2013年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何Word版含答案

1、. 2013 年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何一、選擇題1 （ 2013 年高考新課標1（理）, 容器高8cm, 如圖 , 有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器將一個球放在容器口, 再向容器內(nèi)注水, 當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度 , 則球的體積為（）a500 cm3b 866 cm3c 1372 cm3d 2048 cm33 3 3 3 【答案】 a 2 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word 版） 設m,n是兩條不同的直線 , , 是兩個不同的平面 , 下列命題中正確的是（）a若, m , n, 則m n b若c若m n

2、, m, n, 則d若【答案】d / , m, n, 則 m / nm, m / n , n / , 則3（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷( 含答案 ) ） 若兩個球的表面積之比為1: 4, 則這兩個球的體積之比為（）a 1: 2 b 1: 4 c 1: 8 d 1:16 【答案】c 4（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）word 版含答案（已校對） ） 已知正四棱柱abcd a1 bc1 1d1中aa12 ab , 則 cd 與平面 bdc1所成角的正弦值等于（）a2b3 c2 d1. 3 3 3 3 【答案】 a 5 （ 2013 年高考新課標1（理） 某幾何體的

3、三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為第 1 頁 共 40 頁. （）a 16 8b 8 8 c 16 16 d 8 16 【答案】 a 6 （ 2013 年高考湖北卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示 , 該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成, 其體積分別記為v1 , v2 , v3 , v4 , 上面兩個簡單幾何體均為旋轉體, 下面兩個簡單幾何體均為多面體, 則有（）a v1v2v4v3b v1v3v2v4c v2 v1v3【答案】 c 7 （ 2013 年高考湖南卷（理）已知棱長為1 的正方體的俯視圖是一個面積為1 的正方形 , 則該正方體的正視圖的面積不可能等于 （）a 1 b 2 2-1

4、 d2+1 c2 2 【答案】 c 8 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word 版） 某四. 棱臺的三視圖如圖所示 , 則該四棱臺的體積是第 2 頁 共 40 頁. 1 2 2 正視圖側視圖1 1 俯視圖第 5 題圖（）14 16 a4b3c3d6【答案】 b 9 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純 word 版含答案） 已知 m, n 為異面直線 , m 平面, n 平面. 直線 l 滿足 l m, l n, l,l, 則（）a/ , 且 l / b, 且 l c與相交 , 且交線垂直于 l d與 相交 , 且交線平行于 l 【答案

5、】 d 10 （ 2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案） 已知三棱柱9 abc a1 b1c1的側棱與底面垂直 , 體積為 4 , 底面是邊長為3的正三角形 . 若 p 為底面a1b1c1的中心, 則 pa 與平面 abc 所成角的大小為（）5 a12b3c4d6【答案】 b 11（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案）某幾何體的三視圖如題5圖所示 , 則該幾何體的體積為（）. a560 b 580 c 200 d 240 3 3 第 3 頁 共 40 頁. 【答案】 c 12 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（wo

6、rd 版） 已知三棱柱abca1 b1c1的6 個頂點都在球 o 的球面 上, 若ab 3， ac 4 , ab ac , aa112 , 則球 o 的半徑為（）a 3 17 b 2 10 c13d 3 10 2 2 【答案】 c 13（ 2013年高考江西卷（理） 如圖 , 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上 , 且ab cd , 正方體的六個面所在的平面與直線ce,ef 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m, n , 那么m n （）a 8 b 9 c10 d 11 【答案】a 14（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純word 版含答案）一個四面體的頂點在空間直角坐標系

7、o xyz 中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)畫該四面體三視圖中的正視圖時, 以 zox 平面為投影面 , 則得到正視圖可以為. （）第 4 頁 共 40 頁. ab c d【答案】a 15（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word 版） 在下列命題中, 不是公理 的是a平行于同一個平面的兩個平面相互平行b過不在同一條直線上的三點 , 有且只有一個平面c如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi), 那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)d如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線（）a 16（ 2013 年普

8、通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版）在空間中, 過點a 作平面的垂線, 垂足為b , 記b f ( a) . 設, 是兩個不同的平面, 對空間任意一點p , q1 f f ( p), q2 f f (p) , 恒有pq1 pq2 , 則（）a平面與平面垂直b平面與平面所成的( 銳 ) 二面角為450 c平面與平面平行d平面與平面所成的( 銳 ) 二面角為600 【答案】 a 17（ 2013 年高考四川卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的直觀圖可以是【答案】 d 二、填空題18 （2013 年高考上海卷（理）在xoy 平面上, 將兩個半圓弧( x1)2 y2

