數(shù)學(xué)建模課程及答案

1、數(shù)學(xué)建模課程練習(xí)題一一、填空題1. 設(shè)開始時(shí)的人口數(shù)為，時(shí)刻的人口數(shù)為，若人口增長率是常數(shù)，那麼人口增長問題的馬爾薩斯模型應(yīng)為 。2. 設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是而供給量函數(shù)是，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品的均衡價(jià)格是 。3. 某服裝店經(jīng)營的某種服裝平均每天賣出110件，進(jìn)貨一次的手續(xù)費(fèi)為200元，存儲(chǔ)費(fèi)用為每件0.01元/天，店主不希望出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，則最優(yōu)進(jìn)貨周期與最優(yōu)進(jìn)貨量分別為 。4. 一個(gè)連通圖能夠一筆畫出的充分必要條件是 .5.設(shè)開始時(shí)的人口數(shù)為，時(shí)刻的人口數(shù)為，若允許的最大人口數(shù)為，人口增長率由表示，則人口增長問題的羅捷斯蒂克模型為 .6. 在夏季博覽會(huì)上，商人預(yù)測(cè)每天冰淇淋銷

2、量將和下列因素有關(guān)： （1）參加展覽會(huì)的人數(shù)； （2）氣溫超過； （3）冰淇淋的售價(jià).由此建立的冰淇淋銷量的比例模型應(yīng)為 .7、若銀行的年利率是%，則需要 時(shí)間，存入的錢才可翻番. 若每個(gè)小長方形街路的8. 如圖是一個(gè)郵路，郵遞員從郵局A出發(fā)走遍所有長方形街路后再返回郵局. 邊長橫向均為1km，縱向均為2km，則他至少要走 km. A 9. 設(shè)某種新產(chǎn)品的社會(huì)需求量為無限，開始時(shí)的生產(chǎn)量為100件，且設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)的增長率控制在0.1，時(shí)刻產(chǎn)品量為，則= .10. 商店以10元/件的進(jìn)價(jià)購進(jìn)襯衫，若襯衫的需求量模型是是銷售單價(jià)（元/件），為獲得最大利潤，商店的出售價(jià)是 .二、分析判斷題1從下面不太

3、明確的敘述中確定要研究的問題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3個(gè)），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3個(gè)） ，建立何種數(shù)學(xué)模型：一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時(shí)間非常擁擠，該如何解決。2某種疾病每年新發(fā)生1000例，患者中有一半當(dāng)年可治愈.若2000年底時(shí)有1200個(gè)病人，到2005年將會(huì)出現(xiàn)甚麼結(jié)果？有人說，無論多少年過去，患者人數(shù)只是趨向2000人，但不會(huì)達(dá)到2000人，試判斷這個(gè)說法的正確性.3一條公路交通不太擁擠，以至人們養(yǎng)成“沖過”馬路的習(xí)慣，不愿意走臨近的“斑馬線”。交管部門不允許任意橫穿馬路，為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”，以便讓行人可以穿越馬路。那末“選擇

4、設(shè)置斑馬線的地點(diǎn)”這一問題應(yīng)該考慮哪些因素？試至少列出3種。 4. 某營養(yǎng)配餐問題的數(shù)學(xué)模型為minZ=4x1+3x2s.t. 其中表示參與配餐的兩種原料食品的采購量，約束條件（1）、（2）、（3）依次表示鐵、蛋白質(zhì)和鈣的最低攝入量。并用圖解法給出了其最優(yōu)解，試分析解決下述問題：（1） 假如本題的目標(biāo)函數(shù)不是求最小而是求最大值類型且約束條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？（2） 本題最后定解時(shí)，只用了直線（1）與直線（3），而直線（2）未用上，這件事說明了什么？試從實(shí)際問題背景給以解釋.5據(jù)繪畫大師達(dá)芬奇的說法，在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)。也就是說，這個(gè)比值越接近0.618，就越給

