2)-l;stem(kz magxk2,xlabelck')；ylabelc|x(k)r)；title(周期為n的余弦序列j;%周期為n的余弦序列頻譜如圖5-8所示figure(2);magxk3 = abs(xk3);phaxk3 = angle(xk3);k = 0 : length(magxk3)-l;stem(k, magxk3, xl

15、abelck');ylabelc|x(k)r)；titled周期為2n的余弦序列匕圖5-8v2(n)的100點(diǎn)離散頻譜§仇)圖5-9v2(n)的200點(diǎn)離散頻譜冬伙)周期為的余弦序列n+2點(diǎn)fftfigure(3);magxk4 = abs(xk4);phaxk4 = angle(xk4);k = 0 : length(magxk4)-l;stem(k, magxk4,xlabel('k');ylabelc|x(k)r)；title。周期為n+2的余弦序列j;%周期為n的余弦序列頻譜如圖5-10所示5045403530201510406080 100圖5-10

16、v2(n)的102點(diǎn)離散頻譜l/2(/c)5lllliiiiiiiiiiiiirniimsiffcgo20%周期為2n的余弦序列頻譜如圖5-9所示實(shí)驗(yàn)分析：此處取周期n二100。當(dāng)采樣周期m二n時(shí)，在進(jìn)行一個(gè)周期內(nèi)只取被采樣信號 的兩個(gè)點(diǎn)，且兩點(diǎn)間距一個(gè)周期n,頻譜為單一的譜線，其頻譜分辨率f = lhzo而對于圖5 - 9和圖5-10采樣點(diǎn)分別為200和102,均大于100,因此采樣周期小于原信號周期，有原信 號失真，造成頻譜泄露，從而降低了頻譜的分辨率。此外，由于在主頻線兩邊形成很多旁瓣, 引起不同頻率分量間的干擾4).求其32點(diǎn)和64點(diǎn)fft,畫出其幅度譜。比較兩者間的差異，思考實(shí)際頻率

17、與離散頻 譜圖中橫坐標(biāo)k的對應(yīng)關(guān)系。%復(fù)合函數(shù)序列頻譜的和關(guān)計(jì)算clear all;clc;fl = 1;f2 = 2;f3 二 3;n = input c序列長度n);m = input (,序列長度 m=');x 二 0.15*sin(2*pi*fl*n/32) + sin (2*pi*f2*n/32)-0. l*sin(2*pi*f3*n/32); xk = fft (x, n);magxk = abs(xk);phaxk = angle (xk);k = 0 : length(magxk)-1;subplot (1, 2, 1);stem(k, magxk,xlabel (&#

18、39; k');ylabel (' x | k |');title (' xi (k)');yk = fft (x, m); magyk = abs(yk); phayk = angle (yk); k = 0 : length(magyk)-1; subplot (1, 2, 2); stem(k, magyk, xlabel (' k'); ylabelc x2|k|'); titlec x2(k)');x2(k)181614121086420020406080k%實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-11所示x1(k)18).16 t14 -12 -10 -x8 6 -4 -2 0 010203040圖5 - llx(t)的32點(diǎn)和64點(diǎn)離散頻譜比較實(shí)驗(yàn)分析：因n = 32,故頻率分辨率f = fs/n = lhzo由圖x1&)可知，上=1,2,3所對應(yīng)的頻譜即為頻率九=1hz, f2 = 2hz, f3 = 3hz的正弦波所對應(yīng)的頻