水文地質(zhì)流域盆地地理要素主成分分析實(shí)例

1、水文地質(zhì)流域盆地地理要素主成分分析實(shí)例地理環(huán)境是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，在我們進(jìn)行地理系統(tǒng)分析時(shí)，多變量問題 是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無疑會(huì)增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多 實(shí)際問題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，我們就會(huì)很自然地 想到，能否在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較 多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來較多的變量所反映的信 息？事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，本節(jié)擬介紹的主成分分析方法就是綜合處 理這種問題的一種強(qiáng)有力的方法。第一節(jié)主成分分析方法的原理主成分分析是把原來多個(gè)變量化為少數(shù)兒個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法, 從數(shù)學(xué)角度來

2、看，這是一種降維處理技術(shù)。假定有n個(gè)地理樣木，每個(gè)樣木共有 p個(gè)變量描述，這樣就構(gòu)成了一個(gè)nxp階的地理數(shù)據(jù)矩陣：x-mmco如何從這么多變量的數(shù)據(jù)屮抓住地理事物的內(nèi)在規(guī)律性呢？要解決這一問 題，自然耍在p維空間中加以考察，這是比較麻煩的。為了克服這一困難，就需 要進(jìn)行降維處理，即用較少的兒個(gè)綜合指標(biāo)來代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使 這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之 間又是彼此獨(dú)立的。那么，這些綜合指標(biāo)（即新變量）應(yīng)如何選取呢？顯然，其 最簡單的形式就是取原來變量指標(biāo)的線性組合，適當(dāng)調(diào)整組合系數(shù)，使新的變量 指標(biāo)之間相互獨(dú)立且代表性最好。如果記原來的變量指

3、標(biāo)為x" x2,，xp,它們的綜合指標(biāo)一一新變量指標(biāo) 為 x】，x2,，zm （mwp）。貝u嚴(yán)52“十在（2）式中，系數(shù)h由下列原則來決定:(l) zi與 zj (ihj； i, j=l, 2,m)相互無關(guān);（2）z.是x, x2,，xp的一切線性組合中方差最大者；z2是與乙不相關(guān)的 x>, x2, , x的所有線性組合中方差最大者； ；z“是與乙，z2, z小都不 相關(guān)的x” x2,，xp的所有線性組合中方差最大者。這樣決定的新變量指標(biāo)z|, z2,，zm分別稱為原變量指標(biāo)x. x2,，xp 的第一，第二，第m主成分。其屮，乙在總方差中占的比例最大，z2, n, 的方差依次

4、遞減。在實(shí)際問題的分析中，常挑選前幾個(gè)最大的主成分，這樣既 減少了變量的數(shù)目，乂抓住了主要矛盾，簡化了變量之間的關(guān)系。從以上分析可以看出，找主成分就是確定原來變量&（滬1, 2,，p）在諸 主成分乙（i二1, 2,，m）上的載荷1門（i二1, 2,，m； j=l, 2,，p）,從 數(shù)學(xué)上容易知道，它們分別是i x2,，禺的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所 對(duì)應(yīng)的特征向量。第二節(jié)主成分分析的解法主成分分析的計(jì)算步驟通過上述主成分分析的基本原理的介紹，我們可以把主成分分析計(jì)算步驟歸 納如下：（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣r-c3)在公式（3）中，rd （i, j=l, 2,，p）為原來變量x,與x的相

5、關(guān)系數(shù)，其 計(jì)算公式為vk-ik-l因?yàn)閞是實(shí)對(duì)稱矩陣（即m二口），所以只需計(jì)算其上三角元素或下三角元素 即可。（2）計(jì)算特征值與特征向量首先解特征方程丨i-r i =0求岀特征值b (1=1, 2,，p),并使其按 大小順序排列，即 22,$入&0；然后分別求出對(duì)應(yīng)于特征值入尚特 征向量 e： (i二 1, 2,，p) o(3) 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率主叫財(cái)瘴.- i nm jt噴卯 文龍"uk-l k-一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85-95%的特征值 ，入2,，入“所對(duì)應(yīng)的第一，第 二，,第m (mwp)個(gè)主成分。(4) 計(jì)算主成分載荷pg. z() =/fk*nk = t

6、2. p) c5)由此可以進(jìn)一步計(jì)算主成分得分：“ “ 第三節(jié)主成分分析應(yīng)用實(shí)例主成分分析實(shí)例對(duì)于某區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)，其57個(gè)流域盆地的九項(xiàng)地理要素：xi為流域盆 地總高度5)x2為流域盆地山口的海拔高度(m), &為流域盆地周長(m), x：為 河道總長度(km), x$為河表2-14某57個(gè)流域盆地地理要素?cái)?shù)據(jù)*171toom901.1042.4bl902.tb691.82189144602.1b64.3m906.9t.03b992666261.6002.090963.04221.126461641002.t606.aao11t4.8u30.198661309901.1422.0

