匯編《因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題》

1、例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(氐工0)與直線丿=兀+2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2, m).(1) 求比與加的值；(2) 此雙曲線又經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(仏2),過(guò)點(diǎn)b的直線與直線y=x+2平行交y軸于點(diǎn)c, 聯(lián)結(jié)ab、ac,求/xabc的面積；(3) 在(2)的條件下，設(shè)直線y=兀+2與y軸交于點(diǎn)d,在射線cb上有一點(diǎn)e,如 果以點(diǎn)a、c、e所組成的三角形與acd相似，且相似比不為1,求點(diǎn)e的坐標(biāo).如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(氐工0)與直線丁=兀+2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,m).(1) 求r與加的值；(2) 此雙曲線又經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(仏2),過(guò)點(diǎn)b的直線與直線y=x+2平行交y軸于點(diǎn)c, 聯(lián)結(jié)ab、ac,求zvi

2、bc的面積；(3) 在(2)的條件下，設(shè)直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)d,在射線cb上有一點(diǎn)e,如 果以點(diǎn)a、c、e所組成的三角形與acd相似，且相似比不為1,求點(diǎn)£的坐標(biāo).圖1y/7x/!/c圖2動(dòng)感體殮請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“15寶山嘉定24”，拖動(dòng)點(diǎn)e在射線c3上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到, aace與acd相似，存在兩種情況.思路點(diǎn)撥1. 直線ad/bc,與坐標(biāo)軸的夾角為45°2. 求abc的面積，一般用割補(bǔ)法.3. 討論aace與4cd相似，先尋找一組等角，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況列方 程.滿分解答(1) 將點(diǎn)a(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2, 4

3、). 將點(diǎn)a(2,4)代入y = -,得£=8.xq(2) 將點(diǎn) 3(/?, 2),代入 >，= ,得宛=4.所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(4, 2).設(shè)直線bc為y=x+b,代入點(diǎn)b(4,2),得b=2.所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0,-2).由a(2,4) > b(4,2)、c(0, 2),可知m、3兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是2, b、c兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是4.所以 ab=2近,bc= 42 , zabc=90° .所以 ssbc=丄 ba bc =丄 x 2 x 4>/2 = 8.2 2(3) rtl a(2, 4)、d(0, 2)、c(0,2),得 ad=

4、 22 , ac= 2y/10 .由于zdac+ zacp=45° , zace+ zacd=45° ,所以zdac=zace.所以aace與厶人。/)相似，分兩種情況： 如圖3,當(dāng)竺=£時(shí)，ce=ad= 2v2ca ac此時(shí) acdacae,相似比為1. 如圖4,當(dāng)竺=竺時(shí)，_ce=2yf_解得ce=10血.此時(shí)c、e兩點(diǎn)間的水ca ad 2a/102v2平距離和豎直距離都是10,所以e(10, 8)考點(diǎn)伸展第(2)題我們?cè)谟?jì)算aabc的血積吋，恰好aabc是直角三角形. 一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計(jì)算圖形的面積，用割補(bǔ)法.如圖5,作abc的外接矩形hcmw, m

5、n/少軸.圖5例 2 如圖 1, rtabc 中，zacb=90° , ac=6cm, bc=8cm,動(dòng)點(diǎn) p從點(diǎn) b 出發(fā), 在b4邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)a勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)，在cb邊上以每 秒4 cm的速度向點(diǎn)b勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(0</<2),連接pq.(1) 若厶bpq與厶abc相似，求f的值；(2) 如圖2,連接aq、cp,若aq丄cp,求z的值；(3) 試證明：pq的中點(diǎn)在abc的一條中位線上.如圖 1, rtabc 中，zacb=90q , ac=6 cm, bc=8 cm,動(dòng)點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)，在 ba邊上以每秒5 cm的速度向

