總結拉格朗日中值定理的應用

1、總結拉格朗日中值定理的應用總結拉格朗日中值定理的應用以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個 微分學的理論基礎，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的 定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)。 中值定理的主要作用在 于理論分析和證明，例如為利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性、取極值、凹凸性、拐點等 項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊?， 微分學中值定理是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質推斷 函數(shù)的整體性質的工具。而拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個承上啟下 的一個定理，我們需要對其能夠熟練的應用，這對高

2、等數(shù)學的學習有著極大的意 義！拉格朗日中值定理的應用主要有以下幾個方面： 利用拉格朗日中值定理證明 （不）等式、利用拉格朗日中值定理求極限、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質、估值問 題、證明級數(shù)收斂。首先我想介紹幾種關于如何構造輔助函數(shù)的方法。湊導數(shù)法。：這種方法主要是把要證明的結論變形為羅爾定理的結論形式，湊出適當?shù)暮瘮?shù)做為輔助函數(shù)，即將要證的結論中的換成X,變形后觀察法 湊成F'（X）,由此求出輔助函數(shù)F（x） .如例1.例I.設函數(shù)/Q）在吐上連續(xù)，在內可 導，證明：存在使得2打/-/卜村一心（ 分析：結論變形為*即可湊成F'a）l7 = o.將換成/ ,結論變形為況/-（叢-&q

3、uot;）/（工）=0, 即任?/9）-/（到”W -，）/卜 0 從而可設輔助函數(shù)為"工人，/1/1即 有戶口）=尸（6）.本題得征證明：令/工正/）-/（助-0一，）/（工），則f G）在明村上連續(xù)，在內可導*且FQ）uFl）. 由羅爾定理知,至少存在一點使得F（G = 2夕/一/卜小-/）/'=0常數(shù)值法：在構造函數(shù)時；若表達式關于端點處的函數(shù)值具有對稱性，通常用常數(shù)k值法來求構造輔助函數(shù)，這種方法一般選取所證等式中含§的部分作為k,即使常數(shù)部分分離出來并令其為 k,恒等變形使等式一端為a與f（a）構 成的代數(shù)式，另一端為b與. f（b）構成的代數(shù)式，將所證式

4、中的端點值（a或b） 改為變量x移項即為輔助函數(shù)f（x）,再用中值定理或待定系數(shù)法等方法確定 k, 一般來說，當問題涉及高階導數(shù)時，往往考慮多次運用中值定理，更多時要考 慮用泰勒公式.如例3.例3.設/U）在"6上連續(xù)，在（也占）內可導，。（ 試證存在一點£ 4（ . 6）,使等式八6）寸（。）=In紅爐（C成立.分析：將結論變形為£掾暗始（力,左邊為常數(shù),因此可令K=4立Q則有/ (6)-Kin*才(a) Ino-Ina-Kina,令6=力，可得輔助函數(shù)FG）引#）-Klnx.證法1：設 絲寸1）Inx ,則可驗證F Ino -InaG）在36上滿足羅爾定理的條

5、件,由羅爾定理得證.證法2：將所求證等式的右端恒等變形為?。?。）="）Inblna 十函數(shù)則函數(shù)人4）.雙#）在閉區(qū)間a, 6上滿足柯西中值定理的全部條件,所 以存在使得隼耳經(jīng)"半，即/U）?（。）巧氣，）舊之.倒推法：這種方法證明方法是欲證的結論出發(fā)，借助于邏輯關系導出已 知的條件和結論.如例4例4. 設在S,b0<0<6）上連續(xù)，在（跖6）內可導且近口）=6./16 ）=«»證明:在（u,b）內至少存在一點& 使f（f）= 處） *分析：所要證的結論可變形為夢（幻/力=0 .即 證產(chǎn)0 也即療（#）X.作輔助函數(shù) F（工）=/與）

