(完整版)正規(guī)形分析

1、1、正規(guī)形的一般原理 (Normal Form Method)考察一個(gè)非線性自治系統(tǒng)X f X對(duì)其進(jìn)行泰勒展開(kāi)我們可以得到：X AX X2(X) H.OTH.OT表示高階項(xiàng)。右邊第一項(xiàng)為線形項(xiàng)，也就是我們通常小干擾穩(wěn)定所選取的項(xiàng)，第二項(xiàng)為二階展開(kāi)項(xiàng)。其中：Xj& AjX XTHjX/2 H.O.T其中對(duì)上式做一個(gè)線形變換：-1X = U Y V = U使得對(duì)線形項(xiàng)實(shí)現(xiàn)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，得到:U-1)& U-1AUY Y JrY其中-1U AU Jr于是對(duì)于某一個(gè)狀態(tài)變量xi而言，有&jYjVjiY U H UY /2 HOTi 1jyjYTCiY H.OT其中CivjiUTH

2、iU /2i 1構(gòu)造一個(gè)非線性變換：Z = Y + h2(Z)具體而言就是yjZjZTh2jZ使得上述系統(tǒng)變成的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型形式為=JrZH為海森矩陣，具體對(duì)某一個(gè)狀態(tài)變量xi而言，有XiXk稱(chēng)為海森子矩陣。n n其中h2j為二階的變換矩陣?，F(xiàn)在來(lái)求h2j的表達(dá)形式，對(duì)式（x）進(jìn)行求導(dǎo)，于是可以得到:y & ZTh2jZjZjZTh2jZZTh2jZjZjZTJ：h2jZZTh2jJrZjZjZTJ：h2jh2jJrZ方面， 又有jYjYTCjYH.O.TT1TT1一Z Z h2 ZZ1Z h2ZjZjZTh2jZMCjMH.O.TTnZpZ h2 ZZnT. ciZ h2nZTT1_

3、T1Z h2 ZZ h2 ZjZjZTh2jZZMCjZMH.O.TZTh2nZZTh2nZjZjZTh2jZZTCjZT1TZTh21ZZTh21ZTZTh21ZTZTh21ZMCjZZTCjMMCjMH QTZTh2nZZTh2nZZTh2 ZZTh2nZjZjZTh2jZZTCjZ H.O.T比較上式低階部分，可以得到:J：h2jh2jJr jh2jCj于是可以解得:因此這里有條件：j k m, 一般情況下，這種條件是很容易滿足的。此外，推導(dǎo)過(guò)程中還默認(rèn)了一件事，就是認(rèn)為這個(gè)矩陣當(dāng)中是沒(méi)有重根的。也就是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是完全對(duì)角化的。這在一般系統(tǒng)當(dāng)中也是可以得到滿足的。一些特殊情況，即如果出現(xiàn)

4、重根的時(shí)候， 處理將會(huì)復(fù)雜一些，但通過(guò)一些處理仍然可以得到相應(yīng)的變換。這里沒(méi)有討論重根的情況， 在文獻(xiàn)1中有對(duì)重根的情況進(jìn)行討論，因情況罕見(jiàn)，這里不贅述。其中特征值是線性化矩陣A的特征值。這里可以看到，上述求解過(guò)程中，所有參數(shù)都 是可以求解出來(lái)的，甚至是解析求解的。下面來(lái)討論這種情況下原狀態(tài)變量的解析解。h2km由&= JrZ，可以解出ZjZjejt，通過(guò)非線性變換可以得到:jtyjZjoejtZjoe再由這就是正規(guī)形方法的基本思路以及求解過(guò)程。2、正規(guī)形方法在小干擾穩(wěn)定當(dāng)中的應(yīng)用事實(shí)上，在小干擾穩(wěn)定當(dāng)中應(yīng)用的最直接的好處是，可以發(fā)現(xiàn)更多的振蕩模式，且由于保留了泰勒展開(kāi)的2階項(xiàng)，使得其