6、點(diǎn)4勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)c出發(fā)，在cb邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)b勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(0vf<2),連接pq.(1) 若厶bpq與厶abc相似，求f的值；(2) 如圖2,連接aq、cp,若4q丄cp,求z的值；(3) 試證明：pq的中點(diǎn)在abc的一條中位線上.動(dòng)威體臉請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14武漢24”，拖動(dòng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，若abpo可以兩 次成為直角三角形，與aabc相似.當(dāng)a0丄cp時(shí)，zcqs pq的中點(diǎn)h在 aabc的中位線ef上.思路點(diǎn)撥1. abpo與aabc有公共角，按照夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程.2. 作pd丄bc于d,動(dòng)點(diǎn)p、q的速度，暗

7、含了 bd=cq.3. pq的中點(diǎn)h在哪條中位線上？畫(huà)兩個(gè)不同時(shí)刻p、q、h的位置，一目了然.滿分解答(1) rtzkabc 中，ac=6, bc=8,所以 ab= 10. 必q與abc相似，存在兩種情況： 如果,那么- = 12,解得/=.bq bc8-4/8 如果竺解得倚bq(2) 作pd丄bc,垂足為d.4在 rtabpd 中，bp=5f, cosb= ,所以 bd=bpcosb=4r, pd = 3r.5當(dāng) aq丄cp 時(shí)，acqs/c£>p.忙匚“i ac cd nri 6 8 4/ arjzg 7qc pd 4/ 3t8(3) 如圖4,由于h是pq的中點(diǎn)，hf/pd

8、,所以f是qd的小點(diǎn). 又因?yàn)閎d=cq=4r,所以bf=cf因此f是的中點(diǎn)，e是ab的中點(diǎn). 所以pq的中點(diǎn)h在aabc的中位線ef上.考點(diǎn)伸畏本題情景下，如果以pq為直徑的與aabc的邊相切，求/的值.如圖7,當(dāng)oh與ab相切時(shí)，0p丄就是 =,t =.bq ba 41如圖8,當(dāng)oh與bc相切時(shí)，pq丄bc,就是 =,t=.bq bc 如圖9,當(dāng)oh與ac相切時(shí)，直徑pq = jpd2 + qd2 = j尸+ (8_&尸, 半徑等于 fc=4.所以 j(3r)24-(8-8r)2 =8.1 72 解得/=二,或r=0(如圖10,但是與已知0 <r<2矛盾).73,b.b

9、bb(p)p圖10如圖1,已知拋物線歹=丄兀2丄少+ 1）兀+ 2 （方是實(shí)數(shù)且 e）與兀軸的正半軸分別交444于點(diǎn)a、b （點(diǎn)a位于點(diǎn)b是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)c.（1）點(diǎn)b的坐標(biāo)為，點(diǎn)c的坐標(biāo)為 （用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)p,使得四邊形pcob的面積等于2b,且apbc 是以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；如杲不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)q,使得qco、qoa和中 的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)q的坐標(biāo)； 如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3如圖1,已知拋物線

10、歹=丄兀2丄少+ 1）兀+ 2。是實(shí)數(shù)且b>2）與兀軸的正半軸分444別交于點(diǎn)a、b （點(diǎn)a位于點(diǎn)b是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)c.（1）點(diǎn)b的坐標(biāo)為，點(diǎn)c的坐標(biāo)為 （用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)p,使得四邊形pcob的面積等于2b,且apbc 是以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；如杲不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)q,使得qco、qoa和中 的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)q的坐標(biāo)； 如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.動(dòng)威體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)兒何畫(huà)板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)b

11、在兀軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到, 點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形pcob的面積等于2b的時(shí)刻.雙擊按鈕“第（3） 題”，拖動(dòng)點(diǎn)3,可以體驗(yàn)到，存在zoqa=zb的時(shí)刻，也存在zoqfa=zb的時(shí)刻.思路點(diǎn)撥1. 笫（2）題中，等腰直角三角形pbc暗示了點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等.2. 聯(lián)結(jié)0p,把四邊形pcob重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子 表示.3. 第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺(jué)這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)q 最大的可能在經(jīng)過(guò)點(diǎn)a與兀軸垂直的直線上.滿分解答（1）b的坐標(biāo)為（b,0）,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（），-）.4（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)p作pd丄兀軸，pe丄y

