釩和稀土對(duì)鋁合金性能的影響的研究

1、釩和稀土對(duì)鋁合金性能的影響的研究摘 要本文針對(duì)基礎(chǔ)合金Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu的微合金化問題，分別討論了單獨(dú)添加以及混合添加微量元素釩和稀土對(duì)該合金力學(xué)性能和抗熱裂性能的影響。運(yùn)用了擬合、模糊綜合評(píng)價(jià)以及Levenberg-Marquardt法與通用全局優(yōu)化算法，利用MATLAB，1stOpt，Lingo等軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，建立了多項(xiàng)式回歸模型、模糊綜合評(píng)價(jià)模型以及多元非線性回歸模型。針對(duì)問題一要求，需得出單獨(dú)添加釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，考慮到數(shù)據(jù)量少，所以在Excel中進(jìn)行了不超過(guò)三次的多項(xiàng)式擬合得出簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系式

2、，擬合優(yōu)度良好。針對(duì)問題二要求，需要得出單獨(dú)添加稀土的數(shù)量為多少時(shí)使得產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別達(dá)到最優(yōu)效果以及整體上達(dá)到最優(yōu)效果。首先按照問題一模型得出稀土含量與性能之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用MATLAB軟件，根據(jù)函數(shù)以及自變量取值范圍建立評(píng)價(jià)模型進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，最后根據(jù)評(píng)分得出整體效果最好時(shí)稀土的添加量。針對(duì)問題三要求，需得出混合添加釩和稀土的數(shù)量為多少時(shí)，使得產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先對(duì)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理擴(kuò)充，然后利用1stOpt軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二元非線性回歸分析，得出混合添加兩種元素?cái)?shù)量與三種性能的函數(shù)關(guān)系，最后

3、根據(jù)條件使用lingo軟件做非線性規(guī)劃得出滿足要求的微量元素添加量。針對(duì)問題四的要求，需要簡(jiǎn)要分析單獨(dú)以及混合添加微量元素對(duì)產(chǎn)品性能整體效果的影響。我們?cè)俅胃鶕?jù)單獨(dú)添加釩以及混合添加時(shí)的函數(shù)關(guān)系對(duì)產(chǎn)品性能進(jìn)行了綜合評(píng)價(jià)，結(jié)合問題三稀土的評(píng)價(jià)模型比較得出單獨(dú)添加稀土元素對(duì)整體性能提升效果最優(yōu)的結(jié)論。本文后續(xù)對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析以及評(píng)價(jià)。最后，基于對(duì)本文中擬合數(shù)據(jù)量較少的問題，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法擴(kuò)充數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)；并且1stopt軟件擁有很多現(xiàn)代的優(yōu)化算法可以廣泛應(yīng)用于經(jīng)營(yíng)管理、工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究、軍事指揮等方面。關(guān)鍵詞：微合金化；模糊綜合評(píng)價(jià)；多元非線性回歸；1stOpt；Lingo

4、67;1問題的重述一、背景知識(shí)紡織經(jīng)編機(jī)鋁盤頭是紡織工業(yè)重要的零部件。高性能鋁盤頭已投入市場(chǎng)，但生產(chǎn)過(guò)程中仍會(huì)出現(xiàn)較為嚴(yán)重的熱裂缺陷，因此需進(jìn)一步改善該合金的力學(xué)性能和抗熱裂性能。微合金化是改善鋁合金顯微組織和性能的重要方法。而添加微量的釩（V）和稀土（RE）能夠提升鋁合金的力學(xué)性能和抗熱裂性能，但對(duì)他們的影響的趨勢(shì)和程度尚不清楚?？赏ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合規(guī)劃等優(yōu)化處理找到最合適的添加方式。二、相關(guān)資料1.單獨(dú)添加釩和稀土?xí)r產(chǎn)品的力學(xué)性能和抗熱裂性能表2.混合添加釩和稀土?xí)r產(chǎn)品的力學(xué)性能和抗熱裂性能表三、要解決的問題1問題一 分別建立對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸

5、率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系；2問題二 分別研究對(duì)該合金單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度達(dá)到最大？延伸率達(dá)到最大？熱裂傾向值HCS達(dá)到最??？單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響;3問題三 混合添加通常是指釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量分別在0.010.25（wt%），通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，研究對(duì)該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少;4問題四 通過(guò)前面的研究，你們認(rèn)為

