釩和稀土對鋁合金性能的影響的研究

1、釩和稀土對鋁合金性能的影響的研究摘 要本文針對基礎(chǔ)合金Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu的微合金化問題，分別討論了單獨添加以及混合添加微量元素釩和稀土對該合金力學性能和抗熱裂性能的影響。運用了擬合、模糊綜合評價以及Levenberg-Marquardt法與通用全局優(yōu)化算法，利用MATLAB，1stOpt，Lingo等軟件對數(shù)據(jù)進行處理和分析，建立了多項式回歸模型、模糊綜合評價模型以及多元非線性回歸模型。針對問題一要求，需得出單獨添加釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，考慮到數(shù)據(jù)量少，所以在Excel中進行了不超過三次的多項式擬合得出簡單函數(shù)關(guān)系式

2、，擬合優(yōu)度良好。針對問題二要求，需要得出單獨添加稀土的數(shù)量為多少時使得產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別達到最優(yōu)效果以及整體上達到最優(yōu)效果。首先按照問題一模型得出稀土含量與性能之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用MATLAB軟件，根據(jù)函數(shù)以及自變量取值范圍建立評價模型進行綜合評價，最后根據(jù)評分得出整體效果最好時稀土的添加量。針對問題三要求，需得出混合添加釩和稀土的數(shù)量為多少時，使得產(chǎn)品的抗拉強度不低于150，延伸率不低于7.00，同時使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先對給出的數(shù)據(jù)進行整理擴充，然后利用1stOpt軟件對數(shù)據(jù)進行二元非線性回歸分析，得出混合添加兩種元素數(shù)量與三種性能的函數(shù)關(guān)系，最后

3、根據(jù)條件使用lingo軟件做非線性規(guī)劃得出滿足要求的微量元素添加量。針對問題四的要求，需要簡要分析單獨以及混合添加微量元素對產(chǎn)品性能整體效果的影響。我們再次根據(jù)單獨添加釩以及混合添加時的函數(shù)關(guān)系對產(chǎn)品性能進行了綜合評價，結(jié)合問題三稀土的評價模型比較得出單獨添加稀土元素對整體性能提升效果最優(yōu)的結(jié)論。本文后續(xù)對模型進行了誤差分析以及評價。最后，基于對本文中擬合數(shù)據(jù)量較少的問題，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法擴充數(shù)據(jù)，對模型進行了改進；并且1stopt軟件擁有很多現(xiàn)代的優(yōu)化算法可以廣泛應(yīng)用于經(jīng)營管理、工程設(shè)計、科學研究、軍事指揮等方面。關(guān)鍵詞：微合金化；模糊綜合評價；多元非線性回歸；1stOpt；Lingo

4、67;1問題的重述一、背景知識紡織經(jīng)編機鋁盤頭是紡織工業(yè)重要的零部件。高性能鋁盤頭已投入市場，但生產(chǎn)過程中仍會出現(xiàn)較為嚴重的熱裂缺陷，因此需進一步改善該合金的力學性能和抗熱裂性能。微合金化是改善鋁合金顯微組織和性能的重要方法。而添加微量的釩（V）和稀土（RE）能夠提升鋁合金的力學性能和抗熱裂性能，但對他們的影響的趨勢和程度尚不清楚?？赏ㄟ^實驗測量數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行擬合規(guī)劃等優(yōu)化處理找到最合適的添加方式。二、相關(guān)資料1.單獨添加釩和稀土時產(chǎn)品的力學性能和抗熱裂性能表2.混合添加釩和稀土時產(chǎn)品的力學性能和抗熱裂性能表三、要解決的問題1問題一 分別建立對該合金單獨添加微量的釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸

5、率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系；2問題二 分別研究對該合金單獨添加稀土的數(shù)量約為多少時，產(chǎn)品的抗拉強度達到最大？延伸率達到最大？熱裂傾向值HCS達到最小？單獨添加稀土的數(shù)量約為多少時，對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響;3問題三 混合添加通常是指釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量分別在0.010.25（wt%），通過建立數(shù)學模型，研究對該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強度不低于150，延伸率不低于7.00，同時使熱裂傾向值HCS盡可能減少;4問題四 通過前面的研究，你們認為