12、軸，垂足分別為d、e,那么 pdb竺apec. 因此pd = pe.設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x, x）.如圖3,聯(lián)結(jié)0p.2 428解得x = h,所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為（匹,匹）.（3）由-(/? 4- l)x + = (x- l)(x-b)，得 a(1,o), 0a= 1. 444如圖4,以oa、oc為鄰邊構(gòu)造矩形oaqc,那么 oqcq'qg 當(dāng)里=坐，即 qa2 = ba,oa時(shí)，bqas/xqoa.qa oa'所以（$2二 i.解得& = 8±43 .所以符合題意的點(diǎn)q為（1,2 +后）.4如圖5,以oc為直徑的圓與直線兀=1交于點(diǎn)q,那么zoqc=90°

13、;。 因此ocqsqoa.當(dāng)豈=坐時(shí)，bq4s2q0a.此時(shí)zoqb=90°qa oa考點(diǎn)伸畏第（3）題的思路是，a、c、o三點(diǎn)是確定的，b是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而zqoa 與zqoc是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù)0oa與aaoc相似把點(diǎn)q的位置確定下來(lái)，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比 例確定點(diǎn)b的位置.如圖中，圓與直線x=的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)b的位置距離點(diǎn)a很近，這與ob=4oc矛盾.例4如圖1,已知拋物線的方程cl： y = -（兀+ 2）（乂一加）（加0）與兀軸交于點(diǎn)b、c,m與），軸交于點(diǎn)e,且點(diǎn)b在

14、點(diǎn)c的左側(cè).（1）若拋物線c1過(guò)點(diǎn)m（2,2）,求實(shí)數(shù)加的值；（2）在（1）的條件下，求abce的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)h,使得bh+eh最小，求出點(diǎn)h 的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線c1上是否存在點(diǎn)f,使得以點(diǎn)b、c、f為頂點(diǎn)的三角形 與abce相似？若存在，求加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖1,已知拋物線的方程cl： y = -（x + 2）（x-/w）伽0）與兀軸交于點(diǎn)3、c,與 my軸交于點(diǎn)e,且點(diǎn)b在點(diǎn)c的左側(cè).（1）若拋物線c1過(guò)點(diǎn)m（2,2）,求實(shí)數(shù)加的值；（2）在（1）的條件下，求abce的而積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找

15、一點(diǎn)h，使得bh+eh最小，求出點(diǎn)h 的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線c1上是否存在點(diǎn)f,使得以點(diǎn)b、c、f為頂點(diǎn)的三角形 與abce相似？若存在，求加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.動(dòng)威體殮請(qǐng)打開(kāi)兒何畫(huà)板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)c在兀軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可 以體驗(yàn)到，ec與bf保持平行，但是zbfc在無(wú)限遠(yuǎn)處也不等于45°觀察右圖，可以體 驗(yàn)到，zcbf保持45° ,存在zbfc=zbce的時(shí)刻.思路點(diǎn)撥1. 第（3）題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，當(dāng)h落在線段ec上時(shí)，bh+eh最小.2. 第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫(huà)直線bf,作zcbf=/ebc=45&

16、#176; ,或 者作bf/ec.再用含加的式子表示點(diǎn)f的坐標(biāo).然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān) 于加的方程.滿分解答（）將 m（2, 2）代入 =（兀+2）（兀-加）,得2 =x4（2-7/7）-解得加=4.mm（2）當(dāng)加=4時(shí),歹=一丄（兀+2）（兀一 4）= 一丄+丄兀+2.所以c（4, 0）, £（0,2）.442所以 s"ce= bc oe =丄x 6x 2 = 6 2 2（3）如圖2,拋物線的對(duì)稱軸是直線兀=1,當(dāng)h落在線段ec上時(shí)，bh+eh最小. 設(shè)對(duì)稱軸與兀軸的交點(diǎn)為p,那么必= £2.cp co因此空=£.解得hp 丄 所以點(diǎn)h的