7、80326. wo26.t2661610aoto0.13010.210w4.29024.961f221084158.1b01c.000as4.60028.6688slfiimo1.300l.aao133. so22.2id9119282588.44t».a»atfl. an29.122510164082906.1h11.383824.0t023.3831196086202.8908.810023.6ed2t.24t12860msot.«dt.190904.900li. 6m13l23t699t2.o4b2.999282.t2d29.01914669too4.120

8、22.80040t4.9w21.0306lfi28110609.3808.240894.190a.aoar10124206269.630t.490613.t9029.241it889t89s9.2968.666663.t4)32.4818134269409.120t.81d098.94039.06s194629481010.910ib. 610rw4.«099.9998a3275ano8.0id11.630503.6to30.43821151054904.09012.9s01104.8883).0982210666m62. (bo4.4»302.31.9212910666m

9、62. ou6.4s0469.4239.tmm14t644601.83t2.084ib4.t63t.016262144419t4.14b9.m2t14.22t96.0st3861609601.060l.aaolt6.1002t.4142t89484606.90916.0091006.44031.1194as89404006.31910.tb81104.s3c91.1902910100t464.2421094.43024.685306436t461.88s2.898182.43)24.619316211q»2.2t39.8892t4.00024.6210.2t83212900h64.9

10、m12.909864.2s)2t.809o.mt3996610002.0832.98tao2.t82t.81j80.199034886tl60l.663l.6m102.t62t.8t0.l2903684tt188l.691l.610143. it91.310o.omo36t98t188l.o08l.023li9.0091.38o.om63t103969612.t279.296286.6029.6240.262098121960819.0006.sm490.49s.6410.46909durn6bl92.bx)2.964906.392).6as0.33)04031082961.t402.0002

11、14.331t.8ito.ubo4143082402.1302.310143.t61b.9110.182042on84»1.630l.0bo123.2618.990 10w43m2.0102.410183.8918.9ito.ubo4410001900.830l.400264.4011.4190.0429458061900.6600.4t0w2.t611.4t0.01904b9661660.660o.t30164.0011.4120.02164t24900»611.9to69.40)3832.8t2s.02994.9900481tk06t6t.36021.t0o1409.4

12、63s.71141.94004011b809822.0b94. tit949.2932.8380.36900wnw662.1t83.448m2.f092.8180.2k0611«610662.9179.9s2t2.6t92.8180.399662udi8m92.8x34.306283.0832.8210.330012616136t.1b023.1(0ud3.8029.61311.19201wtqj960.109lt.o»l194.tls.9981.390066123061204.t4o8.«0649. t929.4490.8110661290an2.0402.80

13、0246.269t.0210.19106t24004002.39)9.2902t6.1698.2290.2690道總數(shù)，x。為平均分叉率，x7為河谷最大坡度（度），x*為河源數(shù)及x。為流域 盆地面積（knf）的原始數(shù)據(jù)如表2-14所示。張超先生（1984）曾用這些地理要素 的原始數(shù)據(jù)對(duì)該區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)作了主成分分析。下面，我們將其作為主成 分分析方法在地理學(xué)研究中的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例介紹給讀者，以供參考。表2-15相關(guān)系數(shù)矩陣zl吟x11.000-o.3to1.0000.8w-o.oit1.0000.05t-o.16t0.8411.0000.474-0.1600.t9t0.9211.000%0.

14、ot4-o.2t40.18t0.004o.lffi1.0000.83t-o.hb0.uq0.2lto.ub0.1101.0001.0000.4b1-0.168o.ts0.9380.9990.1810.1jmaces0.99tixt88o.ot1o.19b1.9c（1）首先將表2-14中的原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，由公式（4）計(jì)算得相關(guān)系 數(shù)矩陣（見表2-15） o（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率 （見表2-16） o由表2-16可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá) 86.5%,故只需求出第一，第二，第三主成分z, z2, zs即可。表2-16特征值及主成

15、分貢獻(xiàn)率wm1計(jì)砒率（«）1.6.008s.02966.02921t4b19.3wt6.4a890.99t11.01686. hm40.6ws.ffil93.3b550.3»3. m9t.q616o.1t21.90t98.98tt0.0t90.8t2t99.84080.0140.1g8599.99890.00040.0042loo. 00（3）對(duì)于特征值入尸5.043,入2二1746,入尸0.997分別求出其特征向量6, e；,并計(jì)算各變量x,禺，,xg在各主成分上的載荷得到主成分載荷矩陣（見表 2-17）。表2-17 主成分載荷矩陣占方差的百分豪(x)o.rs0.89o.ot0.91o.ao.k0.02p3sxoc89.06t3.»0.140.180.1fo.zz9. ie3.8eoss3. ie8b.3889.otsu.1b從表2t7可以看出,第一主成分乙與x】，x3, xo x5, xs, xg有較大的正相關(guān), 這是由于這六個(gè)地理要素與流域盆地的規(guī)模有關(guān)，因此第一主成分可以被認(rèn)為是 流域盆地規(guī)模的代表：第二主成分n與xz有較大的正相關(guān)，與x?有較大的負(fù)相 關(guān)，而這兩個(gè)地理要素是與流域切割程度有關(guān)的，因此第二主成分可以被認(rèn)