5、人以一種美的感覺。很可惜，一般人的軀干（由腳底至肚臍的長度）與身高比都低于此數(shù)值，大約只有0.580.60左右。設(shè)軀干長為，身高為，一位女士的身高為，其軀干與身高之比，若其所穿的高跟鞋高度為（單位與，相同），那么，她該穿多高的高跟鞋（=？）才能產(chǎn)生最美的效應(yīng)值。三、應(yīng)用題1從廠家A往B、C、D三地運(yùn)送貨物，中間可經(jīng)過9個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)站.從A到的運(yùn)價(jià)依次為3、8、7；從到的運(yùn)價(jià)為4、3；從到的運(yùn)價(jià)為2、8、4；從到的運(yùn)價(jià)為7、6；從到的運(yùn)價(jià)為10、12；從到的運(yùn)價(jià)為13、5、7；從到的運(yùn)價(jià)為6、8；從到的運(yùn)價(jià)為9、10；從到的運(yùn)價(jià)為5、10、15；從到的運(yùn)價(jià)為8、7。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家制定一個(gè)總運(yùn)費(fèi)最

6、少的運(yùn)輸路線。2. 試求如表2所示運(yùn)輸問題的最優(yōu)運(yùn)輸方案和最小運(yùn)輸費(fèi)用： 表2單位：百元/噸 銷地產(chǎn)地 運(yùn)價(jià) B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A33 5 2 94 7 5 126 9 10 11201525銷量10 20 15 15 3某工廠計(jì)劃用兩種原材料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，兩種原材料的最高供應(yīng)量依次為22和20個(gè)單位；每單位產(chǎn)品甲需用兩種原材料依次為1、1個(gè)單位，產(chǎn)值為3（百元）乙的需要兩依次為3、1個(gè)單位，產(chǎn)值為9（百元）；又根據(jù)市場預(yù)測(cè)，產(chǎn)品乙的市場需求量最多為6個(gè)單位，而甲、乙兩種產(chǎn)品的需求比不超過5：2，試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值達(dá)到最大，并由此回答：（1）

7、最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？若有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說明理由.（2） 原材料的利用情況. 4. 兩個(gè)水廠將自來水供應(yīng)三個(gè)小區(qū)每天各水廠的供應(yīng)量與各小區(qū)的需求量以及各水廠調(diào)運(yùn)到各小區(qū)的供水單價(jià)見表.試安排供水方案，使總供水費(fèi)最??？ 小區(qū) 單價(jià)/元水廠 供應(yīng)量/ 10 6 4 170 7 5 6 200 需求量/ 16090 150 5、有某種物資從城市運(yùn)往城市.中間可以通過七個(gè)城市運(yùn)抵目的地。各城市之間的可通道路及其間距離如圖所示（單位：）.試設(shè)計(jì)一個(gè)從到的運(yùn)輸路線，使得總運(yùn)輸路程最短，并求出最短路線. 數(shù)學(xué)建模課程練習(xí)題二一、填空題1. 若則與的函數(shù)關(guān)系是 2. 有人觀察到魚尾每擺動(dòng)一次，

8、魚所移動(dòng)的距離幾乎與魚身的長度相等，則魚尾擺動(dòng)的次數(shù)（次/秒）、魚身的長度和它的速度的關(guān)系式為 .3. 已知行星的質(zhì)量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的倍，且它的平均密度是地球的倍，則此行星質(zhì)量是地球的 倍.4. 馬爾薩斯與邏輯斯蒂克兩個(gè)人口增長模型的主要區(qū)別是假設(shè)了 5. 設(shè)表示掙的錢數(shù)，表示花的錢數(shù)，則“錢越多花的也就越多”的數(shù)學(xué)模型可以簡單表示為 .6. 在超級(jí)市場的收銀臺(tái)有兩條隊(duì)伍可選擇，隊(duì)1有個(gè)顧客，每人都買了件商品，隊(duì)2有個(gè)顧客，每人都買了件商品，假設(shè)每個(gè)人付款需秒，而掃描每件商品需秒秒，則加入較快隊(duì)1的條件是 .7. 在建立人口增長問題的邏輯斯蒂克模型時(shí)

9、，假設(shè)人口增長率是人口數(shù)量的遞減函數(shù)，若最大人口數(shù)量記作為簡化模型，采用的遞減函數(shù)是 .8. 一次晚會(huì)花掉100元用于食品和飲料，其中食品至少要花掉40%，飲料起碼要花30元，用和列出花在食品和飲料上的費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型是 9. 設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是（萬件），其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那么該商品的社會(huì)最大需求量是 .10. 設(shè)某種商品的供給量函數(shù)是，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品下一時(shí)段的價(jià)格達(dá)到 ，才能迫使供給商停止供給。二、分析判斷題1地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時(shí)，人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假設(shè)有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定甚麼樣的疏散計(jì)劃