17、坐標(biāo)為（1,2）.3 422（4）如圖3,過(guò)點(diǎn)3作ec的平行線交拋物線于f,過(guò)點(diǎn)f作ff丄尤軸于f.ff' eqbf7-co(x + 2)(x-m)0,得 2x + 2由于zbce=zfbc,所以當(dāng)竺=竺，即 bc? = ce bf 時(shí)，5bces/fbc. cb bf設(shè)點(diǎn)f的坐標(biāo)為（兀,（兀+ 2）（兀-加），ft m解得兀=加+2.所以fs+2,0）co bf'由 bc2=ce bf,得(,n + 2)2 = vm2+4 x(m + 4)2+4由竺=叱，得 m =空上 所以貯=（加+ 4）厶+4 ce bf 774 bf圖2圖3如圖4,作zcbf=45°交拋物線于

18、f,過(guò)點(diǎn)f作ff丄兀軸于f, 由于zebc=zcbf,所以些=竺，即 bc2=be bf 時(shí)，“bcesbfc.bc bf在rtabff'屮，由ff=bf,得丄（兀+2）（尤一加）=x + 2m解得 x=2m.所以 f(2"0).所以 bf=2m+2, bf = x/2(2m + 2).由 bc2 = bebf,得（/n+2）2 =2v2xv2（2m+2）.解得加=2±2>/5 綜合、，符合題意的加為2 + 2血考點(diǎn)伸畏第（4）題也可以這樣求bf的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)f、f的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 求bf的長(zhǎng).例5如圖1,已知梯形oabc,拋物線分別過(guò)點(diǎn)0 (0

19、, 0)、a (2, 0)、b (6, 3).(1) 直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；(2) 將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa.cb以相同的速度同吋向上平移, 分別交拋物線于點(diǎn)0、兒、c】、b、,得到如圖2的梯形設(shè)梯形osisci的面積 為s, ai、b的坐標(biāo)分別為(xp歹)、(兀2力).用含s的代數(shù)式表示x2xf并求出當(dāng)s=36 時(shí)點(diǎn)川的坐標(biāo)；(3) 在圖1中，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1, 3),動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的 速度沿著線段bc運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)d出發(fā)，以與點(diǎn)p相同的速度沿著線段dm運(yùn)動(dòng).p、 q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)m時(shí)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

20、設(shè)p、q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為/,是否存在某一時(shí)刻/,使得直線pq、直線43、x軸圍成的三角形與直線p0、直線43、 拋物線的對(duì)稱軸韋i成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理市.如圖1,已知梯形oabc,拋物線分別過(guò)點(diǎn)0 (0, 0)、a (2, 0)、b (6, 3).(1) 直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；(2) 將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa.cb以相同的速度同吋向上平移, 分別交拋物線于點(diǎn)0、兒、c】、b、,得到如圖2的梯形設(shè)梯形osisci的面積 為s, ai、b的坐標(biāo)分別為(xp歹)、(兀2力).用含s的代數(shù)式表示x2xf并求出當(dāng)s=36

21、時(shí)點(diǎn)川的坐標(biāo)；(3) 在圖1中，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1, 3),動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的 速度沿著線段bc運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)d出發(fā)，以與點(diǎn)p相同的速度沿著線段dm運(yùn)動(dòng).p、 q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)m時(shí)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)p、q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為/,是否存在某一時(shí)刻f,使得直線pq、直線43、x軸圍成的三角形與直線p0、直線43、 拋物線的對(duì)稱軸韋i成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理市.動(dòng)感體臉請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“1()義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)/上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn) 到，也一q隨s的增大而減小.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)q在dm上運(yùn)動(dòng)，可