6、單獨添加微量的釩、單獨添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯？請簡要說明。§2 問題的分析一、問題的總分析 本文題為釩和稀土對鋁合金性能的影響的研究，即通過單獨以及混合添加微量元素釩和稀土對鋁合金性能影響的定量分析，研究不同要求下的性能最優(yōu)解的情況，最后判斷何種添加方式對合金性能整體效果最好。該問題主要屬于擬合與規(guī)劃的范疇，可使用MATLAB，Excel，Lingo等軟件進行回歸分析并且得出滿足要求的最優(yōu)解。整體框圖見圖1。圖1 整體框圖二、對具體問題的分析1對問題一的分析問題一要求分別建立對該合

7、金單獨添加微量的釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系?？紤]到數(shù)據(jù)點較少，我們采用不超過三次的多項式函數(shù)在Excel中進行擬合，取擬合優(yōu)度最佳的多項式為符合要求的函數(shù)關(guān)系模型。2對問題二的分析問題二可分為兩個部分求解：第一部分先建立鋁合金各性能與稀土添加量的函數(shù)關(guān)系，然后分別求出稀土添加量在一定范圍內(nèi)各性能的極值。第二部分通過模糊綜合評價模型把三個指標歸為一個整體指標。然后對第一部分求出的三個函數(shù)關(guān)系進行一定范圍內(nèi)處理得出一系列方案，最后根據(jù)建立的評價模型得出最優(yōu)方案即符合要求的解。 3對問題三的分析問題三要求通過建立數(shù)學模型，研究對該合金混合添加微量的釩

8、（V）和稀土（RE）時，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強度不低于150，延伸率不低于7.00，同時使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先將單獨添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，再利用擴充后的數(shù)據(jù)進行二元非線性擬合，選取擬合度最高的函數(shù)進行非線性規(guī)劃，可以求出滿足條件和最小HCS值所添加的釩和稀土的數(shù)量。4對問題四的分析問題要求給出單獨添加微量的釩、單獨添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯，所以我們可根據(jù)問題一的結(jié)果通過模糊綜合評價模型得出單獨添加微量的釩

9、使整體效果最明顯的最優(yōu)方案，和引用問題二的結(jié)果的得出單獨添加微量的稀土最優(yōu)方案，再根據(jù)問題三的函數(shù)關(guān)系得出混合添加微量的釩和稀土使整體上效果更加明顯得最優(yōu)方案，最后在這三個最優(yōu)方案中再通過模糊綜合評價模型的選出三種方案中最好的。§3 模型的假設(shè)1假設(shè)模糊綜合評價的各個方案除了添加的釩和稀土不同，不存在其他影響因素； 2假設(shè)所得出的數(shù)據(jù)都在誤差允許的范圍之內(nèi)。§4 名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1.可決系數(shù)：回歸平方和（ESS）在總變差（TSS）中所占的比重稱為可決系數(shù)， 可決系數(shù)可以作為綜合度量回歸模型對樣本觀測值擬合優(yōu)度的度量指標。3.非線性規(guī)劃：具有非線性約束條件或目標

10、函數(shù)的數(shù)學規(guī)劃，是運籌學的一個重要分支。非線性規(guī)劃研究一個 n元實函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標函數(shù)和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數(shù)。4. Levenberg-Marquardt算法:它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，中文為列文伯格-馬夸爾特法。它是利用梯度求最大（?。┲档乃惴ǎ蜗蟮恼f，屬于“爬山”法的一種。它同時具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點。當很小時，步長等于牛頓法步長，當很大時，步長約等于梯度下降法的步長。二、主要符號說明序號符號符號說明1表示理想方案中第項評價因素的指標值2表示第個方案關(guān)于第項評價因素的指標值3表示模糊矩陣的第行第列的元素4表示第項評價因素指

11、標值的權(quán)數(shù)5表示第項評價因素的指標值變異系數(shù)6表示第項評價因素的指標值標準差7表示第項評價因素的指標值的平均值8表示第個性能指標歸一化后的數(shù)值9微量元素釩（wt%）；微量元素稀土（wt%）（）11第個性能的表達式12表示第項評價因素綜合評價的分數(shù)§5 模型的建立與求解一、問題一的分析與求解1對問題的分析問題一要求分別建立對該合金單獨添加微量的釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系?？紤]到數(shù)據(jù)點較少，我們采用不超過三次的多項式函數(shù)在Excel中進行擬合，取擬合優(yōu)度最佳的多項式為符合要求的函數(shù)關(guān)系模型。2對問題的求解模型多項式函數(shù)模型 模型的準備可決