6、單獨(dú)添加微量的釩、單獨(dú)添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明。§2 問題的分析一、問題的總分析 本文題為釩和稀土對(duì)鋁合金性能的影響的研究，即通過(guò)單獨(dú)以及混合添加微量元素釩和稀土對(duì)鋁合金性能影響的定量分析，研究不同要求下的性能最優(yōu)解的情況，最后判斷何種添加方式對(duì)合金性能整體效果最好。該問題主要屬于擬合與規(guī)劃的范疇，可使用MATLAB，Excel，Lingo等軟件進(jìn)行回歸分析并且得出滿足要求的最優(yōu)解。整體框圖見圖1。圖1 整體框圖二、對(duì)具體問題的分析1對(duì)問題一的分析問題一要求分別建立對(duì)該合

7、金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系?？紤]到數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，我們采用不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)在Excel中進(jìn)行擬合，取擬合優(yōu)度最佳的多項(xiàng)式為符合要求的函數(shù)關(guān)系模型。2對(duì)問題二的分析問題二可分為兩個(gè)部分求解：第一部分先建立鋁合金各性能與稀土添加量的函數(shù)關(guān)系，然后分別求出稀土添加量在一定范圍內(nèi)各性能的極值。第二部分通過(guò)模糊綜合評(píng)價(jià)模型把三個(gè)指標(biāo)歸為一個(gè)整體指標(biāo)。然后對(duì)第一部分求出的三個(gè)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行一定范圍內(nèi)處理得出一系列方案，最后根據(jù)建立的評(píng)價(jià)模型得出最優(yōu)方案即符合要求的解。 3對(duì)問題三的分析問題三要求通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，研究對(duì)該合金混合添加微量的釩

8、（V）和稀土（RE）時(shí)，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先將單獨(dú)添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴(kuò)充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，再利用擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)進(jìn)行二元非線性擬合，選取擬合度最高的函數(shù)進(jìn)行非線性規(guī)劃，可以求出滿足條件和最小HCS值所添加的釩和稀土的數(shù)量。4對(duì)問題四的分析問題要求給出單獨(dú)添加微量的釩、單獨(dú)添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯，所以我們可根據(jù)問題一的結(jié)果通過(guò)模糊綜合評(píng)價(jià)模型得出單獨(dú)添加微量的釩

9、使整體效果最明顯的最優(yōu)方案，和引用問題二的結(jié)果的得出單獨(dú)添加微量的稀土最優(yōu)方案，再根據(jù)問題三的函數(shù)關(guān)系得出混合添加微量的釩和稀土使整體上效果更加明顯得最優(yōu)方案，最后在這三個(gè)最優(yōu)方案中再通過(guò)模糊綜合評(píng)價(jià)模型的選出三種方案中最好的。§3 模型的假設(shè)1假設(shè)模糊綜合評(píng)價(jià)的各個(gè)方案除了添加的釩和稀土不同，不存在其他影響因素； 2假設(shè)所得出的數(shù)據(jù)都在誤差允許的范圍之內(nèi)。§4 名詞解釋與符號(hào)說(shuō)明一、名詞解釋1.可決系數(shù)：回歸平方和（ESS）在總變差（TSS）中所占的比重稱為可決系數(shù)， 可決系數(shù)可以作為綜合度量回歸模型對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)。3.非線性規(guī)劃：具有非線性約束條件或目標(biāo)

10、函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃研究一個(gè) n元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線性函數(shù)。4. Levenberg-Marquardt算法:它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，中文為列文伯格-馬夸爾特法。它是利用梯度求最大（?。┲档乃惴?，形象的說(shuō)，屬于“爬山”法的一種。它同時(shí)具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)很小時(shí)，步長(zhǎng)等于牛頓法步長(zhǎng)，當(dāng)很大時(shí)，步長(zhǎng)約等于梯度下降法的步長(zhǎng)。二、主要符號(hào)說(shuō)明序號(hào)符號(hào)符號(hào)說(shuō)明1表示理想方案中第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值2表示第個(gè)方案關(guān)于第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值3表示模糊矩陣的第行第列的元素4表示第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素指

11、標(biāo)值的權(quán)數(shù)5表示第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值變異系數(shù)6表示第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值標(biāo)準(zhǔn)差7表示第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值的平均值8表示第個(gè)性能指標(biāo)歸一化后的數(shù)值9微量元素釩（wt%）；微量元素稀土（wt%）（）11第個(gè)性能的表達(dá)式12表示第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素綜合評(píng)價(jià)的分?jǐn)?shù)§5 模型的建立與求解一、問題一的分析與求解1對(duì)問題的分析問題一要求分別建立對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系。考慮到數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，我們采用不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)在Excel中進(jìn)行擬合，取擬合優(yōu)度最佳的多項(xiàng)式為符合要求的函數(shù)關(guān)系模型。2對(duì)問題的求解模型多項(xiàng)式函數(shù)模型 模型的準(zhǔn)備可決