5、結(jié)果與實(shí)際情況更為接近。因此，好處在于可以發(fā)現(xiàn)更多本質(zhì)的振蕩模式，以及可以更好的預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為。但是應(yīng)當(dāng)指出，更多的振蕩模式是在線性化的振蕩模式基礎(chǔ)上形成的，也就是說(shuō)穩(wěn)定與否仍然是線性項(xiàng)給出，而二階項(xiàng)僅僅是提供了更為豐富的振蕩模式而已?？紤]振蕩模式參與因子，一階線性化方法中，參與因子的定義是，當(dāng)?shù)趇個(gè)狀態(tài)變量初始值為1，其他狀態(tài)變量初始值為0的時(shí)候，第j個(gè)狀態(tài)變量響應(yīng)。參考文獻(xiàn)2，于是我們 可以得到線形參與因子表達(dá)式為：PkiUkivik現(xiàn)在在正規(guī)形方法中，實(shí)際上要求的就是Xj(t)UjiZj0e 5hkmZkoZek mti 1i 1 k 1 m 1的系數(shù)表達(dá)式，并去xo=ek即可。求解Z的

6、初始值。一種方法是，根據(jù)yjZjZTh2jZ通過(guò)數(shù)值計(jì)算反推得到，這種方法可以得到較準(zhǔn)確的初值，但是無(wú)法得到解析的表達(dá)。另一種方法是，將Z映射到y(tǒng),同樣構(gòu)造一個(gè)二階非線性映射。下面推導(dǎo)求解過(guò)程。已知：&jjyjVjiYTUTHiUY /2 HOTi 1jyjYTCiY H.OT孩=JrZ現(xiàn)假設(shè)：zjyjYTDjY于是有:Xj(t)UjiZjejth.tkmZk0Zm0ek m1k 1 m 1UjiZjoeijthkmZkOZmOek 1 m 1Ujiyi 1i iUjik 1 m 1mt0Zm0e*TDjY YTDY對(duì)上式取二階項(xiàng)并化簡(jiǎn)，于是可以得到:jDjCjJ：DjDjJr對(duì)上式元

7、素展開(kāi)，可以得到:帶入時(shí)域表達(dá)式得到:1%jZjjyjYTCjYnynT 1Y C YMYTCnYDjYYTDj1%nynT 1Y C YMYTCnYH.O.TYTDjYjyjYTCjYJrYT 1Y C YMYTCnYT 1Y CYDjY YTDjJrYM H.O.TYTCnYDkmCkmkDkmmDkmCkmh2kmk m j也即ZjyjYTh2jY見(jiàn)參考文獻(xiàn)3這樣一來(lái)，便可以通過(guò)初始值此時(shí)初始值x0=ek，于是，得到對(duì)應(yīng)VpkVqkh2jpqX0得到初始值Z0。特別的，計(jì)算非線性參與因子。考慮yjo=Vjk，于是可以得到Zj0Vjkp 1 q 1VjkV2 jkkXj(t)UjiViji

8、 1V2ijjUjii 1 p 1 qhpqVpjV2pjj1VqV2qjjeUjiVijV2ijji 1U2；qVpj1V2pjjVqjV2qjjep qt其中U2jpqUjihpqi 1這樣可以得到非線性參與因子PlkjUkjVjkV2 jkkp2kju2kpqVpkV2pkkVqkV2qkk顯然，參與因子與原來(lái)非線性參與因子發(fā)生了變化。 態(tài)變量與模式，模式與模式之間的變化參與相關(guān)度。變得更為豐富與復(fù)雜。他表征了狀關(guān)于海森矩陣形成的問(wèn)題在電力系統(tǒng)當(dāng)中應(yīng)用，實(shí)際還面臨一個(gè)問(wèn)題, 方程描述一般為：即海森矩陣的形成。注意到，電力系統(tǒng)的渙f X,Y0 g X,Y即是一組包含狀態(tài)變量X的微分方程以及