9、 1(x 1) 和. (x 3)2 y2 1(x 3) 、兩條直線y 1 和y 1 圍成的封閉圖形記為d, 如圖中陰影部分 . 記d 繞y 軸旋轉一周而成的幾何體為, 過 (0, y)(| y | 1) 作的水平截面, 所得截面面積為4 1y2 8 , 試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體, 得出第5 頁共40 頁. 的體積值為 _ 【答案】 2 2 16 . 19（ 2013 年高考陜西卷（理） 某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為 _ _. 3 2 1 1 1 【答案】3 20（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）word 版含答案（已校對）已知圓 o 和圓 k

10、是球 o 的大圓和小圓, 其公共弦長等于球o 的半徑 , ok 3 , 且圓 o 與圓 k 所2 在的平面所成的一個二面角為60 , 則球 o 的表面積等于_. 【答案】 16 21（ 2013 年高考北京卷（理） 如圖 , 在棱長為 2 的正方體 abcd-a1b1c1d1 中 , e 為 bc 的中點 , 點 p 在線段 d1e 上 , 點 p 到直線cc1的距離的最小值為 _. d1 c1a1b1p d ce a b【答案】2 5 . 5 第 6 頁 共 40 頁. 22（ 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純 word 版含附加題） ）如圖 , 在三棱柱

11、a1 b1c1 abc 中 , d ， e， f 分別是ab，ac，aa1的中點 , 設三棱錐 f ade 的 體 積 為 v1 , 三 棱 柱a1b1c1abc 的 體 積 為 v2, 則v1 : v2_. cba f c e b ad【答案】 1: 24 23（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版） 若某幾何體的三視圖 ( 單位 :cm) 如圖所示 , 則此幾何體的體積等于_ cm2.4 3 3 2 正視圖側視圖3俯視圖（第 12 題圖）【答案】 24 24（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word版） 如圖 , 正方體abc

12、da1bc d 1,p 為 bc 的中點 ,q 為線段cc 1 1 1 的棱長為1上的動點 , 過點a,p,q 的平面截該正方體所得的截面記為s. 則下列命題正確的是 _ _( 寫出所有正確命題的編號 ). . 1 時,s 為四邊形 ; 當cq 1 3 當 0 cq 時 ,s 為等腰梯形 ; 當cq 時 ,s 與2 2 4 第 7 頁 共 40 頁. c1d1的交點 r滿足c1r11 3 1 時 ,s 的面積; 當cq 1 時 ,s 為六邊形 ; 當cq 3 4 為6 .2 【答案】 25（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word 版）某幾何體的三視圖如圖所示 , 則

13、該幾何體的體積是_. 【答案】 16 16 26（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純word版） 已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體, 如果該組合體的正視圖 . 測試圖 . 俯視圖均如圖所示, 且圖中的四邊形是邊長為2 的正方形 , 則該球的表面積是_ 【答案】 12 27（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷( 含答案 ) ）在如圖所示的正方體abcd a bc d 中 , 1 1 1 1 異面直線 a b 與 bc 所成角的大小為_ 1 1 d1c1 a1 b1 . d ca b 【答案】3 第 8 頁 共 40 頁. 三、解答題28（ 2013 年普通高等學校招

14、生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（ word版）如圖 ,ab 是圓的直徑 ,pa 垂直圓所在的平面,c 是圓上的點 . (i) 求證 : 平面 pac 平面 pbc；(ii) 若 ab 2，ac 1， pa 1，求證：二面角c pb a 的余弦值 . 【答案】第 9 頁 共 40 頁. 第 10 頁 共 40 頁. 29（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學如圖 , 四棱錐 p abcd （理）試題（含答案）中 , pa 底面 abcd , bc cd 2, ac 4, acbacd , f 為 pc 的中3 點, af pb . (1) 求 pa 的長 ; (2) 求二面角b af d

