線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)大全第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。 推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式 定理：行列式中某一行的元素與另

2、一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：轉(zhuǎn)置行列式：對(duì)稱行列式:反對(duì)稱行列式: 奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零三線性行列式: 方法：用把化為零，。化為三角形行列式上（下）三角形行列式:行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念：（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律 數(shù)乘-分配、結(jié)合律 乘法

3、注意什么時(shí)候有意義 一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 轉(zhuǎn)置 (反序定理) 方冪： 幾種特殊的矩陣：對(duì)角矩陣：若AB都是N階對(duì)角陣，k是數(shù)，則kA、A+B、 AB都是n階對(duì)角陣 數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若） 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置 注：把分出來(lái)的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣) 初等變換1、交換兩行

4、（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)一次初等變換得到的（對(duì)換陣 倍乘陣 倍加陣） 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 矩陣的秩r(A)：滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形 矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別： 都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣，行列式 逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆； 不是

5、所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置也是可逆的，且 4、兩個(gè)可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且 但是兩個(gè)可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2，前提是每個(gè)矩陣都可逆） 1、分塊矩陣 則 2、準(zhǔn)對(duì)角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判斷矩陣是否可逆

6、：充要條件是，此時(shí)求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系： 設(shè)是m*n階矩陣，則對(duì)A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣簡(jiǎn)化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解 r(AB)r(B)，無(wú)解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)<未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=

7、未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無(wú)窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）：定義向量組的秩：極大無(wú)關(guān)組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無(wú)關(guān)的部分組，則它是 極大無(wú)關(guān)組的充要條件是：中的每一個(gè)向量都可由線性表出。 秩:極大無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。 定理：設(shè)A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量，若則是線性組合 單位向

8、量組 任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）注： n個(gè)n維單位向量組一定是線性無(wú)關(guān) 一個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)，求（適合維數(shù)低的）2、 向量間關(guān)系法：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)3、 分量法（n個(gè)m維向量組）：線性相關(guān)（充要） 線性無(wú)關(guān)（充要） 推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則；無(wú)關(guān)，則 當(dāng)m<n時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量組線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)s為奇數(shù)時(shí)

9、，向量組 也線性無(wú)關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。 定理：如果向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無(wú)關(guān)。極大無(wú)關(guān)組注：向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的； 不全為零的向量組的極大無(wú)關(guān)組一定存在； 無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組是其本身； 向量組與其極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為 （I）的兩個(gè)解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數(shù)還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II）解的結(jié)構(gòu)：解為 （II）的兩個(gè)解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX

10、=O的一個(gè)解，則u+v是（II）的一個(gè)解。定理： 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個(gè)解。 若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v是（II）的全部解。第4章 向量空間 向量的內(nèi)積 實(shí)向量定義：（，）=性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長(zhǎng)度 的充要條件是=0；是單位向量的充要條件是（，）=1單位化向量的夾角正交向量：是正交向量的充要條件是（，）=0正交的向量組必定線性無(wú)關(guān)正交矩陣：階矩陣 性質(zhì)：1、若A為正交

11、矩陣，則可逆，且，且也是正交矩陣；、若A為正交矩陣，則；、若A、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是 標(biāo)準(zhǔn)正交向量；第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N階方陣，若數(shù)使AX=X，即（I-A）=0有非零解，則稱為A的一 個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 將代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的） 特殊：的特征向量為任意N階非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 則- 則- 則- 若=A則-=0或

12、1 若=I則-=-1或1 若=O則-=0 跡tr(A )：跡（A）= 性質(zhì)： 1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的 2、A與有相同的特征值 3、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān) 4、5、P281 相似矩陣定義P283：A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足，則矩陣A與B 相似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I 2、對(duì)稱性：若AB則BA 3、傳遞性：若AB、BC則AC - - 4、若AB，則A與B同（不）可逆 5、若AB，則 兩邊同取逆， 6、若AB，則它們有相同的特征值。 （特征值相同的矩陣不一定相似） 7、若AB，則 初等變換不改變矩陣的秩 例子：則 A=O

13、A=I A=矩陣對(duì)角化定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A有N個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量注：1、P與中的順序一致 2、A,則與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則 （P281）定理：n階方陣的充要條件是對(duì)于每一個(gè)重特征根，都有 注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣 約當(dāng)塊：形如的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊； 約當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的對(duì)角分塊矩陣（是約當(dāng)塊）稱為約當(dāng)形矩陣。定理：任何矩陣A都相似于一個(gè)約當(dāng)形矩陣，即存在n階可逆矩陣。第六章 二次型二次型與對(duì)稱矩陣 只含有二次項(xiàng)的n元多項(xiàng)式f()稱為一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。 標(biāo)準(zhǔn)型：形如 的二次型，

14、稱為標(biāo)準(zhǔn)型。 規(guī)范型：形如 的二次型，稱為規(guī)范型。線性變換矩陣的合同：設(shè)AB是n階方陣，若存在一個(gè)n階可逆矩陣C，使得 則稱A與B是合同的，記作A B。合同的性質(zhì)：反身性、對(duì)稱性、傳遞性、秩、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：配方法、做變換（二次型中不含有平方項(xiàng)） 關(guān)于：稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；線性無(wú)關(guān)；任意一個(gè)維向量都可以用線性表示. 行列式的計(jì)算： 若都是方陣（不必同階）,則 上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積. 關(guān)于副對(duì)角線： 逆矩陣的求法: 方陣的冪的性質(zhì)： 設(shè)，對(duì)階矩陣規(guī)定：為的一個(gè)多項(xiàng)式. 設(shè)的列向量為,的列向量為，的列向量為, 用對(duì)角矩陣左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上

15、的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對(duì)角矩陣右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘,與分塊對(duì)角陣相乘類似,即： 矩陣方程的解法：設(shè)法化成 當(dāng)時(shí), 和同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則： 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等； 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無(wú)關(guān)； 是的解； . 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原

16、向量組相關(guān). 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無(wú)關(guān). . 若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法惟一. 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系. 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià) 和可以相互線性表示. 記作：矩陣等價(jià) 經(jīng)過(guò)有限

17、次初等變換化為. 記作： 矩陣與等價(jià)作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià). 向量組可由向量組線性表示. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無(wú)關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)； 任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià). 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等. 若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無(wú)關(guān)； 若，的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性無(wú)關(guān).線性方程組的矩陣式 向量式 22矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線性方程組解的性質(zhì)：

18、 設(shè)為矩陣,若,則,從而一定有解. 當(dāng)時(shí),一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān). 是的上限. 矩陣的秩的性質(zhì)： 且在矩陣乘法中有左消去律: 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. .是單位向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對(duì)稱性： 雙線性： 施密特 線性無(wú)關(guān), 單位化： 正交矩陣 . 是正交矩陣的充要條件：的個(gè)行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 正交矩陣的性質(zhì)： ； ； 是正交陣,則（或）也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣 .的特征多項(xiàng)式 .的特征方程 . 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素. 若,則為的

19、特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量. 若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：, . 若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則: 的全部特征值為； 當(dāng)可逆時(shí),的全部特征值為, 的全部特征值為. 與相似 （為可逆陣） 記為： 相似于對(duì)角陣的充要條件：恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值. 可對(duì)角化的充要條件： 為的重?cái)?shù). 若階矩陣有個(gè)互異的特征值,則與對(duì)角陣相似.與正交相似 （為正交矩陣） 相似矩陣的性質(zhì)： 若均可逆 （為整數(shù)） ,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時(shí)可逆或不可逆 數(shù)量矩陣只與自己相似. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 特