平面直角坐標系知識梳理與經(jīng)典題型教師版

1、 平面直角坐標系知識結(jié)構(gòu)圖： 一、知識要點： （一）有序數(shù)對：有順序的兩個數(shù)a及b組成的數(shù)對。記作（a ，b） （二）平面直角坐標系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成了平面直角坐標系； 1、坐標平面上的任意一點P的坐標，都和惟一的一對 有序?qū)崝?shù)對（）一一對應(yīng)；其中，為橫坐標，為 縱坐標坐標； 2、軸上的點，縱坐標等于0；軸上的點，橫坐標等于0；坐標軸上的點不屬于任何象限 （三）四個象限的點的坐標具有如下特征：象限橫坐標縱坐標第一象限正正第二象限負正第三象限負負第四象限正負 1、點P（）所在的象限 橫、縱坐標、的取值的正負性； 2、點P（）所在的數(shù)軸 橫、縱坐標、中必有一數(shù)為零；P（

2、） （四）在平面直角坐標系中，已知點P，則 1、點P到軸的距離為； 2、點P到軸的距離為； 3、點P到原點O的距離為PO （五）平行直線上的點的坐標特征： 1、在及軸平行的直線上， 所有點的縱坐標相等；YABB 點A、B的縱坐標都等于； XYX 2、在及軸平行的直線上，所有點的橫坐標相等；CD 點C、D的橫坐標都等于； （六）對稱點的坐標特征： 1、點P關(guān)于軸的對稱點為， 即橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)； 2、點P關(guān)于軸的對稱點為， 即縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；XyPOXyPOXyPO 3、點P關(guān)于原點的對稱點為，即橫、縱坐標都互為相反數(shù)；關(guān)于x軸對稱 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于原點對稱 （七）兩

3、條坐標軸夾角平分線上的點的坐標的特征： 1、若點P（）在第一、三象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標相等； 2、若點P（）在第二、四象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標互為相反數(shù)；yPOXXyPO 在第一、三象限的角平分線上 在第二、四象限的角平分線上（八）利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內(nèi)一些點分布情況平面圖過程如下： 1、建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向； 2、根據(jù)具體問題確定適當?shù)谋壤?，在坐標軸上標出單位長度； 3、在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。P（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移a個單位長度向下平移

4、a個單位長度向右平移a個單位長度向左平移a個單位長度 （九）用坐標表示平移：見下圖 二、題型分析： 題型一： 代數(shù)式及點坐標象限判定此類問題通常及不等式（組）聯(lián)系在一起，或由點所在的象限確定字母的取值范圍，或由字母的取值范圍確定點所在的象限【例1】在平面直角坐標系中，點在（）第一象限第二象限第三象限第四象限【解析】由各象限點的特征知，點在第四象限，故選D【點評】解答這類問題所需的知識點是第一、二、三、四象限內(nèi)的點的坐標符號分別是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）【例2】若點（）的橫坐標及縱坐標互為相反數(shù)，則點一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】由題意知，解得于

5、是點P的坐標為（1，-1），于是點P在第二象限選B【點評】本題設(shè)置了一個小小的障礙，即先根據(jù)橫坐標及縱坐標互為相反數(shù)列出方程解出m，然后才能根據(jù)會標特點確定象限【例3】若點P（a，b）在第四象限，則點M（b-a，a-b）在 （）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限答案：B分析：第四象限橫坐標大于0，縱坐標小于0.【例4】如果ab0,且ab0,那么點(a，b)在 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 答案：B 【例5】對任意實數(shù)x，點P（x，x22x）一定不在（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C【例7】點P（x，y）在第四象

6、限，且|x|=3，|y|=2，則P點的坐標是。答案：（3，-2）【例8】若點M (1 x，x + 2 ) 在第二象限內(nèi)，則x的取值范圍為；答案：x2習題演練：1、在平面直角坐標系中，點P（）一定在象限。2、點P（x1，x1）不可能在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限3、如果點M（ab，ab）在第二象限，那么點N（a，b）在第_象限。4、點Q (3 a，5 a )在第二象限，則=；5、點M（a，a-1）不可能在 （）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、如果0，那么點P（x，y）在 （ ） A、 第二象限 B、第四象限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或

