第四章　平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個單位的向量平行向量表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這兩個向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求

2、a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)，使得ba.1作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；2在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個；3要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系試一試1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量答案：C2若菱形A

3、BCD的邊長為2，則|_.解析：|2.答案：21向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則()2三點(diǎn)共線等價關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線 (0)(1t)·t(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR) xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)練一練1D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()A BC D答案：A2已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.解析：由題意知abk(b3a)，所以解得答案：考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念1.給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，

4、bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號是()ABC D解析：選A不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號是.故選A.2設(shè)a0為單位向量，若a為平

5、面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.類題通法平面向量中常用的幾個結(jié)論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時不要把它與函數(shù)圖像的平移混為一談(3)是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量考點(diǎn)二向量的線

6、性運(yùn)算典例(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，()A0BC D(2)(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_解析(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，.(2)由題意()，所以1，2，即12.答案(1)D(2)若(2)條件變?yōu)椋喝?，則_.解析：，2.又2，2().，即.答案：類題通法在向量線性運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解針對訓(xùn)練若A，B，C，D是平

7、面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：；.其中正確的有()A0個 B1個C2個 D3個解析：選C式的等價式是，左邊，右邊，不一定相等；式的等價式是，成立；式的等價式是，成立考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用典例設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210.k&#

8、177;1.類題通法1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A、B、C三點(diǎn)共線針對訓(xùn)練已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因?yàn)閍，b不共線，所以

9、有解之得t.故存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上課堂練通考點(diǎn)1給出下列命題：兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯誤的命題的個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選C錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯誤，當(dāng)a0時，不論為何值，a0.錯誤，當(dāng)0時，ab0，此時，a與b可以是任意向量故選C.2.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則()AabB.abC.ab D.ab解析：選Bab，又3，(ab)，b

10、(ab)ab.3(2013·貴陽監(jiān)測考試)已知向量a，b，c中任意兩個都不共線，但ab與c共線，且bc與a共線，則向量abc()AaBbCc D0解析：選D依題意，設(shè)abmc，bcna，則有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a與c不共線，于是有m1，n1，abc，abc0，選D.4.(2013·“江南十?！甭?lián)考)如圖，在ABC中，A60°，A的平分線交BC于D，若AB4，且 (R)，則AD的長為()A2 B3C4 D5解析：選B因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以有1，解得，如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則，經(jīng)計算得ANAM3，AD

11、3.5在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab6設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_.解析：由|可知，則AM為RtABC斜邊BC上的中線，因此，|2.答案：2課下提升考能第組：全員必做題1設(shè)a、b是兩個非零向量()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|解析：選C對于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；對于B，滿足ab時|ab|a|b|不成立；對于C，可得cosa，b1，因此成立，而D

12、顯然不一定成立2設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：選A由題意得，因此()，故與反向平行3(2014·哈爾濱四校聯(lián)考)在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B.C1 D3解析：選B如圖，因?yàn)?，所以，mm，因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，所以m1，所以m.4(2014·山師大附中模擬)已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及ABC，若，則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是()A點(diǎn)P在線段AB上 B點(diǎn)P在線段BC上C點(diǎn)P在線段AC上 D點(diǎn)P在ABC外部解析：選C由得，即2，所

13、以點(diǎn)P在線段AC上，選C.5(2014·大連高三雙基測試)設(shè)O在ABC的內(nèi)部，且有230，則ABC的面積和AOC的面積之比為()A3 B.C2 D.解析：選A設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則已知條件可化為()2()0，即20，所以2，說明M，O，N共線，即O為中位線MN上的靠近N的三等分點(diǎn)，SAOCSANC·SABCSABC，所以3.6(2013·淮陰模擬)已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m_.解析：由題目條件可知，M為ABC的重心，連接AM并延長交BC于D，則，因?yàn)锳D為中線，則23，所以m3.答案：37(2013·大慶模擬)已知O

14、為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_解析：，BA綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形答案：平行四邊形8已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確命題的個數(shù)為_解析：a，b，ab，故錯；ab，故錯；()(ab)ab，故正確；baabba0.正確命題為.答案：39設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值解：(1)證明：e1e2，3e12e2，8e12e2，

15、4e1e2(8e12e2)，與共線又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三點(diǎn)共線，與共線，從而存在實(shí)數(shù)使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.10.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線第組：重點(diǎn)選做題1A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個定點(diǎn)，且a，b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A

16、的對稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為R，則等于()Aab B2(ba)C2(ab) Dba解析：選B()()222(ba)2.如圖，在ABC中，設(shè)a，b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P，則等于_解析：如圖，連接BP，則b，a，得2ab.又()，將代入，得2ab，解得ab.答案：ab第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，存在唯一一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a

