線面垂直與面面垂直典型例題

1、線面垂直與面面垂直基礎(chǔ)要點(diǎn)線面垂直線線垂直面面垂直1、若直線 a 與平面,所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（B）A 、/ /B、不一定平行于C、不平行于D 、以上結(jié)論都不正確2、在斜三棱柱ABCA1 B1C1 ,BAC90 ,又 BC1AC ,過(guò) C1 作 C1H 底面ABC，垂足為H，則H一定在（B）A 、直線 AC 上B 、直線 AB 上C、直線 BC 上D、 ABC 的內(nèi)部3、如圖示，平面平面， A, B, AB 與兩平面,所成的角分別為和，46過(guò) A、B 分別作兩平面交線的垂線，垂足為A,B ，則 AB:AB（ A）A 、2:1B 、3:1C、 3:2D、 4:3A4、如圖示，直三棱

2、柱ABB1DCC 1 中，ABB190 ,AB 4,BC1BAB1BC 2, CC1 1 DC 上有一動(dòng)點(diǎn) P，則 APC1 周長(zhǎng)的最小值是DC5. 已知長(zhǎng)方體 ABCDA1B1 C1 D1 中， A1 AAB2 ,ABD 1C1若棱 AB上存在點(diǎn) P，使得 D1 PPC , 則棱 AD長(zhǎng)A1B 1的取值范圍是。DC題型一：直線、平面垂直的應(yīng)用1.（ 2014，江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC 中， D ，E，F(xiàn) 分別為AB棱PC， AC ， AB 的中點(diǎn) . 已知 PAAC,PA6，BC8，DF5 .求證： (1)PA 平面 DEF ； (2) 平面 BDE平面 ABC .證明： (1)因?yàn)?/p>

3、 D ， E 分別為棱 PC， AC 的中點(diǎn)，所以 DE PA.又因?yàn)?PA ? 平面 DEF， DE平面 DEF，所以直線 PA平面 DEF.(2) 因?yàn)?D ，E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC ，AB 的中點(diǎn)， PA 6，BC 8，所以 DE PA， DE 1 PA3， EF 1 BC 4.22222又因DF5，故 DF DE EF ，.又 PA AC ，DE PA，所以 DE AC.因?yàn)?ACEF E，AC平面 ABC ，EF平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC.又 DE 平面 BDE ，所以平面 BDE 平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科 )如圖，在三棱柱 ABC A1 B1

4、C1 中，側(cè)棱垂直于底面， ABBC ， AA1AC2 ，E 、F 分別為 A1C1、 BC 的中點(diǎn) .（1）求證：平面ABE平面 B1 BCC1 ；（ 2）求證： C1 F / 平面 ABE .證明：（ 1）在三棱柱ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC,BB1AB,ABBC ,AB平面 B1BCC1 ,AB平面 ABE ,平面 ABE平面 B1 BCC1 .(2) 取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG， FGE、 F 分別為 A1C1、 BC的中點(diǎn) ,FGAC, FG1 AC ,2ACAC ， ACAC ， FGEC ， FGEC ,則四邊形 FGEC 1 為平行四邊形，111111C1

5、FEG ,EG平面 ABE, C1F平面 ABE ,C1F平面 ABE .3 如圖， P 是ABC 所在平面外的一點(diǎn)，且PA平面 ABC ，平面PAC平面PBC 求證 BCAC 分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面 PAC 內(nèi)作 ADPC ，交 PC 于 D 因?yàn)槠矫?PAC平面 PBC 于 PC ，AD平面 PAC ，且 ADPC ，所以 AD平面 PBC 又因?yàn)?BC平面 PBC ，于是有 ADBC 另外 PA平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 PABC 由及ADP

6、AA ，可知 BC平面 PAC 因?yàn)?AC平面 PAC ，所以 BCAC 說(shuō)明：在空間圖形中， 高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直4.過(guò)點(diǎn) S引三條不共面的直線SA、 SB、 SC，如圖，BSC90，ASCASB60 ，若截取 SASBSCa(1)求證：平面ABC平面 BSC；.(2)求 S 到平面 ABC 的距離分析：要證明平面 ABC 平面 BSC，根據(jù)面面垂直的判定定理， 須在平面 ABC 或平面 BSC內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線(1)證明： SASBSCa ，又ASCASB60 ， ASB和 ASC 都是等邊三角形， AB AC

7、a ，取 BC 的中點(diǎn) H ，連結(jié) AH ， AHBC 在 Rt BSC 中， BSCSa ， SHBC，BC2a ，AH2AC 2CH 2a2( 2 a)2a 2，SH2a2222在 SHA中， AH 2a2， SH2a 2， SA2a2 ，22 SA2SH 2HA2， AHSH ， AH平面 SBC AH平面ABC ，平面ABC平面 BSC 或： SAACAB ，頂點(diǎn) A在平面BSC 內(nèi)的射影 H 為 BSC的外心，又 BSC為 Rt ， H 在斜邊 BC 上，又BSC為等腰直角三角形，H為BC的中點(diǎn)， AH平面 BSC AH平面 ABC ，平面 ABC平面 BSC(2)解：由前所證：SH