7、第三象限 題型二：用代數(shù)式求坐標軸上的點坐標 例1：在平面直角坐標系中，已知點P（）在軸上，則P點坐標為答案： （7，0） 例2：已知:A(1,2),B(x,y),ABx軸,且B到y(tǒng)軸距離為2,則點B的坐標是.答案：（-2，2）或（2，2）習題演練： 1、已知點A（m，-2），點B（3，m-1），且直線ABx軸，則m的值為。2、已知線段AB=3，AB軸，若點A的坐標為（，2），則B點的坐標為；3、已知點P（x2-3，1）在一、三象限夾角平分線上，則x=. 題型三：求對稱點的坐標解答此類問題所需知識點是：點（a,b）關(guān)于x軸的對稱點是(a,-b)，關(guān)于y軸的對稱點是(-a,b)，關(guān)于原點的對稱點

8、是（-a,-b）圖1【例1】在如圖1所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，如果以所在的直線為軸，以小正方形的邊長為單位長度建立平面直角坐標系，使點及點關(guān)于原點對稱，則這時點的坐標可能是（）【解析】根據(jù)題意，點及點關(guān)于原點對稱，MN所在直線為y軸，于是可確定原點為圖中O點位置，即x軸為過O點的一條橫線，于是C點的坐標為（2，-1），即選B【點評】本題逆向考查了兩點關(guān)于原點對稱問題，求C點坐標的關(guān)鍵是確定直角坐標系的原點所在 例1：點M（2，3）關(guān)于軸的對稱點N的坐標為； 關(guān)于軸的對稱點P的坐標為；關(guān)于原點的對稱點Q的坐標為。答案：（2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2） 例2 已知點A

9、（a，5），B（8，b）根據(jù)下列要求，確定a，b的值（1）A，B兩點關(guān)于y軸對稱；（2）A，B兩點關(guān)于原點對稱；（3）ABx軸；（4）A，B兩點在一，三象限兩坐標軸夾角的平分線上【分析】（1）兩點關(guān)于y軸對稱時，它們的橫坐標互為相反數(shù)，而縱坐標相同；（2）兩點關(guān)于原點對稱時，兩點的橫縱坐標都互為相反數(shù)；（3）兩點連線平行于x軸時，這兩點縱坐標相同（但橫坐標不同）；（4）當兩點位于一，三象限兩坐標軸夾角的平分線上時，每個點的橫縱坐標相同【解答】（1）當點A（a，5），B（8，b）關(guān)于y軸對稱時有：（2）當點A（a，5），B（8，b）關(guān)于原點對稱時有（3）當ABx軸時，有（4）當A，B兩點位于一，

10、三象限兩坐標軸夾角平分線上時有：xA=yB且xA=yB即a=5，b=8 【點評】運用對稱點的坐標之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵習題演練：1、點P(，)關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于原點的對稱點的坐標是；2、在平面直角坐標系下，下列各組中關(guān)于原點對稱又關(guān)于y軸對稱的點是（  ）A、（3，2）（3，2） B、（0，3）（0，3） C、（3，0）（3，0）D、（3，2）（3，2） 題型四：根據(jù)坐標對稱求代數(shù)式的值 例1：已知點P和點A關(guān)于軸對稱，那么=； 答案：習題演練： 1、已知點A（2a+3b，2）和點B（8，3a+2b）關(guān)于x軸對稱，那么a+b=（） A、2 B、2

11、 C、0 D、4答案：A2、已知：點P的坐標是(,)，且點P關(guān)于軸對稱的點的坐標是(,)，則； 答案：-3 ； 題型五：根據(jù)到坐標軸的距離求坐標 例1：過點A（2，-3）且垂直于y軸的直線交y軸于點B，則點B坐標為 （ ）A、（0，2） B、（2，0） C、（0，-3） D、（-3，0）答案：C 例2：已知點M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則M點的坐標為（ ）A、（3，2） B、（-3，-2） C、（3，-2） D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）答案：D 例3：若點P（，）到軸的距離是，到軸的距離是，則這樣的點P有 （ ）、個 、個 、個 、個答案：D習題演練：