10、.請(qǐng)就這個(gè)計(jì)劃指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示.2. 假設(shè)某個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如下形式： 試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)行簡化.3. 要為一所大學(xué)編制全校性選修課程表，有哪些因素應(yīng)予以考慮？試至少列出5種. 4. 一起交通事故發(fā)生3個(gè)小時(shí)后，警方測(cè)得司機(jī)血液中酒精的含量是又過兩個(gè)小時(shí)，含量降為試判斷，當(dāng)事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定（不超過80/100.5、為了節(jié)約用水，業(yè)內(nèi)人士提出水費(fèi)應(yīng)按照階梯式進(jìn)行收費(fèi)。譬如對(duì)于居民用水收費(fèi)，在一般月用水量的平均值之內(nèi)按照原價(jià)格收取，超出部分要加大收費(fèi)力度。對(duì)此問題建立模型應(yīng)該考慮那些問題和因素？至少列舉三個(gè)。三、應(yīng)用題1. 某鋁合金加工單位

11、要加工一批成套窗料，每套窗料含有和長度的料各兩根，總計(jì)要加工套，所用原料的長度均為試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個(gè)截料方案，使得所用原料最少？2. 求如圖所示網(wǎng)絡(luò)中到的最短路線及其路長. 3. 一個(gè)毛紡廠使用羊毛、兔毛和某種纖維生產(chǎn)甲、乙兩種混紡毛料，生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品甲需要的三種原料依次為3、2、8個(gè)單位，產(chǎn)值為580元；生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品乙需要的三種原料依次為2、3、5個(gè)單位，產(chǎn)值為680元，三種原料在計(jì)劃期內(nèi)的供給量依次為90、30和80單位.試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值達(dá)到最大，并由此回答：（3） 最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？若有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說明理由.（4） 原材

12、料的利用情況. 4. 三個(gè)磚廠向三個(gè)工地供應(yīng)紅磚.各磚廠的供應(yīng)量與各工地的需求量以及各磚廠調(diào)運(yùn)紅磚到各工地的單價(jià)見表.試安排調(diào)運(yùn)方案，使總費(fèi)用最??？ 工地 單價(jià)/百元磚廠 供應(yīng)量/萬塊 10 6 4 170 7 5 6 200 8 3 9 150需求量/萬塊160180 1805、求解以下線性規(guī)劃模型，并回答所給兩個(gè)問題：（1）該模型的最優(yōu)解是否唯一？為什么？若有兩個(gè)以上最優(yōu)解，請(qǐng)至少給出兩個(gè)。（2）若其中的代表兩種商品的產(chǎn)量，且的銷售情況比較要差些，那么你選擇哪一個(gè)最優(yōu)方案？為什么？（3）若每個(gè)約束條件的右端項(xiàng)依次表示生產(chǎn)所需三種材料，那么對(duì)于你所選擇的最優(yōu)解，這些材料的利用情況怎樣？數(shù)學(xué)建

13、模課程練習(xí)題一答案一、填空題：1. 2. 80； 3. 4、圖中奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2.5. 6. 是比例常數(shù)； 7、； 8、42.9. 10. ；二、分析判斷題：1、1）要研究的問題：如何設(shè)置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等 3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計(jì)所需資料，一般講，需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的相關(guān)資料 4）可以建立概率統(tǒng)計(jì)模型，亦可在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立確定性模型2、根據(jù)題意可知：下一年病人數(shù)=當(dāng)年患者數(shù)的一半+新患者.于是令為從2000年起計(jì)算的年后患者的人數(shù)，可得到遞推關(guān)系模型： 由可以算出20

14、05年時(shí)的患者數(shù)人.遞推計(jì)算的結(jié)果有， 容易看出，故結(jié)論正確.3. （1）車流的密度 （2）車的行駛速度 （3）道路的寬度 （4）行人穿越馬路的速度（5）設(shè)置斑馬線地點(diǎn)的兩側(cè)視野等。4. （1）因?yàn)榭尚杏虻挠疑戏綗o界，故將出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)趨于無窮大的情形，結(jié)果是問題具有無界解； （2）將最優(yōu)解代入約束條件可知第二個(gè)約束條件為嚴(yán)格不等式，而其他為嚴(yán)格等式。這說明，鐵和鈣的攝入量達(dá)標(biāo)，而蛋白質(zhì)的攝入量超最低標(biāo)準(zhǔn)18個(gè)單位。5、穿高跟鞋后新的比值應(yīng)為 令 ， 由此可解得 三、應(yīng)用題：1、先建立模型（圖1），然后使用雙標(biāo)號(hào)法求解，得到圖2。 圖1 圖2由圖2進(jìn)行逆向搜索可知，從廠家A到B只有一條路線最短：