12、系數(shù)：回歸平方和（ESS）在總變差（TSS）中所占的比重稱為可決系數(shù)， 可決系數(shù)可以作為綜合度量回歸模型對樣本觀測值擬合優(yōu)度的度量指標。可決系數(shù)越大，說明在總變差中由模型作出了解釋的部分占的比重越大，模型擬合優(yōu)度越好。反之可決系數(shù)小，說明模型對樣本觀測值的擬合程度越差。 模型的建立和求解考慮到多項式函數(shù)的穩(wěn)定性隨著多項式階數(shù)的增大而減少，故在Excel中做不超過三次的多項式擬合，最佳結(jié)果如圖2，圖3，圖4。圖2 v與抗拉強度擬合函數(shù)圖3 v與延伸率擬合函數(shù)圖4 v與熱裂傾向擬合函數(shù)結(jié)論：擬合優(yōu)度均接近1，函數(shù)模型符合要求，故單獨添加微量的釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)

13、量之間的近似函數(shù)關(guān)系分別為：；二、問題二的分析與求解1對問題的分析問題二可分為兩個部分求解：第一部分要求分別研究對該合金單獨添加稀土的數(shù)量約為多少時，產(chǎn)品的抗拉強度達到最大，延伸率達到最大，熱裂傾向值HCS達到最小?？砂凑諉栴}一模型建立鋁合金各性能與稀土添加量的函數(shù)關(guān)系，然后分別求出稀土添加量在一定范圍內(nèi)各性能的極值。第二部分要求得出單獨添加稀土的數(shù)量約為多少時，對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響?？紤]到整體影響的要求，我們建立了模糊綜合評價模型把三個指標歸為一個整體指標。然后對第一部分求出的三個函數(shù)關(guān)系進行一定范圍內(nèi)處理得出一系列方案，最后根據(jù)建立的評價模

14、型得出最優(yōu)方案即符合要求的解。2對問題的求解1）獨立性能效果最優(yōu)在Excel中做多項式擬合最佳結(jié)果見圖5，圖6，圖7。圖5 re與抗拉強度擬合函數(shù)圖6 re與延伸率擬合函數(shù)圖7 re與抗拉強度擬合函數(shù)擬合優(yōu)度均接近1，函數(shù)模型符合要求，故單獨添加微量的稀土時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系分別為：；查詢資料知，鋁合金中超過0.3wt%的稀土添加會大大影響性能，故稀土的取值范圍設(shè)定為00.3。利用MATLAB對上述函數(shù)求解得出符合要求的極值教案表1.（程序見附錄2-1）表1 最優(yōu)性能稀土添加表re含量（wt%）性能最優(yōu)值抗拉強度0.1106176.212

15、8延伸率0.09898.5988HCS0.139167.68222）整體性能效果最優(yōu)模型 模糊綜合評價模型 模型的準備根據(jù)問題二的第一部分求出的產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，利用MATLAB軟件，根據(jù)問題二第一部分得出的函數(shù)關(guān)系式，可以將稀土含量在取值為0-0.3之間按步長為0.01依次取得抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS值，對應(yīng)依次做出31個方案見表2。（具體程序見附錄2）表2 綜合評價模型方案表序號抗拉強度延伸率HCS序號抗拉強度延伸率HCS1132.214.5899112.0617170.96048967.825138469.13646722

16、140.71895515.4595754106.992850718168.93584637.615060270.92428913148.16388086.2048232102.061605619166.71262327.402032873.47208244154.59886776.833235897.305268920164.34491097.193648676.81885135160.07800647.352405692.762844821161.88686.997581.00366164.65538757.76992588.473337522159.39238116.821179486.0

17、6533277168.38510168.093386484.475751223156.91574486.672279292.04305368171.32123938.330382280.809090124154.51098176.558391898.97576699173.51789128.488504877.512358425152.23218246.4871096106.902476810175.02914798.575346674.624560326150.13343756.466025115.862187511175.90918.598572.184727148.26883766.50

18、27304125.893903212176.21183818.565557470.231781728146.69247336.6048182137.036628113175.99145288.484111268.804809629145.45843526.7798808149.329366414175.30203478.361753867.942787930144.62081397.0355106162.811122315174.19767448.206077667.684720831144.23377.3793177.520916172.73246258.02467568.0696125 模