6、在區(qū)間卬包上使用羅爾定理證明：令網(wǎng)工）=4（*），由題設刻產(chǎn)G）在5勾上 連續(xù)，在（。,6）內可導，又 F（a）=。yabbjlb ）=F（6 ）,由羅爾定理,存在£ £ （凡6）,使尸 «f）=0.即,（，）=一乘積因子法：對于某些要證明的結論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)之間關 系的證明，直接構造函數(shù)往往比較困難.將所證結論的兩端都乘以或除以一個 恒正或恒負的函數(shù)，證明的結論往往不受影響，產(chǎn)（A為常數(shù)）是常用的乘積兇 子.如例5.例5. 若/（工）在口，6上連續(xù),在（.6）內可導，目寸（6 ）=0.證明：V A e 3 «）=a/u）是個恒治正的因子，所

7、證明等式或不等式的兩端都可以或除以這樣的一個因子，等式或 不等式仍然成立，于是想到£山是個理想的乘積因子證明：引入輔助函數(shù)廣（4由題設知產(chǎn)（a）=F（6）=0/（“）在匕,用上連續(xù).在（a,b）內可導. 滿足羅爾定理條件故存在§右（。/）.使尸（Q=0,BP 2-”<5)人£-5£)=0,所以成立.介值法：證明中，通過引入輔助函數(shù)g（x）=f（x）-x將原問題轉化為（a,b）可導函數(shù)g（x）的最大值或最小值至少有一個在必在內點達到，從而可通過g（x）在（a,b）可導條件，直接運用費馬定理，完成證明。如例 6。例6.證明：若人案）在隆，打上可導,則/

8、（*）可取 到/（。）與/Yb）之間的一切值.證明：V n e （ a ）/（b ）（或 7/ e （r（b ） t 廣（a） ） ,令 g（彳由 /Th ）的性質,屋 床 ）在ab上可導，且（常）-刀，用 切的性質，有gYGgYb ） V"不妨設g'（a）>O,即lim鼠#）一0"）>0 .由極限的 上*m-a性所知三方1>0.使得當x e（ a）時，g（.c>jHD g（0）不是有界閉區(qū)間*b上的連續(xù)函數(shù)艮力） 的最大值. 同理.由s<b）<O知.三岳>O ,使得當re U（ 6 ）時，有S（力）g（。,即g（b ）也不

9、是唐（R ）在3 b上的最大值,但必在1-打上達到其最大值.故 必存在%使有 g（o）三g（"）.又含（文）在到處可導.由Fermat定理法"（%=0 .即/' （不>）=力 由 1? w （廣（a） /（ 6 ）（或 tj e （尸（b ） /（a） 的任意性，命即得證.一拉格朗日中值定理證明（不）等式 在不等式的證明中，關鍵是選取適當?shù)妮o助函數(shù)f （x）和區(qū)間（a, b）, 通過己的范圍，根據(jù)導函數(shù)確定f ' （O和分式的范圍，得證。如例題7。 例7.V In 二 U V v < 1XV V1證明：由于為三=口玨而發(fā).所以要證原不等式可變形為

10、4< 3J 2 < X 取輔助函數(shù) /二）二X '丁Injc 有' 于"工）=.由-f 0 y W,故!JCHf'g =4 v > 所以，L v f'9 = ± =£“工W一和L' L L 徨 H例8:bn試證不等式上亡其中n為日然數(shù)。（n+lf Jnk ir1證明:令（Uf'（k>l）,對H、）在m"l|上應用拉氏中值定理*則在M J J In+1）內存在導使血+1卜fSE©即k1 k'-k-皆-,因為k>1. I IIInk*,所以有-5一二考慮到函數(shù)工k

11、在A>上是單調遞*Ink gx/1 a1_工 a »+1 41 H *H . 0« ft+1 , fl的.又因105+1,故有上惇式上.所以上一之與（n+1F 相 （n+1f Ink n1例9:設 ova <p vJl,求證： 2晝 10tVtan0 - tana V B -， ccnicos"p證明：在區(qū)間口 ,p 上對函數(shù)使用中值定理，可知存 在& £ （a=3使得tail R-tantx= < 口 - a）Ctanx）'二 :*由于在<0,工卜）上£心是嚴格遞減的函數(shù)，從而rh oca <cp