15、 的正弦值 . 【答案】. 第 11 頁 共 40 頁. 1（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純 word 版）如圖 , 圓錐頂點為p . 第 12 頁 共 40 頁. 底面圓心為 o , 其母線與底面所成的角為 22.5 . ab 和 cd 是底面圓 o 上的兩條平行的弦 , 軸 op 與平面 pcd 所成的角為 60 . ( ) 證明 : 平面 pab 與平面 pcd 的交線平行于底面 ; ( ) 求 cos cod . 【答案】解: ( )設面pab 面pcd 直線 m, ab / /cd 且cd面pcd ab / / 面pcdab / / 直線m ab 面ab

16、cd 直線 m / 面abcd . 所以 , 面 pab 與面 pcd 的公共交線平行底面abcd . ( ) 設底面半徑為 r , 線段 cd 的中點為f，則opf 60 .由題知 tan 22.5 po . r , tan 60 of tan 60 tan 22.5 of cos cod , tan 45 1 2tan 22.5 . po r 2 tan 2 22.5 cos cod2 cos2cod 1 tan 22.5 2 -1, coscod 1 3( 2 -1,) 23(3 2 2 ) 2 2 cos cod17 - 122.所以coscod 17 - 12 2 . 法二 : .

17、第 13 頁 共 40 頁. 1（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版） 如圖 , 在四面體a bcd 中 , ad 平面 bcd , bc cd , ad 2, bd 2 2 . m 是 ad 的中點 , p 是 bm 的中點 , 點 q 在線段 ac 上 , 且 aq 3qc .(1) 證明 : pq / 平面 bcd ;(2) 若二面角 c bm d 的大小為60 0 , 求 bdc 的大小 .a m p q b d c （第20 題圖）【答案】解 :證明 ( ) 方法一: 如圖 6, 取 md 的中點f , 且 m 是 ad 中點 , 所以. af

18、3 fd . 因 為 p 是bm 中 點 , 所 以 pf / / bd ; 又 因 為 ( ) aq 3qc 且第 14 頁 共 40 頁. af 3fd , 所 以 qf / / bd , 所 以 面 pqf / / 面 bdc , 且 pq 面 bdc , 所以pq / / 面 bdc ; 方法二 : 如圖 7 所示 , 取 bd 中點 o , 且 p 是 bm 中點 , 所以 po / / 1 md ; 取 cd 的三等2 分 點 h , 使dh 3ch , 且 aq 3qc , 所以qh / / 1 1 , 所 以ad / / md 4 2 p o/ / q h且oh bcd , 所

19、以pq / / 面bdc ; p q/ / ,o h( ) 如圖8 所示 , 由已知得到面adb 面 bdc , 過 c 作 cg bd 于 g , 所以cg bmd ,過 g 作gh bm 于h , 連接 ch , 所以chg 就是 c bm d 的二面角 ; 由已知得到bm 8 1 3 , 設bdc , 所以cd cos ,sin cg cb cd 2 2 cos , cg 2 2 cos sin, bc 2 2 sin , bd cd bd , 在rt bcg 中 , bcg sin bg bg 2 2 sin 2, 所以在rt bhg bc 中 , hg12 2sin2, 所以在rt

20、chg 中2 sin2hg 3 2 3. 第 15 頁 共 40 頁. tan chg tan60 3cg2 2 cos sin hg2 2 sin23tan3 (0,90 ) 60 bdc 60 ; 2（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷( 含答案 ) ）如圖 , 在正三棱錐 abc a1b1c1中 , aa16 ,異面直線 bc1與 aa1所成角的大小為, 求該三棱柱的體積 . 6 a1 c1b1 a c b 【答案】 解 因為 cc1aa1 .所以bc1c 為異面直線 bc1與 aa1 . 所成的角 , 即bc1c =. 6 在rt bc1c 中, bc cc1tan bc1c3 2

21、3 , 6 3 從而 s abc3 bc 23 3 , 4 因此該三棱柱的體積為v sabc aa13 3 6 18 3 . 3（ 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純word版含附加題） ）本小題滿分14 分 . 如圖 , 在三棱錐s abc 中 , 平面 sab 平面 sbc , ab bc , as ab , 過 a 作af sb , 垂足為f , 點 e， g 分別是棱 sa， sc 的中點 . 求證 :(1) 平面 efg / 平面abc ; (2) bc sa. s . e g f c a b 【答案】 證明 :(1) as ab , af sb f