22、以體驗(yàn) 到，如果zgaf=zgqe,那么6人尸與厶gqe相似.思路點(diǎn)撥1. 第(2)題用含s的代數(shù)式表示兀2七，我們反其道而行之，用m，兀2表示s.再注 意平移過(guò)程中梯形的高保持不變，即)，2刃=3.通過(guò)代數(shù)變形就可以了.2. 第(3)題最大的障礙在于畫(huà)示意圖，在沒(méi)有計(jì)算結(jié)果的情況下，無(wú)法畫(huà)出準(zhǔn)確的位 置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說(shuō)理計(jì)算，后驗(yàn)證.3. 第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線a3與兀軸的夾角不變，直線ab與拋物 線的對(duì)稱軸的夾角不變.變化的直線pq的斜率，因此假設(shè)直線pq與ab的交點(diǎn)g在x軸 的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)g在兀軸的上方.滿分解答拋物線的對(duì)稱軸為直線歸，解析式為嚴(yán)討

23、弓,頂點(diǎn)為", -1).(2)梯形o/isg的面積$ = 2(西_1 +尢2_1)*3 = 3(西+尢2)_6 ,由此得到+ x2 = 2 .由于” _刃=3 ,所以旳_ )'i丿整理，得（七一兀1）扣2+兀1）一; =3. o47?因此得到=當(dāng)s=36時(shí),x2 +x =14, x2 x = 2.x =6,解得仁&此時(shí)"的坐標(biāo)為（6, 3）.（3）設(shè)直線4b與pq交于點(diǎn)g,直線與拋物線的対稱軸交于點(diǎn)e,直線pq與x 軸交于點(diǎn)f,那么要探求相似的6人尸與厶gqe,有一個(gè)公共角zg.在厶geq屮，zgeq是直線ab與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值.在zg4f中，zg

24、af是直線4b與x軸的夾角，也為定值，而且zgeqhzgaf.因此只存在zgqe= zgaf 的可能，gqesagaf.這吋zgaf= zgqe= zpqd.由于"心,tan"殲畀占所以著土.解得2芋考盍伸畏第（3）題是否存在點(diǎn)g在兀軸上方的情況？如圖4,假如存在，說(shuō)理過(guò)程相同，求得 的7的值也是相同的.事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3.例6如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(4, 0)、b (1, 0)、c (0, -2)三點(diǎn)(1) 求此拋物線的解析式；(2) p是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作pm丄x軸，垂足為是否存在點(diǎn)p，使得以 a、p、m為頂點(diǎn)的三角形與

25、aoac相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在直線ac上方的拋物線是有一點(diǎn)d，使得dca的面積最大，求出點(diǎn)d的坐標(biāo).圖1如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(4, 0)、b (1, 0)、c (0, -2)三點(diǎn).(1) 求此拋物線的解析式；(2) p是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作pm丄兀軸，垂足為m,是否存在點(diǎn)p,使得以 a、p、m為頂點(diǎn)的三角形與oac相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在直線ac上方的拋物線是有一點(diǎn)d,使得dc4的而積最大，求出點(diǎn)d的坐標(biāo).圖1動(dòng)感體臉請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)p在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可

26、以體驗(yàn)到， 的形狀在變化，分別雙擊按鈕“p在3左側(cè)”、“ p在兀軸上方”和“戶在a右側(cè)”，可以顯 示abam與相似的三個(gè)情景.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)d在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察dc4的形狀和面 積隨d變化的圖象，可以體驗(yàn)到，e是ac的中點(diǎn)時(shí)，dca的面積最大.思路點(diǎn)撥1. 已知拋物線與兀軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.2. 數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖彖上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng).3. 按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.4. 把dca可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于oa.滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€與x軸交于人(4, 0)、b (1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為 y = «(x-l)(x-4),代入點(diǎn)c的 坐標(biāo)(0, 2),解得g =.所以拋物線的解析式為1 1 , 5y =(兀一 1)(兀一 4)=牙一 +-x-2.2 2 2(2) 設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(匕一丄(兀_1)(兀_4)2 如圖2