D高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)速度即加速度即引例：變速直線運動第1頁/共32頁若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或類似定義三階導(dǎo)數(shù),n 階導(dǎo)數(shù) ,或的二階導(dǎo)數(shù) ,記作的導(dǎo)數(shù)為 ,分別記作則稱第2頁/共32頁設(shè)求解:思考: 設(shè)問第3頁/共32頁求解:特別有:解:規(guī)定 0 ! = 1思考:例3. 設(shè)求.)(ny)(ny第4頁/共32頁求.)(ny解: 一般地 ,類似可證:)2n第5頁/共32頁解:.)(ny第6頁/共32頁都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz) 公式注)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)第7頁/共32頁求解: 設(shè)則代入萊布尼茲公式 , 得第8頁/共32頁)(1nxa1.

2、 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?提示: 提示: 1)(!) 1(nnxan第9頁/共32頁提示: 令原式2x原式1x第10頁/共32頁解:第11頁/共32頁一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第12頁/共32頁由確定 y 是 x 的函數(shù)：顯函數(shù) ：例如：可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .隱函數(shù) ：隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),(yxF兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y或者 x 是 y 的函數(shù)：第13頁/共32頁03275xxyy在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)得因 x = 0 時 y =

3、0 , 故確定的隱函數(shù)第14頁/共32頁在點處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)02323xy切線:43即第15頁/共32頁的導(dǎo)數(shù) . （冪指函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法）解: 兩邊取對數(shù) , （化為隱式）兩邊對 x 求導(dǎo)第16頁/共32頁若參數(shù)方程可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)可導(dǎo), 且則時, 有時, 有(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第17頁/共32頁)(, )(tt二階可導(dǎo), 且 由 確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .方法： 由)()(tytx第18頁/共32頁, 且求 P112 8（4）)(tf 解:第19頁/共32頁確定函數(shù)求解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故tydd0

4、第20頁/共32頁為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第21頁/共32頁其速率為當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則兩邊對 t 求導(dǎo)已知 h = 500m 時,第22頁/共32頁 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :yy1按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .第23頁/共32頁練習(xí). 其中1、2求導(dǎo)數(shù) 1. 2. 3. 當(dāng)氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以100 m

5、min 的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ? 4. 設(shè)由方程 確定，求P126. Ex11)(xyy 5. 6.第24頁/共32頁1、)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)balnxaxb第25頁/共32頁)4)(3()2)(1(xxxxy對 x 求導(dǎo)兩邊取對數(shù)第26頁/共32頁100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示: tan對 t 求導(dǎo)2sec已知500求第27頁/共32頁)(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo),得再求導(dǎo), 得當(dāng)時,故由 得再代入 得 求P126. Ex11. )0(y 第28頁/共32頁試求當(dāng)容器內(nèi)水今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解: 設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x ,水的xrh兩邊對 t 求導(dǎo)而hxhRr故體積為 V , 則第29頁/共32頁導(dǎo)出解：同樣可求(P103 題4 )第30頁/共32頁作業(yè)P10