22、 分別是 sb 的中點e.f 分別是 sa.sb 的中點efab 第16 頁 共 40 頁. 又 ef 平面 abc, ab 平面 abc ef平面abc 同理 :fg平面 abc 又 ef fg=f, ef.fg 平面 abc平面 efg / 平面 abc (2)平面 sab 平面 sbc 平面 sab 平面 sbc =bc af 平面 sab afsb af平面 sbc 又 bc 平面 sbc afbc 又 ab bc , ab af=a, ab.af 平面 sab bc平面 sab 又 sa 平面 sabbcsa 4（ 2013 年高考上海卷（理）如圖 , 在長方體 abcd-a1b1c

23、1d1 中 ,ab=2,ad=1,a 1a=1, 證明直線 bc1 平行于平面 da1c, 并求直線bc1 到平面 d1ac 的距離 . d ca bc1a1d1b1【答案】 因為 abcd-ab c d 為長方體 , 故ab / c1 d1 , abc1 d1 , 1 1 1 1故 abc1d1 為平行四邊形 , 故bc1/ ad1 , 顯然 b 不在平面1 于是直線1 dac 上, bc 平行于平面da1c; 直線 bc1 到平面 d1ac 的距離即為點b 到平面 d1ac 的距離設為 h 考慮三棱錐 abcd1 的體積 , 以 abc 為底面 , 可得 v 1 ( 1 1 2) 1 1

24、3 2 3 而adc 中 , ac dc 5, ad2 , 故 s ad c3 1 1 1 1 2 所以13 1 2 , 即直線 bc 到平面d ac 的距離為2 , v h h . 32 3 3 1 1 3 5（ 2013 年高考湖北卷（理） 如圖 , ab 是圓 o 的直徑 , 點 c 是圓o 上異于 a, b 的點 , 直線pc 平面 abc , e , f 分別是 pa , pc 的中. 點 . (i) 記平面 bef 與平面 abc 的交線為 l , 試判斷直線 l 與平面 pac 的位置關系 , 并加以證明 ; (ii) 設 (i) 中的直線 l 與圓 o 的另一個交點為d , 且

25、點 q 滿足dq 1 cp . 記直線pq2 與平面 abc 所成的角為, 異面直線 pq 與 ef 所成的角為, 二面角e l c 的大小為, 求證 : sinsin sin . 第 17 頁 共 40 頁. 第19 題圖【答案】 解 :(i) ef ac , ac 平面 abc , ef 平面 abc ef 平面 abc 又ef 平面 bef ef l l平面 pac (ii) 連接 df, 用幾何方法很快就可以得到求證.( 這一題用幾何方法較快 , 向量的方法很麻煩 , 特別是用向量不能方便的表示角的正弦 . 個人認為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差 .) . 第 18 頁

26、 共 40 頁. 第 19 頁 共 40 頁. 6（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word版 ） ）如圖 1, 在等腰直角三角形 abc 中 , a 90 , bc 6, d , e 分別是 ac , ab 上的點 , cd be 2 , o 為bc 的中點 . 將ade 沿 de 折起 , 得到如圖2 所示的四棱錐a bcde , 其中a o3 . ( ) 證明 : a o 平面bcde ; ( ) 求二面角 a cd b 的平面角的余弦值 . c o.b a d e c o ba d e 圖 1 圖 2 . 【答案】 ( ) 在圖1 中 , 易得oc 3, a

27、c 3 2, ad 2 2 第 20 頁 共 40 頁. a c o b d eh 連結 od ,oe , 在ocd 中, 由余弦定理可得od oc 2cd 22oc cd cos45 5 由翻折不變性可知a d2 2 , 所以a o2od 2a d 2 , 所以 a o od , 理可證 a o oe , 又od oe o , 所以 a o 平面bcde . ( ) 傳統(tǒng)法 : 過 o 作oh cd 交 cd 的延長線于 h , 連結a h , 因為 a o 平面 bcde , 所以a h cd , 所以a ho 為二面角a cd b 的平面角 . 結合圖 1 可知 , h 為 ac 中點

