《高等數(shù)學(xué)》電子課件（自編教材）：第五章 第3節(jié) 微積分基本公式

1、1微積分基本公式微積分基本公式第三節(jié)第三節(jié)一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓萊布尼茨公式四、小結(jié)2變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 一、問題的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中3 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個

2、取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)4abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、積分上限函數(shù)的性質(zhì)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x5 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由

3、積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x6、變限積分求導(dǎo)公式、變限積分求導(dǎo)公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）證明（證明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf7)(,sin)(xFdttxFx求求例例15321解：解：)()sin()(11232xxxF

4、112232xxx)sin(2例例)(,)(sinarctanxFdttxFxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxF25112xx)(arctan8例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則.9例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證證明函數(shù)明函數(shù) xx

5、dttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增加內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)函數(shù). 證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).11例例 5 5 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20

6、 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個個解解. 證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令12定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）

7、肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.13定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證三、牛頓萊布尼茨公式14令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)

8、(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式15)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.166例例dxx10210331x317例例dxx3121131xar

9、ctan)arctan(arctan13)(43 12717例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例9 9 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1218例例10 10 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy

10、xy 122 19例例11 11 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx12013例例dxx 01 sindxxx 0222)cos(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1242114例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdx

11、x)cos(sincossin2212021343232)(2215例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解：解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim233.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系24練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解答：解答：dttfxa )(與與duufbx )(都都是

12、是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 25確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c2、2626設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求定積分為常數(shù) ,設(shè)abxxxf2)(2, 則10d)(xxfa22bxax20120d)(xxfb22bxax202ab2231ab4238,31a34b故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .3、).(xf解：,d)(10axxfbxxf20d)(33x33x3234)(2xxxf27274、火車以每小時144 km 的速度行駛 ,速停車,2sm41a解解: 設(shè)開始剎車時刻為,0t則此時刻火車速