19、型的建立建立理想方案設(shè)有是待評價的個方案集合，是評價指標集合，將中的每個方案用中的每個指標進行衡量，得到一個觀測矩陣：其中表示第個樣品關(guān)于第項評價因素的指標值。對于指標矩陣，我們將上述的幾種指標分為效益型和成本型矩陣 根據(jù)建立理想方案為 建立相對偏差模糊矩陣：根據(jù)，計算得出相對偏差模糊矩陣建立各評價指標的權(quán)數(shù) 由變異系數(shù)可知： 對進行歸一化，即得到各指標的權(quán)數(shù)：； 其中；建立綜合評價模型由計算出，且若，則第t個方案的整體效果排在第s個方案的整體效果前。 模型的求解根據(jù)題意，有31個方案按3個指標的排列得出方案集合參照表2；在Excel中求得理想方案為：利用MATLAB求解得（程序見附錄2-2）

20、：權(quán)值向量故評價模型公式為；根據(jù)評分結(jié)果排序知當稀土添加量為0.11時，整體效果最好，此時個性能效果分別為抗拉性能：176.2118，延伸率8.5656，熱裂傾向值70.2318。（具體數(shù)據(jù)間附錄2-3）三、問題三的分析與求解1對問題的分析問題要求通過建立數(shù)學模型，研究對該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強度不低于150，延伸率不低于7.00，同時使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先將單獨添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，再利用擴充后的數(shù)據(jù)進行二元非線性擬合，選取擬合度最高的函數(shù)進行非線性規(guī)劃，可以

21、求出滿足條件和最小HCS值所添加的釩和稀土的數(shù)量。2對問題的求解模型 多元非線性規(guī)劃模型 模型的準備問題三中為了進行規(guī)劃求出滿足條件的值首先得擬合出相應(yīng)的函數(shù)，而本題的函數(shù)為多元且非線性的函數(shù)，所以非線性擬合的過程我們引進了世界領(lǐng)先的非線性曲線擬合，綜合優(yōu)化分析計算軟件平臺1stOpt。由于本題實驗數(shù)據(jù)較少，而1stOpt功能強勁，是目前唯一能以任何初始值而求得美國國家標準與技術(shù)研究院(NIST：National Institute of Standards and Technology)非線性回歸測試題集最優(yōu)解的軟件包，非線性曲線擬合可處理任意類型模型公式，任意多數(shù)目的待求參數(shù)及變量。 模型

22、的建立數(shù)據(jù)處理：將單獨添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，得到非線性擬合的原始數(shù)據(jù)，其中設(shè)添加添加釩（V）和稀土（RE）量為如表3表3 非線性擬合數(shù)據(jù)整理/V（wt%）/RE（wt%）抗拉強度延伸率熱裂傾向值HCS0.050.00160.006.6083.000.050.10153.007.2280.000.050.25130.005.5780.000.050.12146.006.6668.000.100.00154.008.21100.000.100.12133.006.0074.000.000.00133.004.66112.000.000.12186.008

23、.7364.000.000.10171.008.9972.000.000.25152.006.49116.000.200.00140.005.10131.000.000.08169.008.2680.000.000.10171.008.9972.000.000.15175.007.7172.000.000.20156.007.0080.00利用1stOpt軟件進行非線性擬合，該軟件擬合的原理為：Levenberg-Marquardt法與通用全局優(yōu)化算法(Universal Global Optimization)Levenberg-Marquardt法算法基礎(chǔ)為：L-M算法只要解決的如下形式的

24、非線性最小二乘問題 （1）其中為一個n維向量，r為由到R的映射函數(shù)，可以認為是最小二乘的殘差。這里。上式可以進一步簡化，令r為殘差向量，得 （2）此時的f可以用r的Jacobian式子J表示，。先考慮線性的情況下，此時J為常數(shù)，r可以理解為一個超平面從而同時可以得到，。要求（1）式的最小值，只要滿足即可。解得。再考慮非線性的情況可得： （3） （4）（4）式的右邊第二項為2次高階導數(shù)數(shù)，且殘差本身就很小，所以一般忽略不計。于是得到近似線性的Hessian矩陣。需要注意的是這里是假設(shè)了殘差很小，對于殘差很大的情況不能忽略高階項。L-M算法是個迭代的過程，設(shè)表示第K次得迭代的網(wǎng)絡(luò)權(quán)重向量，相當于（