12、系數(shù)：回歸平方和（ESS）在總變差（TSS）中所占的比重稱為可決系數(shù)， 可決系數(shù)可以作為綜合度量回歸模型對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)。可決系數(shù)越大，說(shuō)明在總變差中由模型作出了解釋的部分占的比重越大，模型擬合優(yōu)度越好。反之可決系數(shù)小，說(shuō)明模型對(duì)樣本觀測(cè)值的擬合程度越差。 模型的建立和求解考慮到多項(xiàng)式函數(shù)的穩(wěn)定性隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增大而減少，故在Excel中做不超過(guò)三次的多項(xiàng)式擬合，最佳結(jié)果如圖2，圖3，圖4。圖2 v與抗拉強(qiáng)度擬合函數(shù)圖3 v與延伸率擬合函數(shù)圖4 v與熱裂傾向擬合函數(shù)結(jié)論：擬合優(yōu)度均接近1，函數(shù)模型符合要求，故單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)

13、量之間的近似函數(shù)關(guān)系分別為：；二、問題二的分析與求解1對(duì)問題的分析問題二可分為兩個(gè)部分求解：第一部分要求分別研究對(duì)該合金單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度達(dá)到最大，延伸率達(dá)到最大，熱裂傾向值HCS達(dá)到最小?？砂凑諉栴}一模型建立鋁合金各性能與稀土添加量的函數(shù)關(guān)系，然后分別求出稀土添加量在一定范圍內(nèi)各性能的極值。第二部分要求得出單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響?？紤]到整體影響的要求，我們建立了模糊綜合評(píng)價(jià)模型把三個(gè)指標(biāo)歸為一個(gè)整體指標(biāo)。然后對(duì)第一部分求出的三個(gè)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行一定范圍內(nèi)處理得出一系列方案，最后根據(jù)建立的評(píng)價(jià)模

14、型得出最優(yōu)方案即符合要求的解。2對(duì)問題的求解1）獨(dú)立性能效果最優(yōu)在Excel中做多項(xiàng)式擬合最佳結(jié)果見圖5，圖6，圖7。圖5 re與抗拉強(qiáng)度擬合函數(shù)圖6 re與延伸率擬合函數(shù)圖7 re與抗拉強(qiáng)度擬合函數(shù)擬合優(yōu)度均接近1，函數(shù)模型符合要求，故單獨(dú)添加微量的稀土?xí)r，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系分別為：；查詢資料知，鋁合金中超過(guò)0.3wt%的稀土添加會(huì)大大影響性能，故稀土的取值范圍設(shè)定為00.3。利用MATLAB對(duì)上述函數(shù)求解得出符合要求的極值教案表1.（程序見附錄2-1）表1 最優(yōu)性能稀土添加表re含量（wt%）性能最優(yōu)值抗拉強(qiáng)度0.1106176.212

15、8延伸率0.09898.5988HCS0.139167.68222）整體性能效果最優(yōu)模型 模糊綜合評(píng)價(jià)模型 模型的準(zhǔn)備根據(jù)問題二的第一部分求出的產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，利用MATLAB軟件，根據(jù)問題二第一部分得出的函數(shù)關(guān)系式，可以將稀土含量在取值為0-0.3之間按步長(zhǎng)為0.01依次取得抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS值，對(duì)應(yīng)依次做出31個(gè)方案見表2。（具體程序見附錄2）表2 綜合評(píng)價(jià)模型方案表序號(hào)抗拉強(qiáng)度延伸率HCS序號(hào)抗拉強(qiáng)度延伸率HCS1132.214.5899112.0617170.96048967.825138469.13646722

16、140.71895515.4595754106.992850718168.93584637.615060270.92428913148.16388086.2048232102.061605619166.71262327.402032873.47208244154.59886776.833235897.305268920164.34491097.193648676.81885135160.07800647.352405692.762844821161.88686.997581.00366164.65538757.76992588.473337522159.39238116.821179486.0

17、6533277168.38510168.093386484.475751223156.91574486.672279292.04305368171.32123938.330382280.809090124154.51098176.558391898.97576699173.51789128.488504877.512358425152.23218246.4871096106.902476810175.02914798.575346674.624560326150.13343756.466025115.862187511175.90918.598572.184727148.26883766.50

18、27304125.893903212176.21183818.565557470.231781728146.69247336.6048182137.036628113175.99145288.484111268.804809629145.45843526.7798808149.329366414175.30203478.361753867.942787930144.62081397.0355106162.811122315174.19767448.206077667.684720831144.23377.3793177.520916172.73246258.02467568.0696125 模