12、1、點P位于x軸下方，y軸左側(cè)，距離x軸4個單位長度，距離y軸2個單位長度，那么點P的坐標是 （）A、（4，2） B、（2，4） C、（4，2） D、（2，4）答案：B2、點E（a,b）到x軸的距離是4，到y(tǒng)軸距離是3，則有 （）A、a=3, b=4 B、a=±3,b=±4 C、a=4, b=3 D、a=±4,b=±3 答案：D3、已知點P的坐標為（2 a，3a + 6），且點P到兩坐標軸的距離相等，則點P坐標是 ( )A、（3，3) B、(3，3) C、(6，一6) D、(3，3)或(6，一6)答案：D 題型六：根據(jù)圖形的其他頂點坐標求點坐標 例1：在

13、平面直角坐標系中，A，B，C三點的坐標分別為（0，0），（0，-5），（-2，-2），以這三點為平行四邊形的三個頂點，則第四個頂點不可能在第_象限答案：一習題演練：1、一個長方形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為（1,1）、（1，2）、（3,1），則第四個頂點的坐標為（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3） 答案：B 題型七：根據(jù)點的坐標求圖形的面積 例1：已知點A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B兩點之間的距離。（2）求點C到X軸的距離。（3）求ABC的面積。 答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9習題演練：1、在坐標系中，已知A（2，

14、0），B（3，4），C（0，0），則ABC的面積為（）A、4 B、6 C、8 D、3答案：A技巧：割補法求面積 題型八： 求平移后的坐標 例1：已知三角形的三個頂點坐標分別是（1，4）、（1，1）、（4，1），現(xiàn)將這三個點先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是（ ）A、（2，2），（3，4），（1，7） B、（2，2），（4，3），（1，7）C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，2），（3，3），（1，7）答案：A 例2：線段CD是由線段AB平移得到的.點A（1，4）的對應(yīng)點為C（4，7），則點B（ 4， 1）的對應(yīng)點D的坐標為（ ） A、（2，9

15、） B、（5，3） C、（1，2） D、（ 9， 4）答案：C習題演練：1、已知點，將它先向左平移4個單位，再向上平移3個單位后得到點，則點的坐標是答案：（-1,1） 題型九：圖形變換后點的坐標【例4】將點沿軸的正方向平移個單位得到點的坐標是（）【解析】將點P沿軸的正方向平移時，橫坐標發(fā)生變化，然縱坐標是不變化的，于是點的坐標為（2，2），即選C圖2【點評】處理類似問題不妨新建一個直角坐標系草圖分析一下，沿x軸正方向平移時，縱坐標的不變性就很直觀了【例5】如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到若點的坐標為，則點的坐標為 【解析】從圖形上可以看出，逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的所在位置也很特殊，即B恰好落在y軸上

16、，于是點的縱坐標為a,橫坐標應(yīng)該為-b;故點的坐標為（-b,a）【點評】本題分析出得到的所在位置很特殊還算容易，但在處理坐標時更容易粗心致錯，即認為點的橫坐標應(yīng)該為b，忽視逆時針旋轉(zhuǎn)后點A所在象限變化到第二象限了 例1：如圖4所示，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，P2019的位置，則P2019的橫坐標x2019=_答案：2019 圖1 圖2 例2：已知ABC在平面直角坐標系中的位置如圖8所示，將ABC向右平移6個單位，則平移后A的坐標是（） A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1）答案：B 題型十：尋點構(gòu)造等腰三角形 例1：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，已知A點的坐標為（1，1），請你在坐標軸上找出點B，使AOB為等腰三角形，則符合條件的點B共有（）A6個 B7個 C8個 D9個答案：C題型十一、平面直角坐標系