25、1）式的x向量，維數(shù)為M。把按Taylor級數(shù)展開可得： （5）令（5）式左邊等于0求最小二乘解，可得牛頓迭代策略： （6）如果在考慮最速下降法便得到L-M的迭代策略： （7）其中H為Hessian矩陣。可以發(fā)現(xiàn)，當很小時，就接近于牛頓法，而很大時就是最速下降法，因此L-M算法實際是上面兩種迭代算法的組合。通用全局優(yōu)化算法(Universal Global Optimization) 算法之最大特點是克服了當今世界上在優(yōu)化計算領(lǐng)域中使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即用戶勿需給出參數(shù)初始值，而由1stOpt隨機給出，通過其獨特的全局優(yōu)化算法，最終找出最優(yōu)解?？傊?，根據(jù)上述算法可以求的抗拉強度

26、與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)，延伸率與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)，熱裂傾向值HCS與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)利用lingo進行非線性規(guī)劃，以熱裂傾向值HCS的擬合函數(shù)為目標函數(shù)，求最小值，以抗拉強度和延伸率為約束條件。將非線性規(guī)劃問題化為標準形式：其中為相應(yīng)非線性擬合出的函數(shù)可由lingo得出滿足條件的值。模型的求解利用1stOpt軟件進行非線性擬合（程序及算法設(shè)置見附錄3-1），得出的結(jié)果為：擬合度為0.96?？捎脠D8表示：(圖示紅線表示擬合之后的趨勢線，藍線表示實驗測得趨勢線)圖8 抗拉強度擬合度表示圖擬合度為0.97，可用圖9表示圖9 延伸率擬合度表

27、示圖擬合度為0.99，可用圖10表示圖10熱裂效應(yīng)擬合優(yōu)度表示圖再利用lingo進行非線性規(guī)劃得出結(jié)論見圖11（程序見附錄3-2）圖11 非線性規(guī)劃lingo結(jié)果由可以得出當添加釩（V）的量，添加稀土（RE）的量時，保證產(chǎn)品的抗拉強度不低于150，延伸率不低于7.00，同時使熱裂傾向值HCS盡可能減小，且最小是63.5。四、問題四的分析與求解1對問題的分析問題要求單獨添加微量的釩、單獨添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯，所以我們可根據(jù)問題一的結(jié)果通過模糊綜合評價模型得出單獨添加微量的釩使整體效果最明顯的

28、最優(yōu)方案，和引用問題二的結(jié)果的得出單獨添加微量的稀土最優(yōu)方案，再根據(jù)問題三的函數(shù)關(guān)系得出混合添加微量的釩和稀土使整體上效果更加明顯得最優(yōu)方案，最后在這三個最優(yōu)方案中再通過模糊綜合評價模型的選出三種方案中最好的。2對問題的求解由問題一可知合金單獨添加微量的釩時，產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，將釩在取值為0-0.2之間按步長為0.01依次取得的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS值分為21個方案，建立模糊綜合評價模型，通過matlab編程得出結(jié)果如圖12。（程序見附錄4-1）圖12 21個方案對應(yīng)的F值從圖12可以看出單獨添加的釩為0.07時，對提高產(chǎn)品的抗

29、拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。所對應(yīng)的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為160.2042，7.5457，86.254。同理問題二可知合金單獨添加微量的釩時，分為31個方案，建立模糊綜合評價模型，通過matlab編程得出結(jié)果如圖13。（程序見附錄4-2）圖2 31個方案對應(yīng)的F值從圖13可以看出單獨添加的稀土為0.11時，對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。所對應(yīng)的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為176.2118，8.5656，70.2318。由問題三得出的產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩和稀土的近似函數(shù)關(guān)系

30、，在釩和稀土的添加數(shù)量分別在0.010.25之間分別按步長0.01依次取得的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS值分為625個方案，再剔除一些異常值后再建立模糊綜合評價模型，通過matlab編程得出最優(yōu)方案為添加釩和稀土的數(shù)量分別約為0.01和0.13時，所對應(yīng)的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為173.2764，8.0409,63.6327。（程序見附錄4-3）最后再將三個最優(yōu)方案進行模糊綜合評價，可得出 ,所以可以得出第二種方案是最優(yōu)的，即單獨添加微量的稀土對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。§6 誤差分析1在問題二中要解決單獨添加稀土的數(shù)量