15、 ；從廠家A到C有兩條最短路線可選擇：從廠家A到D也只有一條路線最短：.2、易見，這是一個(gè)產(chǎn)銷平衡且為最小值類型的運(yùn)輸問題。我們利用最小元素法可得初始方案如表1，表1 銷地產(chǎn)地 運(yùn)價(jià) B1 B2 B3 B4產(chǎn)量 A1A2A3 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 15 使用閉回路法可得負(fù)檢驗(yàn)數(shù)為=-1，故令進(jìn)基。再使用閉回路法進(jìn)行調(diào)整知出基，便得新的運(yùn)輸方案，再進(jìn)行檢驗(yàn)知，所有檢驗(yàn)數(shù)，故上述方案即為最優(yōu)運(yùn)輸方案。最小費(fèi)用為385（百元）。 3. 設(shè)表示甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則有原材料限制條件：又由產(chǎn)品乙不超過6件以及兩種產(chǎn)品比例條件有另外

16、兩個(gè)條件： 以及 目標(biāo)函數(shù)滿足 便可以得到線性規(guī)劃模型： （1）使用圖解法易得其最優(yōu)生產(chǎn)方案將有無窮多組（這是因?yàn)榈谝粋€(gè)約束條件所在直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)直線的斜率相等），其中的兩個(gè)方案為該直線段上的兩個(gè)端點(diǎn)： 目標(biāo)值均為 （百元）.（2）按照上面的第一個(gè)解，原材料將有10個(gè)單位的剩余量，而按照第二個(gè)解，原材料將有6個(gè)單位的剩余量.不論是哪一個(gè)解，原材料都全部充分利用.4. 本問題可以看成是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題，屬于供小于求問題.為此，虛設(shè)一個(gè)水廠，其供水量為30噸，相應(yīng)的運(yùn)價(jià)均定為0，便得到一個(gè)產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題如表所示： 小區(qū) 單價(jià)/元水廠 供應(yīng)量/ 10 6 4 170 7 5 6 2

17、00 00 0 30需求量/16090 150再利用表上作業(yè)法求解，即可獲得供水費(fèi)用最低的供水方案為： 小區(qū)將有30噸水的缺口.總費(fèi)用為 （元）.5. 使用雙標(biāo)號(hào)法可得知，本問題有兩條最短路線，分別是： 數(shù)學(xué)建模課程練習(xí)題二答案一、填空題1. 是比例常數(shù)； 2. ； 3. ；4. 增長率是常數(shù)還是人口的遞減函數(shù).5. 是比例常數(shù). 6. ；7. ，其中均為正常數(shù)； 8. 9.1200（萬件）； 10. 100.二、分析判斷題：1、撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對(duì)擁擠程度、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間等.2. 當(dāng)較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開式將小括

18、號(hào)部分簡化為從而有.若也很小，則可以利用將其進(jìn)一步化簡為 3、問題涉及到時(shí)間、地點(diǎn)和人員三大因素，故應(yīng)該考慮到的因素至少有以下幾個(gè)： （1）教師：是否連續(xù)上課，對(duì)時(shí)間的要求，對(duì)多媒體的要求和課程種類的限制等；（2）學(xué)生：是否連續(xù)上課，專業(yè)課課時(shí)與共同課是否沖突，選修人數(shù)等；（3）教室：教室的數(shù)量，教室的容納量，是否具備必要的多媒體等條件； 4. 設(shè)為時(shí)刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為其通解是而就是所求量.由題設(shè)可知故有 和 由此解得 可見在事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定.5、從問題角度說，應(yīng)該考慮低收入家庭的承受能力，必須進(jìn)行調(diào)查研究；從制定何種收費(fèi)模型角度看，需要研究模型的結(jié)構(gòu)，譬如分幾段收費(fèi)等；用水的平均值數(shù)據(jù)怎樣獲得，分段力度達(dá)到多大；既要考慮平民百姓，也不能不考慮高收入人群，怎樣兼顧等。三、應(yīng)用題：1. 先列出所有可能的截料方案： 方案尺寸 1 2 3 2.2米 0 1 2 1.5米 3 1 0料頭長 0.1 0.9 0.2由此假設(shè)，按照方案1、2、3分別需原料根，以表示總料頭