19、型的建立建立理想方案設(shè)有是待評(píng)價(jià)的個(gè)方案集合，是評(píng)價(jià)指標(biāo)集合，將中的每個(gè)方案用中的每個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，得到一個(gè)觀測(cè)矩陣：其中表示第個(gè)樣品關(guān)于第項(xiàng)評(píng)價(jià)因素的指標(biāo)值。對(duì)于指標(biāo)矩陣，我們將上述的幾種指標(biāo)分為效益型和成本型矩陣 根據(jù)建立理想方案為 建立相對(duì)偏差模糊矩陣：根據(jù)，計(jì)算得出相對(duì)偏差模糊矩陣建立各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)數(shù) 由變異系數(shù)可知： 對(duì)進(jìn)行歸一化，即得到各指標(biāo)的權(quán)數(shù)：； 其中；建立綜合評(píng)價(jià)模型由計(jì)算出，且若，則第t個(gè)方案的整體效果排在第s個(gè)方案的整體效果前。 模型的求解根據(jù)題意，有31個(gè)方案按3個(gè)指標(biāo)的排列得出方案集合參照表2；在Excel中求得理想方案為：利用MATLAB求解得（程序見附錄2-2）

20、：權(quán)值向量故評(píng)價(jià)模型公式為；根據(jù)評(píng)分結(jié)果排序知當(dāng)稀土添加量為0.11時(shí)，整體效果最好，此時(shí)個(gè)性能效果分別為抗拉性能：176.2118，延伸率8.5656，熱裂傾向值70.2318。（具體數(shù)據(jù)間附錄2-3）三、問題三的分析與求解1對(duì)問題的分析問題要求通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，研究對(duì)該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少。首先將單獨(dú)添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴(kuò)充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，再利用擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)進(jìn)行二元非線性擬合，選取擬合度最高的函數(shù)進(jìn)行非線性規(guī)劃，可以

21、求出滿足條件和最小HCS值所添加的釩和稀土的數(shù)量。2對(duì)問題的求解模型 多元非線性規(guī)劃模型 模型的準(zhǔn)備問題三中為了進(jìn)行規(guī)劃求出滿足條件的值首先得擬合出相應(yīng)的函數(shù)，而本題的函數(shù)為多元且非線性的函數(shù)，所以非線性擬合的過(guò)程我們引進(jìn)了世界領(lǐng)先的非線性曲線擬合，綜合優(yōu)化分析計(jì)算軟件平臺(tái)1stOpt。由于本題實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，而1stOpt功能強(qiáng)勁，是目前唯一能以任何初始值而求得美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST：National Institute of Standards and Technology)非線性回歸測(cè)試題集最優(yōu)解的軟件包，非線性曲線擬合可處理任意類型模型公式，任意多數(shù)目的待求參數(shù)及變量。 模型

22、的建立數(shù)據(jù)處理：將單獨(dú)添加混合添加釩（V）和稀土（RE）的值擴(kuò)充到混合添加的原始數(shù)據(jù)中，得到非線性擬合的原始數(shù)據(jù)，其中設(shè)添加添加釩（V）和稀土（RE）量為如表3表3 非線性擬合數(shù)據(jù)整理/V（wt%）/RE（wt%）抗拉強(qiáng)度延伸率熱裂傾向值HCS0.050.00160.006.6083.000.050.10153.007.2280.000.050.25130.005.5780.000.050.12146.006.6668.000.100.00154.008.21100.000.100.12133.006.0074.000.000.00133.004.66112.000.000.12186.008

23、.7364.000.000.10171.008.9972.000.000.25152.006.49116.000.200.00140.005.10131.000.000.08169.008.2680.000.000.10171.008.9972.000.000.15175.007.7172.000.000.20156.007.0080.00利用1stOpt軟件進(jìn)行非線性擬合，該軟件擬合的原理為：Levenberg-Marquardt法與通用全局優(yōu)化算法(Universal Global Optimization)Levenberg-Marquardt法算法基礎(chǔ)為：L-M算法只要解決的如下形式的

24、非線性最小二乘問題 （1）其中為一個(gè)n維向量，r為由到R的映射函數(shù)，可以認(rèn)為是最小二乘的殘差。這里。上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，令r為殘差向量，得 （2）此時(shí)的f可以用r的Jacobian式子J表示，。先考慮線性的情況下，此時(shí)J為常數(shù)，r可以理解為一個(gè)超平面從而同時(shí)可以得到，。要求（1）式的最小值，只要滿足即可。解得。再考慮非線性的情況可得： （3） （4）（4）式的右邊第二項(xiàng)為2次高階導(dǎo)數(shù)數(shù)，且殘差本身就很小，所以一般忽略不計(jì)。于是得到近似線性的Hessian矩陣。需要注意的是這里是假設(shè)了殘差很小，對(duì)于殘差很大的情況不能忽略高階項(xiàng)。L-M算法是個(gè)迭代的過(guò)程，設(shè)表示第K次得迭代的網(wǎng)絡(luò)權(quán)重向量，相當(dāng)于（