31、約為多少時，對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響，為此我們在00.3內(nèi)取步長為0.01而建立的31個方案，所以得出的最終結(jié)果都在所取的方案內(nèi)，可能不夠精確，存在誤差。2在問題四中研究混合添加微量的釩和稀土對提高產(chǎn)品的抗拉強度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果最好時，由于在擬合產(chǎn)品的抗拉強度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩和稀土的數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系時存在誤差，所以在釩和稀土的添加數(shù)量分別在0.010.25時，有很多不切實際的值，比如存在負值和遠大于表中的值，所以在進行模糊綜合評價時剔除了這些數(shù)據(jù)，才得以解決問題，因此必然存在一定誤差。§7 模型的

32、評價與推廣一、模型的優(yōu)點 1問題二所建立的模糊綜合評價模型，也適用于其他具有效益型和成本型指標的問題，如農(nóng)業(yè)經(jīng)濟技術(shù)方案的綜合評估，某工程方案的決策。2問題三利用了1stOpt軟件，該軟件是目前唯一能以任何初始值，不要求初始值收斂的非線性曲線擬合工具，非線性曲線擬合可處理任意類型模型公式，任意多數(shù)目的待求參數(shù)及變量。自帶有上百個實例，覆蓋范圍包括幾乎所有優(yōu)化方面。二、模型的缺點問題三擬合的函數(shù)較為復雜，不易進行下一步計算。三、模型的推廣1所建立的模糊綜合評價模型，也適用于其他具有效益型和成本型指標的問題，如農(nóng)業(yè)經(jīng)濟技術(shù)方案的綜合評估，某工程方案的決策。21stOpt軟件提供了非線性擬合最前沿最

33、優(yōu)秀的擬合方法，其中擁有很多現(xiàn)代的優(yōu)化算法，使得我們再調(diào)用和理解上都提供了非常有效的幫助。該模型的中的非線性規(guī)劃模型在生活中應(yīng)用的更廣泛，可以推廣到經(jīng)營管理、工程設(shè)計、科學研究、軍事指揮等方面的最優(yōu)化問題。§8 模型的改進基于本文中對模型的缺點，即數(shù)據(jù)較少導致的擬合效果不佳，我們考慮采用一種可靠的數(shù)據(jù)擴充的方法，對原始數(shù)據(jù)進行一種可靠性的數(shù)據(jù)擴充的方法，再對擴充后的數(shù)據(jù)進行擬合。在此選用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對可靠性數(shù)據(jù)擴充的方式，對可靠性有關(guān)特征量進行估計，并繪制曲線，從而提高估計結(jié)果的準確性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析原理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元組成，將多個神經(jīng)元有規(guī)則地相聯(lián)而構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其功能是巨大的。人工神經(jīng)

34、網(wǎng)絡(luò)有輸入向量，內(nèi)部有多個神經(jīng)元，網(wǎng)絡(luò)的輸入向量經(jīng)與權(quán)陣乘積后輸入到每個神經(jīng)元。每個神經(jīng)元將加權(quán)后的輸入與閾值（偏移）向量代數(shù)求和后得到自己的輸出。網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過訓練可近似逼近有限間斷點的連續(xù)函數(shù)。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成數(shù)據(jù)的分析計算要經(jīng)過：構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)，包括確定輸入數(shù)據(jù)特性、網(wǎng)絡(luò)層次、傳遞函數(shù)形式、輸出的形式；網(wǎng)絡(luò)學習訓練，以確定權(quán)系數(shù)和閾值參數(shù)；利用網(wǎng)絡(luò)進行實際仿真。用于可靠性分析的思路一般來說，由于可靠性數(shù)據(jù)樣本都很少。因此，基于這些小的數(shù)據(jù)進行假設(shè)檢驗、參數(shù)估計，有時存在置信度低的問題。設(shè)想，如果有一種方法能在與元樣本數(shù)據(jù)保持一致統(tǒng)計規(guī)律的條件下，將樣本量擴大再應(yīng)用原統(tǒng)計分析，就有可能提高分析結(jié)果的準確