17、(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b為非零向量，當(dāng)ab時，a，b的夾角為0°或180°，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯；2要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)

18、，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10.試一試1若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4)B(2,4)C(6,10) D(6，10)答案：A2(2013·石家莊模擬)已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量時，注意方程思想的運(yùn)用練一練設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析：由題意，設(shè)e1e

19、2manb.因?yàn)閍e12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.(2014·昆明一中摸底)已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0)B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：選A3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y(6)(3,6)，所以即選A.2(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.解析：設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則aij，b6i2j，ci

20、3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根據(jù)平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得類題通法1向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算2兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同此時注意方程(組)思想的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用典例如圖，在梯形ABCD中，ADB

21、C，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，.解析babba，bba，bab.類題通法用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理針對訓(xùn)練(2014·濟(jì)南調(diào)研)如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：因?yàn)閗k()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考點(diǎn)三平面向量平行的坐標(biāo)表示典例平面內(nèi)給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(

22、1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2×(34k)(5)×(2k)0.k.在本例條件下，若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得得或d(3，1)或(5,3)類題通法1向量平行的兩種表示形式設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用.2兩向量平行的充要條件的作

23、用判斷兩向量是否平行(共線)，可解決三點(diǎn)共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值針對訓(xùn)練已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)課堂練通考點(diǎn)1如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且a，b，則()AbaBbaCab Dab解析：選Aababa.2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于(

24、)A2 B2C D.解析：選C由題意得manb(2mn,3m2n)a2b(4，1)，由于(manb)(a2b)，可得(2mn)4(3m2n)0，可得，故選C.3(2013·大連沙河口模擬)非零不共線向量、，且2xy，若 (R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：選A，得()，即(1).又2xy，消去得xy2，故選A.4已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論：直線OC與直線BA平行；2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選C由題意得kOC，kBA，OCBA，正確；，錯誤；(0,2

25、)，正確；2(4,0)，(4,0)，正確5(2014·朝陽一模)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為()A. B.C. D1解析：選AM為邊BC上任意一點(diǎn)，可設(shè)xy (xy1)N為AM中點(diǎn)，xy.(xy).6(2013·保定調(diào)研)已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC135°，設(shè) (R)，則的值為_解析：由AOC135°知，點(diǎn)C在射線yx(x<0)上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，a)，a<0，則有(a，a)(1，)，得a1，a，消掉a得.答案：課下提升考能第組：全員必做題1(2013·

26、遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A. B.C. D.解析：選A(3，4)，則與其同方向的單位向量e(3，4).2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是()A. B.C3 D0解析：選D2，()，AC，又rs，r，s，rs0.故選D.3(2014·江蘇五市聯(lián)考)已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x的值為()A4 B8C0 D2解析：選Aa2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，顯然2ab0，故有(16x，x1)，R，x4(x>0)4.若，是一組基底，向量xy(x，yR)

27、，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2)，則a在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析：選Da在基底p，q下的坐標(biāo)為(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯誤的是()ABCD解析：選D由向量減法的三角形法則知，排除B；由向量加法的平行四邊形法則知，排除A、C.6在ABC中，點(diǎn)P在BC

28、上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)7(2014·九江模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個向量集合，則PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)則得此時ab(13，23)答案：8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k

29、1)2k0，解得k1.答案：k19已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時向量a3b與kab方向相反10已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線解：(1)t1

30、t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明：當(dāng)t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，A，B，M三點(diǎn)共線第組：重點(diǎn)選做題1在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，若x(1x)·，則x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D依題意，設(shè)，其中1<<，則有()(1).又x(1x)，且，不共線，于是有x1，即x的取值范圍是.2設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積ab

31、(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，點(diǎn)P(x，y)在ysin x的圖像上運(yùn)動Q是函數(shù)yf(x)圖像上的點(diǎn)，且滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)yf(x)的值域是_解析：令Q(c，d)，由新的運(yùn)算可得mn，消去x得dsin，所以yf(x)sin，易知yf(x)的值域是.答案：第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b|a|b|cos ，規(guī)定0·a0.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a(2)(

32、a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|1若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c，若滿足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量2數(shù)量積運(yùn)算

33、不適合結(jié)合律，即(a·b)·ca·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等試一試1(2013·廣州調(diào)研)已知向量a，b都是單位向量，且a·b，則|2ab|的值為_解析：|2ab|.答案：2(2013·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90°，則實(shí)數(shù)t的值為_解析：(3,2t)，由題意

34、知·0，所以2×32(2t)0，t5.答案：51明確兩個結(jié)論：(1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時不成立)；(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為時不成立)2利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧練一練1已知向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為()A.B.C. D.解析：選B(a2b)·a|a|22a·b0，(b2a)·b|b|22a·b0，所以|a|2|b|2，即