28、, 故 oh 3 2 , 從而 a h oh 2oa 230 2 2 所以 cos a ho oh 15 , 所以二面角 a cd b 的平面角的余弦值為15 .a h 5 z 5 a 向量法 : 以 o 點為原點 , 建立空間直角坐標系o xyz 如圖所示 ,則a 0,0, 3 , c 0, 3,0 , d 1, 2,0 c o d 所以 ca 0,3, 3 , da1,2, 3 ex 向量法圖. b y 第 21 頁 共 40 頁. 值為15 .5 7（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案）四棱柱1 1 1 1 如圖 , abcd-a b cd 中, 側棱 a1

29、a底面abcd, ab/ dc,abad,ad= cd= 1, aa1 = ab= 2, e 為棱aa1 的中點 . ( ) 證明 b c ce;1 1 ( ) 求二面角 b1- ce- c1 的正弦值 . ( )設點在線段1 上 , 且直線與平面1 1 所成角的正弦值為2 , 求線段am m ce am adda 6 的長 . 【答案】. 第 22 頁 共 40 頁. 8（ 2013 年高考新課標1（理） 如圖 , 三棱柱 abc-a1b1c1 中 ,ca=cb,ab=a a1, ba a1=60.( ) 證明 ab a1c; ( ) 若平面 abc平面 aa1b1b,ab=cb=2, 求直

30、線 a1c 與平面 bb1c1c 所成角的正弦值. . 第 23 頁 共 40 頁. 【答案】 ( ) 取 ab 中點 e, 連結 ce, a1 b , a1e , ab= aa1 , baa1 = 600 , baa1是正三角形 , a1e ab, ca=cb, ce ab, ce a1e =e, ab面 cea1 , ab ac ; 1 ( ) 由( ) 知 ecab, ea1 ab, 又面 abc面 abb1a1 , 面 abc面 abb1 a1 =ab, ec面 abb1 a1 , ec ea1 , ea,ec, ea1兩兩相互垂直 , 以 e 為坐標原點 , ea 的方向為 x 軸正

31、方向 ,| ea | 為單位長度 , 建立如圖所示空間直角坐標系 o xyz, 有 題 設 知a(1,0,0), a1 (0, 3,0),c(0,0, 3 ),b(-1,0,0), 則bc =(1,0, 3 ), bb1= aa1=(-1,0, 3 ), ac=(0,- 3 ,3 ), 1 設n = (x, y, z) 是平面 cbb1c1的法向量 , n bc 0 x3z0 則, 即, 可取 n =( 3 ,1,-1), . n bb10 x3y0 cos n, a1c = n a1c | 10 ,| n | ac15第 24 頁 共 40 頁. 直線 a1c 與平面 bb1c1c 所成角的

32、正弦值為10 5 9（ 2013 年高考陜西卷（理） ）如圖 , 四棱柱1 1 1 1 o 為底面abcd-a b cd 的底面 abcd是正方形 ,中心 , a1o平面abcd, ab aa12 . ( ) 證明 : a c平面bbdd; 1 1 1( ) 求平面 ocb1與平面bb1d1d 的夾角的大小 . d 1 c1a1 b1 d ca o b 【答案】解:( ) a1o 面 abcd, 且 bd 面abcd, a1obd ; 又因為 , 在正方形ab cd 中, ac bd；且 a1oaca, 所以bd 面 a1 ac且a1c面 a1 ac，故a1c bd . 在正方形 ab cd中

33、 ,ao = 1 . 在 rt a1oa 中，a1o1. 設 b1d1的中點為 e1，則四邊形 a1oce1為正方形，所以 a1 ce1o . 又 bd 面 bb dd, e1o面 bb d d，且bde1o o，所以由以上三點得1 1 1 1 . a1c 面 bb1 d1d .( 證畢 )( ) 建立直角坐標系統(tǒng), 使用向量解題 . 以 o 為原點 , 以 oc 為 x 軸正方向 , 以 ob 為y 軸正方向 . 則. b（ 0,1,0 ）,c (1 ， 0 ，0), a1 (0 ，0 ， 1), b1(1,1,1)a1c (1,0,1) . 由( ) 知 , 平面 bb1d1d 的一個法向量 n1a1c (1,0, 1),ob1(1,1,1), oc （1,0,0 ）.設平面ocb 的法向量為1 d 1 c1 a1 b n2 ,則 n2ob10, n2 oc0，1 解得其中一個法向量為n2(0,1,-1).d c | n1n2 | 1 1a o cos | cos n1, n1| b | n1 | | n2| 2 2 . 2第 25 頁 共 4