35、性。分析過程首先選擇模擬分布模型，再建立可靠度估計值設(shè)n各失效時間數(shù)據(jù)，以秩次排列為根據(jù)這些失效數(shù)據(jù)，用經(jīng)驗公式：一次估計出經(jīng)驗可靠度：因此構(gòu)成列隊：用網(wǎng)絡(luò)擴充失效時間的模擬樣本有了以上失效時間和相應(yīng)的可靠度經(jīng)驗估計值，就要建立合適的網(wǎng)絡(luò)來生成具有與樣本相同失效規(guī)律的擴大的模擬樣本。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較好的函數(shù)逼近能力，因此在選擇BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對可靠度的模擬仿真，以兩個層次構(gòu)成該網(wǎng)絡(luò)，第一層接受可靠度輸入，而輸出則為相應(yīng)的失效時間，傳遞函數(shù)用log-sigmoid型，確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，選擇適當訓練方法，用實際數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)進行訓練。為了提高收斂速度，同時又兼顧結(jié)果的穩(wěn)定性，采用共軛梯度算法完成權(quán)系

36、數(shù)和閾值的最佳搜尋求取。參考文獻1 楊桂元.黃己立.數(shù)學建模M.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社.2009.9. 2 七維高科.1stOpt使用指南M.北京. 2009.93 李志建，鄭新奇等.非線性多維數(shù)據(jù)可視化分類預測方法J.中國地質(zhì)大學（北京）土地科學技術(shù)學院.2006.附錄2-1 syms xf1=9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21;%抗拉性能f2=1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899;%延伸率f3=6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06;%熱裂傾向值x1,maxf=fminbnd('-

37、(9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21)',0,0.3),maxf=-maxfx2,maxf=fminbnd('-(1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899)',0,0.3),maxf=-maxfx3,minf=fminbnd('6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06',0,0.3)2-2 x=0:0.01:0.3;A=132.21 4.5899 112.06140.7189551 5.4595754 106.9928507148.1638808 6.2048232

38、 102.0616056154.5988677 6.8332358 97.3052689160.0780064 7.3524056 92.7628448164.6553875 7.769925 88.4733375168.3851016 8.0933864 84.4757512171.3212393 8.3303822 80.8090901173.5178912 8.4885048 77.5123584175.0291479 8.5753466 74.6245603175.9091 8.5985 72.1847176.2118381 8.5655574 70.2317817175.991452

39、8 8.4841112 68.8048096175.3020347 8.3617538 67.9427879174.1976744 8.2060776 67.6847208172.7324625 8.024675 68.0696125170.9604896 7.8251384 69.1364672168.9358463 7.6150602 70.9242891166.7126232 7.4020328 73.4720824164.3449109 7.1936486 76.8188513161.8868 6.9975 81.0036159.3923811 6.8211794 86.0653327

40、156.9157448 6.6722792 92.0430536154.5109817 6.5583918 98.9757669152.2321824 6.4871096 106.9024768150.1334375 6.466025 115.8621875148.2688376 6.5027304 125.8939032146.6924733 6.6048182 137.0366281145.4584352 6.7798808 149.3293664144.6208139 7.0355106 162.8111223144.2337 7.3793 177.5209; %原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行代表

41、一個方案，每列代表一個指標，提取方案數(shù)量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩陣,有幾個方案就有幾個u1，用repmat建立 i,j=size(A)u1=176.2118381 8.5985 67.6847208 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相對偏差模糊矩陣，range(A)是每個指標的最大值減最小值rageA=repmat(range(A),i,1);r=abs(A-u)./rageA;%用相對變異系數(shù)法建立評價指標的權(quán)數(shù) v=std(r)./mean(r);w1=v./sum(v);w=repmat(w1,i,1);f=r*w1'R=(find(f=min(f);

42、x(R)A(R,:)2-3 方案結(jié)果表稀土添加量整體效果抗拉強度延伸率熱裂傾向值00.76 132.214.5899112.060.010.6184140.71895515.4595754106.99285070.020.4946148.16388086.2048232102.06160560.030.3869154.59886776.833235897.30526890.040.2946160.07800647.352405692.76284480.050.2168164.65538757.76992588.47333750.060.1528168.38510168.093386484.47

43、575120.070.1017171.32123938.330382280.80909010.080.0629173.51789128.488504877.51235840.090.0355175.02914798.575346674.62456030.10.0187175.90918.598572.18470.110.0117176.21183818.565557470.23178170.120.0139175.99145288.484111268.80480960.130.0243175.30203478.361753867.94278790.140.0423174.19767448.20

44、6077667.68472080.150.067172.73246258.02467568.06961250.160.0977170.96048967.825138469.13646720.170.1335168.93584637.615060270.92428910.180.1737166.71262327.402032873.47208240.190.2176164.34491097.193648676.81885130.20.2643161.88686.997581.00360.210.313159.39238116.821179486.06533270.220.363156.91574