12、 v_I1一可得eos'G ><'Os2 ><,（is'3 >O所以足tana V 巨 普一 o CftSOCOS'p二利用拉格朗日中值定理求極限求極限的方法有很多，常見的有利用洛必達法則，利用重要極限等，而對于一些極限也可用拉格朗日中值定理或者只能用這種方法來求解，如例10,11.例10：求翩岫機血kb-Inarm網(wǎng)分析：因為要求的極限為B.0型，所以我們可先用洛必達法則求 解,但是通過計算,發(fā)現(xiàn)利用這個方法很哥求解，仔細觀察曲日后不睢 看出極限中的Ina n: tan取 U - Ina remix實際上為困數(shù)f電=lnar- c

13、tant在區(qū)間風x+1止的兩個端點的函數(shù)值的差.所以我們可先用拉 格朗日中值定理將極限的形式相匕然后再求解解工段函數(shù)f e = liiarctant.在R. 乂+l匕對f心運用拉格斯口 中值定理得Inarctan 6c+D - Inarctanx-, 基中4二片 x+l.arccang1 1+F用為XV小x+l* 所以。£ 2 A 9 w AiF % ) Q七1 + x2l +e 1+ (x+1) 3又因為時旁也一+x , 耐細2受=啊?-；尸 *工 T 1 1 + x2 11 + <x+ I ) 1所以由夾逼定理可得也產(chǎn)= 1+E故原極限，七金i =Iim1 1 m 僵. 一

14、.2I +工 arctan 'U +年 tF可見+運用拉格朗口中值定理之后，問題很容納就可以得到蟀決下面再來看個例廣 例11:求極限呵瓷rG，n>。分析E 所要求的極限為8 -8 型 類似上 碼,我f門可先將分母 通分后.然后用洛必達法則求解通過計算不限發(fā)現(xiàn)要兩次用到洛必達 法則，而且計算號:非常大.現(xiàn)在我們用另一種方法求解，所求極限為: 無函數(shù)f k 少 =,? ”在區(qū)n匕的兩個端點的函數(shù)值的空.閃 此可利用拉洛助U中值定理光枸懾限M化解，令函數(shù)F / y = y v >在El, 口止對空里y運用拉格朗口 1 . N3r中值定理得IH5=tm-> 】二/其中 專三1

15、- X I - X*Xt)J毛所 以.原極硬 > = &a % I 一左紀F1- X 1 - X"( 1 - X士產(chǎn) mn一G可以看到，雖燃這種方法中也用到洛必達法則，但先用拉格朗口 中值定理將極限轉化為較簡單的形式可使計算量小許我因此.對于類 似上面的兩種類型的未定式的極限極限的表達式中出現(xiàn)拉格朗日 中值定理中的組立或b - f © 的形式的時候.先用拉格朗口 中值定理將極限轉化然后再求解,?？梢赃_到陽其不意的效果,這就 要求我們平時做同時要善于觀察題目的特征、總結解題方法同時，例 2也告訴我們對于多元函數(shù)我們也可以對其中的一個變量運用拉格朗n 中值定理.此

16、時只需將其它的變星看作常數(shù)即可口三研究函數(shù)在區(qū)間上的性質因為拉氏中值定理溝通了函數(shù)與其導數(shù)的聯(lián)系， 很多時候。我們可以借助其 導數(shù)，研究導數(shù)的性質從而了解函數(shù)在整個定義域區(qū)間上的整體認識。比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定 理的結論。通過對函數(shù)局部性質的研究把握整體性質，這是數(shù)學研究中一種重要 的方法。如例12:肺腦脆岫姍搠前腳（耐岫沖/讖證明:設當、時，|門中|應、I,對于國金皿卜在以期工為端點 的區(qū)間上由拉氏中值定理.有坐必Lf悠喈在“土之間，那么有|煙|Xr Xi對于W £>0.取除則當.且劃I邙t就有|口力卜£父）| *|他|肉在&&之間）由一致連續(xù)定義可知然卦花岫訥致連續(xù)四估值問題證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便。特別是二階及二階以上的導函數(shù)估值時。但對于某些積分估值，可以采用拉氏中值定理來證明。例6設r兇在區(qū)用上連續(xù)，且tuMmu.試證：|口口|也宴ittn |Wu|擊石事證明：若fh）三仇不等式顯然成立,若儆不