25、1）式的x向量，維數(shù)為M。把按Taylor級(jí)數(shù)展開可得： （5）令（5）式左邊等于0求最小二乘解，可得牛頓迭代策略： （6）如果在考慮最速下降法便得到L-M的迭代策略： （7）其中H為Hessian矩陣。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)很小時(shí)，就接近于牛頓法，而很大時(shí)就是最速下降法，因此L-M算法實(shí)際是上面兩種迭代算法的組合。通用全局優(yōu)化算法(Universal Global Optimization) 算法之最大特點(diǎn)是克服了當(dāng)今世界上在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域中使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即用戶勿需給出參數(shù)初始值，而由1stOpt隨機(jī)給出，通過(guò)其獨(dú)特的全局優(yōu)化算法，最終找出最優(yōu)解?？傊鶕?jù)上述算法可以求的抗拉強(qiáng)度

26、與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)，延伸率與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)，熱裂傾向值HCS與釩（V）和稀土（RE）添加量的擬合函數(shù)利用lingo進(jìn)行非線性規(guī)劃，以熱裂傾向值HCS的擬合函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，求最小值，以抗拉強(qiáng)度和延伸率為約束條件。將非線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式：其中為相應(yīng)非線性擬合出的函數(shù)可由lingo得出滿足條件的值。模型的求解利用1stOpt軟件進(jìn)行非線性擬合（程序及算法設(shè)置見附錄3-1），得出的結(jié)果為：擬合度為0.96?？捎脠D8表示：(圖示紅線表示擬合之后的趨勢(shì)線，藍(lán)線表示實(shí)驗(yàn)測(cè)得趨勢(shì)線)圖8 抗拉強(qiáng)度擬合度表示圖擬合度為0.97，可用圖9表示圖9 延伸率擬合度表

27、示圖擬合度為0.99，可用圖10表示圖10熱裂效應(yīng)擬合優(yōu)度表示圖再利用lingo進(jìn)行非線性規(guī)劃得出結(jié)論見圖11（程序見附錄3-2）圖11 非線性規(guī)劃lingo結(jié)果由可以得出當(dāng)添加釩（V）的量，添加稀土（RE）的量時(shí)，保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減小，且最小是63.5。四、問題四的分析與求解1對(duì)問題的分析問題要求單獨(dú)添加微量的釩、單獨(dú)添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯，所以我們可根據(jù)問題一的結(jié)果通過(guò)模糊綜合評(píng)價(jià)模型得出單獨(dú)添加微量的釩使整體效果最明顯的

28、最優(yōu)方案，和引用問題二的結(jié)果的得出單獨(dú)添加微量的稀土最優(yōu)方案，再根據(jù)問題三的函數(shù)關(guān)系得出混合添加微量的釩和稀土使整體上效果更加明顯得最優(yōu)方案，最后在這三個(gè)最優(yōu)方案中再通過(guò)模糊綜合評(píng)價(jià)模型的選出三種方案中最好的。2對(duì)問題的求解由問題一可知合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，將釩在取值為0-0.2之間按步長(zhǎng)為0.01依次取得的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS值分為21個(gè)方案，建立模糊綜合評(píng)價(jià)模型，通過(guò)matlab編程得出結(jié)果如圖12。（程序見附錄4-1）圖12 21個(gè)方案對(duì)應(yīng)的F值從圖12可以看出單獨(dú)添加的釩為0.07時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗

29、拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。所對(duì)應(yīng)的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為160.2042，7.5457，86.254。同理問題二可知合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，分為31個(gè)方案，建立模糊綜合評(píng)價(jià)模型，通過(guò)matlab編程得出結(jié)果如圖13。（程序見附錄4-2）圖2 31個(gè)方案對(duì)應(yīng)的F值從圖13可以看出單獨(dú)添加的稀土為0.11時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。所對(duì)應(yīng)的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為176.2118，8.5656，70.2318。由問題三得出的產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩和稀土的近似函數(shù)關(guān)系

30、，在釩和稀土的添加數(shù)量分別在0.010.25之間分別按步長(zhǎng)0.01依次取得的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS值分為625個(gè)方案，再剔除一些異常值后再建立模糊綜合評(píng)價(jià)模型，通過(guò)matlab編程得出最優(yōu)方案為添加釩和稀土的數(shù)量分別約為0.01和0.13時(shí)，所對(duì)應(yīng)的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS分別為173.2764，8.0409,63.6327。（程序見附錄4-3）最后再將三個(gè)最優(yōu)方案進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)，可得出 ,所以可以得出第二種方案是最優(yōu)的，即單獨(dú)添加微量的稀土對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。§6 誤差分析1在問題二中要解決單獨(dú)添加稀土的數(shù)量