35、|a|b|，故|a|22a·b|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因?yàn)?a，b，所以a，b.2(2013·福建高考)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2C5 D10解析：選C依題意得，·1×(4)2×20，四邊形ABCD的面積為|·|××5.考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算1.(2014·滄州模擬)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，a·b6.則的值為()A.BC. D解析：選B由已知得，向量a(x1，y1)

36、與b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.2(2014·溫州適應(yīng)性測試)在ABC中，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B2C. D6解析：選C·1，|·|cos 120°1，即|·|2，|2|222·22|·|2·6，|min.3(2013·南昌模擬)已知向量e1，e2，則e1·e2_.解析：由向量數(shù)量積公式得e1·e2cos×2sinsin×4cos×

37、5;22.答案：24(2013·全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·_.解析：因?yàn)?，所?#183;()·()2·22.答案：2類題通法向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)歸納起來常見的命題角度有：(1)平面

38、向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2013·天津高考)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60° , E為CD的中點(diǎn)若·1 , 則AB的長為_解析：由已知得，·2··21·|21|·|cos 60°|21，|.答案：角度二平面向量的夾角2(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，則向量a與ab的夾角為()A. B.C. D解析：選B|2ab|24|a|24a·b|b|27，|a|1，|b|，44a·b37，a·b0，a

39、b.如圖所示，a與ab的夾角為COA.tanCOA，COA，即a與ab的夾角為.(2)(2014·云南第一次檢測)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. BC. D解析：選B記向量2ab與a2b的夾角為，又(2ab)24×22324×2×3×cos13，(a2b)2224×324×2×3×cos52，(2ab)·(a2b)2a22b23a·b81891，故cos ，即向量2ab與a2b的夾角的余弦值是，因此選B.角度三平面向量

40、的垂直3(1)(2013·荊州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查)已知向量a與b的夾角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實(shí)數(shù)_.解析：若a(2ab)，則a·(2ab)0，即2|a|2·|a|b|·cos0，2×1×4×0.1.答案：1(2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_解析：(1)當(dāng)A90°時，·0.2×13k0，解得k.(2)當(dāng)B90°時，又(1，k)(2,3)(1，k3)，·2×(1)3×(k3)0，解得k.(3)當(dāng)C90&#

41、176;時，1×(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.類題通法1求兩非零向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角2利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法(1)a2a·a|a|2或|a|.(2)|a±b|.(3)若a(x，y)，則|a|.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合典例(2013·江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：

42、ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.(2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0<<，得0<<.又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而>，所以，.類題通法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然

43、后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等針對訓(xùn)練已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0<<，求的值解：(1)因?yàn)閍b，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|，知sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0<<，知<2<，所以2或

44、2.因此或.課堂練通考點(diǎn)1(2014·惠州調(diào)研)已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，則|pq|的值為()A.B.C5 D13解析：選B由題意得2×63x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.2(2014·江西七校聯(lián)考)已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為()A B.C D.解析：選C依題意，ab(31，2)，a2b(1，2)，(ab)·(a2b)(31，2)·(1，2)710，故選C.3(2013·湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向

45、上的投影為()A. B.C D解析：選A(2,1)，(5,5)，由定義知在方向上的投影為.4平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A.B.C.D.解析：選C因?yàn)閏osa，b，所以sinAOBsina，b ，則SAOB×|a|×|b|×sinAOB.5若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_解析：由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.答案：6在ABC中，AB10，AC6，O為BC的垂直平分線上一點(diǎn)，則&

46、#183;_.解析：取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則·()····()·()(22)(62102)32.答案：32課下提升考能第組：全員必做題1(2014·武漢調(diào)研)已知向量a，b，滿足|a|3，|b|2，且a(ab)，則a與b的夾角為()A. B.C. D.解析：選Da(ab)a·(ab)a2a·b|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夾角為.2已知A，B，C為平面上不共線的三點(diǎn)，若向量(1,1)，n(1，1)，且n·2，則n·等于()A2 B2C0 D2或2解析：選

47、Bn·n·()n·n·(1，1)·(1，1)2022.3在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上取一點(diǎn)P，使·有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(3,0) B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析：選C設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)·(x2)(x4)(2)×(1)x26x10(x3)21.當(dāng)x3時，·有最小值1.此時點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0)，故選C.4(2014·昆明質(zhì)檢)在直角三角形ABC中，C，AC3，取點(diǎn)D使2，那么·()A3 B4C5 D6解析：選D如圖，.又2，()，即，C，·0，··2·6，故選D.5在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，則·的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(x,0)，0x1.又M，C(1,1)，所以，(1x,1)，所以··