45、486.672279292.04305360.230.4135154.51098176.558391898.97576690.240.4637152.23218246.4871096106.90247680.250.5129150.13343756.466025115.86218750.260.5602148.26883766.5027304125.89390320.270.6048146.69247336.6048182137.03662810.280.6461145.45843526.7798808149.32936640.290.6832144.62081397.0355106162.8

46、1112230.30.7153144.23377.3793177.52093-1 Variable x,y,z ;Data;0.05 0.00 160.000.05 0.10 153.000.05 0.25 130.000.05 0.12 146.000.10 0.00 154.000.10 0.12 133.000.00 0.00 133.000.00 0.12 186.000.00 0.10 171.000.00 0.25 152.000.20 0.00 140.000.00 0.08 169.000.00 0.10 171.000.00 0.15 175.000.00 0.20 156.

47、000.05 0.00 6.600.05 0.10 7.220.05 0.25 5.570.05 0.12 6.660.10 0.00 8.210.10 0.12 6.000.00 0.00 4.660.00 0.12 8.730.00 0.10 8.990.00 0.25 6.490.20 0.00 5.100.00 0.08 8.260.00 0.10 8.990.00 0.15 7.710.00 0.20 7.000.05 0.00 83.000.05 0.10 80.000.05 0.25 80.000.05 0.12 68.000.10 0.00 100.000.10 0.12 74

48、.000.00 0.00 112.000.00 0.12 64.000.00 0.10 72.000.00 0.25 116.000.20 0.00 131.000.00 0.08 80.000.00 0.10 72.000.00 0.15 72.000.00 0.20 80.003-2model:min=(112.32+7413.34*x1-24770.57*x12-443578.78*x13-750.47*x2+2265.24*x22)/(1+129.86*x1-1236.21*x12-1.71*x2);(133.10-112804.99*x1+555214.43*x12+22413.80

49、*x2+32401.73*x22-147035.76*x23)/(1-650*x1+2356.87*x12+4144.67*x13+138.08*x2)>150;(4.69+1640.61*x1-14467.12*x12-46473.96*x13+92.98*x2)/(1+203.34*x1-742.80*x12-16633.09*x13+0.48*x2+55.40*x22)>7;bnd(0.01,x1,0.25);bnd(0.01,x2,0.25);end4-1A= 133 4.5144 112142.204333 5.132687 100.828149.312664 5.689

50、228 92.624154.518991 6.184023 87.106158.017312 6.617072 83.992160.001625 6.988375 83160.665928 7.297932 83.848160.204219 7.545743 86.254158.810496 7.731808 89.936156.678757 7.856127 94.612154.003 7.9187 100150.977223 7.919527 105.818147.795424 7.858608 111.784144.651601 7.735943 117.616141.739752 7.

51、551532 123.032139.253875 7.305375 127.75137.387968 6.997472 131.488136.336029 6.627823 133.964136.292056 6.196428 134.896137.450047 5.703287 134.002140.004 5.1484 131; %原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行代表一個方案，每列代表一個指標，提取方案數(shù)量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩陣,有幾個方案就有幾個u1，用repmat建立u1= 160.665928 7.919527 83 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相對偏差模糊矩

52、陣，range(A)是每個指標的最大值減最小值rageA=repmat(range(A),i,1)r=abs(A-u)./rageA%用相對變異系數(shù)法建立評價指標的權(quán)數(shù) v=std(r)./mean(r)w1=v./sum(v)w=repmat(w1,i,1) %建立綜合評價模型，F(xiàn)值越小的方案越好F=r.*wsum(F,2)4-2A=183.5858983 6.95357861 81.67955118191.8570908 7.216117118 79.14383513-1.687924652 7.645775265 74.59409223148.3645816 7.810633263 72

53、.58860425162.0977694 7.941937213 70.76863268167.4915898 8.040380867 693637811 8.107253621 67.7039162172.0487007 8.144332307 66.46890508173.0185081 8.153765206 65.43889144173.482705 8.137956964 64.61916816173.5484787 8.099461292 64.01521197173.276365 8.040886261 63.6326914172.7031381 7.964814969 63.47747533171.8524273 7.873742574 63.55564185170.7401085 7.770029284 63.87348773169.3772435 7.65586796 64.43753829167.7717758 7.533264367 65.25455793165.9295572 7.404027892 66.331561