31、約為多少時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響，為此我們?cè)?0.3內(nèi)取步長(zhǎng)為0.01而建立的31個(gè)方案，所以得出的最終結(jié)果都在所取的方案內(nèi)，可能不夠精確，存在誤差。2在問題四中研究混合添加微量的釩和稀土對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果最好時(shí)，由于在擬合產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩和稀土的數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)存在誤差，所以在釩和稀土的添加數(shù)量分別在0.010.25時(shí)，有很多不切實(shí)際的值，比如存在負(fù)值和遠(yuǎn)大于表中的值，所以在進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)時(shí)剔除了這些數(shù)據(jù)，才得以解決問題，因此必然存在一定誤差。§7 模型的

32、評(píng)價(jià)與推廣一、模型的優(yōu)點(diǎn) 1問題二所建立的模糊綜合評(píng)價(jià)模型，也適用于其他具有效益型和成本型指標(biāo)的問題，如農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)技術(shù)方案的綜合評(píng)估，某工程方案的決策。2問題三利用了1stOpt軟件，該軟件是目前唯一能以任何初始值，不要求初始值收斂的非線性曲線擬合工具，非線性曲線擬合可處理任意類型模型公式，任意多數(shù)目的待求參數(shù)及變量。自帶有上百個(gè)實(shí)例，覆蓋范圍包括幾乎所有優(yōu)化方面。二、模型的缺點(diǎn)問題三擬合的函數(shù)較為復(fù)雜，不易進(jìn)行下一步計(jì)算。三、模型的推廣1所建立的模糊綜合評(píng)價(jià)模型，也適用于其他具有效益型和成本型指標(biāo)的問題，如農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)技術(shù)方案的綜合評(píng)估，某工程方案的決策。21stOpt軟件提供了非線性擬合最前沿最

33、優(yōu)秀的擬合方法，其中擁有很多現(xiàn)代的優(yōu)化算法，使得我們?cè)僬{(diào)用和理解上都提供了非常有效的幫助。該模型的中的非線性規(guī)劃模型在生活中應(yīng)用的更廣泛，可以推廣到經(jīng)營(yíng)管理、工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究、軍事指揮等方面的最優(yōu)化問題。§8 模型的改進(jìn)基于本文中對(duì)模型的缺點(diǎn)，即數(shù)據(jù)較少導(dǎo)致的擬合效果不佳，我們考慮采用一種可靠的數(shù)據(jù)擴(kuò)充的方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一種可靠性的數(shù)據(jù)擴(kuò)充的方法，再對(duì)擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。在此選用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)可靠性數(shù)據(jù)擴(kuò)充的方式，對(duì)可靠性有關(guān)特征量進(jìn)行估計(jì)，并繪制曲線，從而提高估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析原理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元組成，將多個(gè)神經(jīng)元有規(guī)則地相聯(lián)而構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其功能是巨大的。人工神經(jīng)

34、網(wǎng)絡(luò)有輸入向量，內(nèi)部有多個(gè)神經(jīng)元，網(wǎng)絡(luò)的輸入向量經(jīng)與權(quán)陣乘積后輸入到每個(gè)神經(jīng)元。每個(gè)神經(jīng)元將加權(quán)后的輸入與閾值（偏移）向量代數(shù)求和后得到自己的輸出。網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練可近似逼近有限間斷點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成數(shù)據(jù)的分析計(jì)算要經(jīng)過(guò)：構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)，包括確定輸入數(shù)據(jù)特性、網(wǎng)絡(luò)層次、傳遞函數(shù)形式、輸出的形式；網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練，以確定權(quán)系數(shù)和閾值參數(shù)；利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)際仿真。用于可靠性分析的思路一般來(lái)說(shuō)，由于可靠性數(shù)據(jù)樣本都很少。因此，基于這些小的數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)，有時(shí)存在置信度低的問題。設(shè)想，如果有一種方法能在與元樣本數(shù)據(jù)保持一致統(tǒng)計(jì)規(guī)律的條件下，將樣本量擴(kuò)大再應(yīng)用原統(tǒng)計(jì)分析，就有可能提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確