8、 AH ，SHBC ， SH 平面 ABC ， SH 的長(zhǎng)即為點(diǎn) S 到平面 ABC 的距離， SHBC2 a ，22點(diǎn) S 到平面 ABC 的距離為2 a 25、如圖示， ABCD 為長(zhǎng)方形， SA 垂直于 ABCD 所在平面，過(guò)A 且垂直于 SC 的平面分別交、G，求證： AE SB,AGSDSSBSC SD于 EF6. 在四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面 PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，F(xiàn)已知底面是面積為23 的菱形，ADC 60 ，MGDE是 PB中點(diǎn)。(1) 求證： PACDPCAMBCB.DA(2) 求證：平面 PAB 平面 CDM7. 在多面體 ABCDE中， AB=BC=A

9、C=AE=1， CD=2， AE面 ABC， AE/CD。(1) 求證： AE/ 平面 BCD；(2) 求證：平面 BED 平面 BCDE題型二、空間角的問(wèn)題1.如圖示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，ADADBCAB 1, BB13 1，E 為 BB1上使 B1E 1FED1G的點(diǎn)，平面AEC1 交 DD1 于 F，交 A1D1 的延A1BC長(zhǎng)線于 G，求：B1C1（ 1）異面直線 AD 與 C1G 所成的角的大?。?2）二面角 A C1G A1 的正弦值2. 如圖，點(diǎn) A 在銳二面角MN的棱 MN 上，在面內(nèi)引射線AP ，使 AP 與 MN所成的角PAM 為 45 ，與面所成的

10、角大小為30 ，求二面角MN的大小分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解解：在射線 AP上取一點(diǎn) B，作 BH于H，連結(jié) AH ，則BAH 為射線 AP 與平面所成的角，BAH30 再作 BQMN ，交 MN 于Q，連結(jié) HQ ，則 HQ 為 BQ 在平面內(nèi)的射影由三垂線定理的逆定理，HQMN ，BQH 為二面角MN的平面角設(shè) BQa ， 在 Rt BAQ 中 ，BQA90 ,BAM45 ,AB2a , 在 Rt .BHQ 中，2BH2 a2BHQ 90 , BQa, BH2a, sin BQHBQa,22BQH 是

11、銳角，BQH45 , 即二面角MN等于45說(shuō)明：本題綜合性較強(qiáng)， 在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱(chēng)的角， 斜線與平面所稱(chēng)的角，二面角等空間角， 這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角， 而且還要彼此聯(lián)系相互依存， 要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線3.正方體 ABCDA1 B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 1，P 是 AD 的中點(diǎn)求二面角 ABD1P 的大小分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角， 按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)， 在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線， 方法雖簡(jiǎn)便， 但因與其他條件沒(méi)有聯(lián)系， 要求這個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到 AB 垂直

12、于平面AD1 ，BD1 在平面 AD1 上的射影就是AD1 再過(guò) P 作 AD1 的垂線 PF ，則 PF面 ABD 1 ，過(guò) F 作 D1 B 的垂線 FE ，PEF 即為所求二面角的平面角了解：過(guò)P 作 BD1 及 AD1 的垂線，垂足分別是E、F，連結(jié) EF AB面 AD1， PF面 AD1， ABPF ，又 PFAD1 ， PF面 ABD1又 PEBD1 ， EFBD1 ，PEF 為所求二面角的平面角 RtPFAPAD1D PFA ，DD1AD1而 AP12， PF2， DD1 1， AD124在 PBD1 中， PD1PB5 PEBD1 ， BE1 BD3222.在 Rt PEB 中

13、， PEPB 2BE 22，在 Rt PEF 中， sin PEFPF1，2PE2 PEF 30 4.PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面， M、 、CD 和 PC 的中點(diǎn)，E N分別是 AB（）求證： MN 平面 PADP（）若二面角 PDC A 為，求證 :平面 MND 平面 PDC4N5.已知正方體中 ABCDA1B1C1D1 ，E 為棱 CC1 上的動(dòng)點(diǎn)，DEC（1）求證： A1E BD(2)當(dāng) E 恰為棱 CC1 的中點(diǎn)時(shí)， 求證：平面 A1BD 平面 EBD（3）在棱 CC1 上是否存在一個(gè)點(diǎn)AMBE，可以使二面角 A1BD E 的大小為 45？如果存在，試確定 E 在棱 CC1 上的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題型三、探索性、開(kāi)放型問(wèn)