立體幾何垂直證明

1、立體幾何垂直證明方法技巧類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（ 1） 共面垂直 ： 掌握幾種模型等腰（等邊）三角形中的中線菱形（正方形）的對(duì)角線互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等證明直角。例：在正方體ABCDA1B1C1D1 中， O 為底面 ABCD 的中心，E 為 CC1 中點(diǎn) ,求證：(1) A1O OE(2) A1O 平面 BDE（ 2） 異面垂直 （利用線面垂直來(lái)證明）例 1 在正四面體 ABCD中，求證： AC BD變式1 如圖，在四棱錐PABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB3, AD2, PA2, PD22,PAB60證明：ADPB ；變式 2如圖

2、，在邊長(zhǎng)為2 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 AB 的中A '點(diǎn)，點(diǎn) F 是 BC 的中點(diǎn)，將 AED, DCF 分別沿 DE , DF 折起，使 A,C兩點(diǎn)重合于 A' .ED求證 : A'DEF ；BGF變式 3 如圖，在三棱錐PABC 中， PAB 是等邊三角形， PAC= PBC=90 o證明： AB PC類型二：直線與平面垂直證明方法 1 利用線面垂直的判斷定理例 ： 在正方體 ABCDA B C D 中， ,求證： AC平面 BDC111111變式 1：如圖：直三棱柱 ABC A11 1中，1，ACB=90 .E為1B CAC=BC=AA =2BB的中點(diǎn)

3、， D 點(diǎn)在 AB 上且 DE=3 .求證： CD平面 A11；ABB變式 2：如圖，在四面體ABCD 中， O、 E 分別是 BD 、 BC 的中點(diǎn)，CACBCDBD2, ABAD2.求證： AO平面 BCD ；變式 3 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD 中，AD BC ，ABC90°， PA平面 ABCD PA3，AD2，AB2 3，BC61 求證： BD平面 PACB2 利用面面垂直的性質(zhì)定理PADEC例 3：在三棱錐P-ABC 中， PA底面 ABC , 面PAC面 PBC ， 求證： BC面 PAC 。變式 1, 在四棱錐 PABCD ，底面 ABCD是正方形，側(cè)面

4、 PAB是等腰三角形，且 面 PAB底面 ABCD ,求證： BC面 PAB類型 3：面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線面垂直)例 :如圖，已知 AB平面 ACD ，DE平面 ACD， ACD 為等邊三角形，BEAADDE 2AB， F 為CD 的中點(diǎn) .CDF(1)求證：AF / 平面 BCE ；求證：平面 BCE平面 CDE ；(2)P例 2如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA底面 ABCD ，ABAD， AC CD， ABC 60°BC ，E，PA ABADCBE 是 PC 的中點(diǎn)（1）證明 CDAE ；（2）證明 PD平面 ABE ；變式 1 已知直四棱柱 ABCDA BCD

5、的底面是菱形， ABC 60 ，E、F 分別是棱 CC與 BB上的點(diǎn)，且 EC=BC =2FB=2（1）求證：平面AEF平面 AA CC；類型三：平面與平面垂直證明1. AB 是圓 O 的直徑， PA 垂直于圓 O 所在的平面，M 是圓周上任意一點(diǎn)，ANPM ，點(diǎn) N 為垂足，求證：平面PAM平面 PBM2如圖，在空間四邊形ABCD 中，AB=BC ，CD=DA ，E，F(xiàn)，分別為，和對(duì)角線的中點(diǎn)。求證：平面平面.3. 在直平行六面體AC1 中，四邊形 ABCD是菱形， DAB60°， AC BDO，ABAA1.(1) 求證： C1O平面 AB1D1；(2) 求證：平面 AB1D1平面 ACC1A1.4. 如下圖，正方形 ADEF與梯形 A