35、性。分析過(guò)程首先選擇模擬分布模型，再建立可靠度估計(jì)值設(shè)n各失效時(shí)間數(shù)據(jù)，以秩次排列為根據(jù)這些失效數(shù)據(jù)，用經(jīng)驗(yàn)公式：一次估計(jì)出經(jīng)驗(yàn)可靠度：因此構(gòu)成列隊(duì)：用網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)充失效時(shí)間的模擬樣本有了以上失效時(shí)間和相應(yīng)的可靠度經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值，就要建立合適的網(wǎng)絡(luò)來(lái)生成具有與樣本相同失效規(guī)律的擴(kuò)大的模擬樣本。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較好的函數(shù)逼近能力，因此在選擇BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)對(duì)可靠度的模擬仿真，以兩個(gè)層次構(gòu)成該網(wǎng)絡(luò)，第一層接受可靠度輸入，而輸出則為相應(yīng)的失效時(shí)間，傳遞函數(shù)用log-sigmoid型，確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，選擇適當(dāng)訓(xùn)練方法，用實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。為了提高收斂速度，同時(shí)又兼顧結(jié)果的穩(wěn)定性，采用共軛梯度算法完成權(quán)系

36、數(shù)和閾值的最佳搜尋求取。參考文獻(xiàn)1 楊桂元.黃己立.數(shù)學(xué)建模M.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2009.9. 2 七維高科.1stOpt使用指南M.北京. 2009.93 李志建，鄭新奇等.非線性多維數(shù)據(jù)可視化分類預(yù)測(cè)方法J.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）土地科學(xué)技術(shù)學(xué)院.2006.附錄2-1 syms xf1=9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21;%抗拉性能f2=1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899;%延伸率f3=6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06;%熱裂傾向值x1,maxf=fminbnd('-

37、(9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21)',0,0.3),maxf=-maxfx2,maxf=fminbnd('-(1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899)',0,0.3),maxf=-maxfx3,minf=fminbnd('6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06',0,0.3)2-2 x=0:0.01:0.3;A=132.21 4.5899 112.06140.7189551 5.4595754 106.9928507148.1638808 6.2048232

38、 102.0616056154.5988677 6.8332358 97.3052689160.0780064 7.3524056 92.7628448164.6553875 7.769925 88.4733375168.3851016 8.0933864 84.4757512171.3212393 8.3303822 80.8090901173.5178912 8.4885048 77.5123584175.0291479 8.5753466 74.6245603175.9091 8.5985 72.1847176.2118381 8.5655574 70.2317817175.991452

39、8 8.4841112 68.8048096175.3020347 8.3617538 67.9427879174.1976744 8.2060776 67.6847208172.7324625 8.024675 68.0696125170.9604896 7.8251384 69.1364672168.9358463 7.6150602 70.9242891166.7126232 7.4020328 73.4720824164.3449109 7.1936486 76.8188513161.8868 6.9975 81.0036159.3923811 6.8211794 86.0653327

40、156.9157448 6.6722792 92.0430536154.5109817 6.5583918 98.9757669152.2321824 6.4871096 106.9024768150.1334375 6.466025 115.8621875148.2688376 6.5027304 125.8939032146.6924733 6.6048182 137.0366281145.4584352 6.7798808 149.3293664144.6208139 7.0355106 162.8111223144.2337 7.3793 177.5209; %原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行代表

41、一個(gè)方案，每列代表一個(gè)指標(biāo)，提取方案數(shù)量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩陣,有幾個(gè)方案就有幾個(gè)u1，用repmat建立 i,j=size(A)u1=176.2118381 8.5985 67.6847208 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相對(duì)偏差模糊矩陣，range(A)是每個(gè)指標(biāo)的最大值減最小值rageA=repmat(range(A),i,1);r=abs(A-u)./rageA;%用相對(duì)變異系數(shù)法建立評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)數(shù) v=std(r)./mean(r);w1=v./sum(v);w=repmat(w1,i,1);f=r*w1'R=(find(f=min(f);

42、x(R)A(R,:)2-3 方案結(jié)果表稀土添加量整體效果抗拉強(qiáng)度延伸率熱裂傾向值00.76 132.214.5899112.060.010.6184140.71895515.4595754106.99285070.020.4946148.16388086.2048232102.06160560.030.3869154.59886776.833235897.30526890.040.2946160.07800647.352405692.76284480.050.2168164.65538757.76992588.47333750.060.1528168.38510168.093386484.47

43、575120.070.1017171.32123938.330382280.80909010.080.0629173.51789128.488504877.51235840.090.0355175.02914798.575346674.62456030.10.0187175.90918.598572.18470.110.0117176.21183818.565557470.23178170.120.0139175.99145288.484111268.80480960.130.0243175.30203478.361753867.94278790.140.0423174.19767448.20