9、包含代數(shù)變量Y的代數(shù)方程，統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)微分方程（DAE）于非線性方程，我們一般的處理是:& f X,YfXXf YY0 gX,Y0gX -gYXYXffg1gXXYYXX1A X1）采用奇異攝動(dòng)理論消除代數(shù)變量。（自己的理解）所謂奇異攝動(dòng)理論， 就是問(wèn)什么情況下代數(shù)方程變成微分方程（或者反過(guò)來(lái)）對(duì)我們所研究的系統(tǒng)沒(méi)有大影響，從而使研究過(guò)程得到簡(jiǎn)化。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，我們?cè)谘芯客诫姍C(jī)的時(shí)候，把線路的微分方程全部都忽略了。這個(gè)結(jié)果我們也認(rèn)可，是因?yàn)槲覀冋J(rèn)為就算考慮了線路的電磁暫態(tài)，我們得到的關(guān)于功角穩(wěn)定的結(jié)論還是基本一致的，這樣我們就沒(méi)有必要增加方程的階數(shù)，是問(wèn)題復(fù)雜化?，F(xiàn)在我們遇到的問(wèn)題就是

10、我們不想要這個(gè)代數(shù)方程，那么我們要怎么處理呢？把上述的方程變換成：X f X,YY g X,Y其中01，選取適當(dāng)?shù)模谝欢ǚ秶鷥?nèi)其最終的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和原方程是十分接近的。這樣，就把原來(lái)的代數(shù)方程也變成了微分方程，系統(tǒng)就不存在代數(shù)方程，可以直接采用 解析方法得到海森矩陣。但是帶來(lái)的問(wèn)題就是，維數(shù)劇烈增加，大系統(tǒng)此時(shí)就不適宜了。2） 數(shù)值解（參看文獻(xiàn)4）在文獻(xiàn)中該方法表述很簡(jiǎn)單，具有很強(qiáng)的操作性。雖然得不到解析解，但是數(shù)值解的精 度可以做的很高，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用具有很大的價(jià)值。（可惜的是本人沒(méi)看懂，繼續(xù)努力?。?） 其他渠道的解析解方法（文獻(xiàn)xxx）實(shí)際上是針對(duì)具體的方程進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化和處理，使得方程可以

11、變得解析。缺點(diǎn)是需要對(duì)模型進(jìn)行高度簡(jiǎn)化以及處理，過(guò)程繁瑣，不具有普遍適應(yīng)性。（其實(shí)我自己也沒(méi)看多少，覺(jué)得是這樣的）對(duì)于線性方程，可以將上述的代數(shù)變量消去,并最終變?yōu)橹挥形⒎址匠痰姆匠探M。而對(duì)在只取一階線形的處理當(dāng)中是可以的。但是,要形成海森矩陣，是需要保留二階的，這樣在復(fù)雜的系統(tǒng)中是不可能將代數(shù)變量解析消除。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題目前看到有如下的處理方法3、正規(guī)形方法在大干擾穩(wěn)定中的應(yīng)用（重點(diǎn)）電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的一個(gè)核心問(wèn)題是，找到極限切除時(shí)間。 而相關(guān)的方法就是判斷切除時(shí)刻的狀態(tài)是否位于穩(wěn)定域內(nèi)， 當(dāng)切除時(shí)刻的狀態(tài)位于穩(wěn)定邊界的時(shí)候，就確定了所謂的極限切除時(shí)間。因此，暫態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題的研究實(shí)際上就是在找尋故障后系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，并且尋 求故障軌線與穩(wěn)定邊界交點(diǎn)。根據(jù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論，一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)（SEP）的穩(wěn)定邊界是由所有I型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（UEP）的穩(wěn)定流形構(gòu)成的。這就是說(shuō)，我們的任務(wù)是尋找