44、6077667.68472080.150.067172.73246258.02467568.06961250.160.0977170.96048967.825138469.13646720.170.1335168.93584637.615060270.92428910.180.1737166.71262327.402032873.47208240.190.2176164.34491097.193648676.81885130.20.2643161.88686.997581.00360.210.313159.39238116.821179486.06533270.220.363156.91574

45、486.672279292.04305360.230.4135154.51098176.558391898.97576690.240.4637152.23218246.4871096106.90247680.250.5129150.13343756.466025115.86218750.260.5602148.26883766.5027304125.89390320.270.6048146.69247336.6048182137.03662810.280.6461145.45843526.7798808149.32936640.290.6832144.62081397.0355106162.8

46、1112230.30.7153144.23377.3793177.52093-1 Variable x,y,z ;Data;0.05 0.00 160.000.05 0.10 153.000.05 0.25 130.000.05 0.12 146.000.10 0.00 154.000.10 0.12 133.000.00 0.00 133.000.00 0.12 186.000.00 0.10 171.000.00 0.25 152.000.20 0.00 140.000.00 0.08 169.000.00 0.10 171.000.00 0.15 175.000.00 0.20 156.

47、000.05 0.00 6.600.05 0.10 7.220.05 0.25 5.570.05 0.12 6.660.10 0.00 8.210.10 0.12 6.000.00 0.00 4.660.00 0.12 8.730.00 0.10 8.990.00 0.25 6.490.20 0.00 5.100.00 0.08 8.260.00 0.10 8.990.00 0.15 7.710.00 0.20 7.000.05 0.00 83.000.05 0.10 80.000.05 0.25 80.000.05 0.12 68.000.10 0.00 100.000.10 0.12 74

48、.000.00 0.00 112.000.00 0.12 64.000.00 0.10 72.000.00 0.25 116.000.20 0.00 131.000.00 0.08 80.000.00 0.10 72.000.00 0.15 72.000.00 0.20 80.003-2model:min=(112.32+7413.34*x1-24770.57*x12-443578.78*x13-750.47*x2+2265.24*x22)/(1+129.86*x1-1236.21*x12-1.71*x2);(133.10-112804.99*x1+555214.43*x12+22413.80

49、*x2+32401.73*x22-147035.76*x23)/(1-650*x1+2356.87*x12+4144.67*x13+138.08*x2)>150;(4.69+1640.61*x1-14467.12*x12-46473.96*x13+92.98*x2)/(1+203.34*x1-742.80*x12-16633.09*x13+0.48*x2+55.40*x22)>7;bnd(0.01,x1,0.25);bnd(0.01,x2,0.25);end4-1A= 133 4.5144 112142.204333 5.132687 100.828149.312664 5.689

50、228 92.624154.518991 6.184023 87.106158.017312 6.617072 83.992160.001625 6.988375 83160.665928 7.297932 83.848160.204219 7.545743 86.254158.810496 7.731808 89.936156.678757 7.856127 94.612154.003 7.9187 100150.977223 7.919527 105.818147.795424 7.858608 111.784144.651601 7.735943 117.616141.739752 7.

51、551532 123.032139.253875 7.305375 127.75137.387968 6.997472 131.488136.336029 6.627823 133.964136.292056 6.196428 134.896137.450047 5.703287 134.002140.004 5.1484 131; %原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行代表一個(gè)方案，每列代表一個(gè)指標(biāo)，提取方案數(shù)量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩陣,有幾個(gè)方案就有幾個(gè)u1，用repmat建立u1= 160.665928 7.919527 83 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相對(duì)偏差模糊矩

52、陣，range(A)是每個(gè)指標(biāo)的最大值減最小值rageA=repmat(range(A),i,1)r=abs(A-u)./rageA%用相對(duì)變異系數(shù)法建立評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)數(shù) v=std(r)./mean(r)w1=v./sum(v)w=repmat(w1,i,1) %建立綜合評(píng)價(jià)模型，F(xiàn)值越小的方案越好F=r.*wsum(F,2)4-2A=183.5858983 6.95357861 81.67955118191.8570908 7.216117118 79.14383513-1.687924652 7.645775265 74.59409223148.3645816 7.810633263 72

53、.58860425162.0977694 7.941937213 70.76863268167.4915898 8.040380867 693637811 8.107253621 67.7039162172.0487007 8.144332307 66.46890508173.0185081 8.153765206 65.43889144173.482705 8.137956964 64.61916816173.5484787 8.099461292 64.01521197173.276365 8.040886261 63.6326914172.7031381 7.964814969 63.47747533171.8524273 7.873742574 63.55564185170.7401085 7.770029284 63.87348773169.3772435 7.65586796 64.43753829167.7717758 7.533264367 65.25455793165.9295572 7.404027892 66.331561