考研數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一章行列式二元線性a11x a12 y b1Da11a12， D1b1a12， D 2a11b1D1D2a21xa22 yb2a21a22b2a22a21b2x， y方程組：DD排列的逆nt 為奇數(shù)奇排列， t 為偶數(shù)偶排tti（ ti為排列 p1 p2pn 中大于 pi且排于 pi 前的元素個(gè)數(shù)）序數(shù)：列， t0 標(biāo)準(zhǔn)排列。t1a11a12a1nn 階行列Ddet(aij )a21a22a2n=(1)t a1 p a2 panpt 為列標(biāo)排列的逆序數(shù)式：12nan1an 2ann定理 1：排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性推論：奇（偶）排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇（偶）數(shù)定理 2：n

2、 階行列式可定義為D(1)t ap1a p2apn =(1)t a1 pa2 p2anp12n1n行列式的性質(zhì)：1201D =DT ， D T 為 D 轉(zhuǎn)置行列式 (沿副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，行列式同樣不變)2互換行列式的兩行 (列 )，行列式變號(hào)推論：兩行 (列 )完全相同的行列式等于零記作： rir j（ cic j ）DD 記作： rirj （ cicj ）DD0 3行列式乘以 k 等于某行 (列 )所有元素都乘以k 推論：某一行 (列 )所有元素公因子可提到行列式的外面記作： kDrik （ kDck ）記作： kDrk（ kDck ）iii4兩行 (列 )元素成比例的行列式為零記作：r jri

3、k （ cjcik ）D0a11a12(a1ia1i )a1na11a12a1ia1na11a12a1ia1na21a22(a2ia2i )a2nDa21a22a2ia2na21a22a2 ia2n5 Dan1an2(aniani )annan1an 2aniannan1an 2aniann上式為列變換，行變換同樣成立6把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行 )對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變記作： cicikcj ( ririkr j )， D 不變注：任何 n 階行列式總能利用行運(yùn)算ri +kr j 化為上 (下 )三角行列式對(duì)角行列式上 D（下 D T）三角形行列式00

4、1a1102n( n1)a21a22n ，( 1)2Da11a22ann1 21 2nnn0an1an 2ann大學(xué)數(shù)學(xué)a11a1ka11a1kaD1det(aij )ak1akk設(shè)ak1akk若 2n 階行列式 D2n若對(duì) Dc1kb11b1kb11，c11b1nD2det(bij )cck1ckk bk1bkkbn1bnn則有 D =D1D2有 D 2n=(ad-bc)n余子式：n 階行列式中把 aij所在的第 i 行和第 j 列去掉后，余下 n-1 階行列式代數(shù)余子式：引理：n 階行列式 D 中，若第 i 行所有元素除 aij 外都為零，則有 Daij Aij行列式等于它的任一行(列 )

5、的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘機(jī)之和定理 3：推論：行列式某一行(列 )的元素與另一行 ( 列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘機(jī)之和等于零(代數(shù)余子nD,當(dāng)ij ,nD ,當(dāng)ij ,1, 當(dāng) iD ijD式性質(zhì) )aki Akj0,當(dāng)i或aik Ajkij0,當(dāng)ij ;其中 ij當(dāng) ik 1j ;k 10,1111范德蒙德x1x2x3xnDn x12x22x32xn2( xix j ) 證明用數(shù)學(xué)歸納法行列式：n i j1bab，c dd2 nAij( 1)i j M ijj ,j.x1n 1x2n 1x3n 1xnn 1a11x1a12 x2a1n xnb1,a11a1na21x1a22 x2a2

6、n xnb2 , ，若 D設(shè)方程組0 ，則方程組有惟一解：克拉默法an1x1an2 x2ann xnbnan1ann則：a11a1, j 1 b1 a1, j 1a1nD1 , x2D2Dn ，其中 D jx1, , xn( j1,2, n) DDDan1an , j 1 bn an, j 1ann定理 4：若上線性方程組的系數(shù)行列式D 0，則方程組一定有惟一解；若無(wú)解或有兩個(gè)不同解，則D0 定理 5：若齊次線性方程組(bn= 0)的系數(shù)行列式 D0 ，則齊次線性方程組無(wú)非零解；若有非零解，則D0 第二章矩陣及其運(yùn)算n 階單位矩陣 (單位陣 )：對(duì)角矩陣 (對(duì)角陣 )：純量陣：100100 0

7、00100000E2E0010000nEA AEA 另可記作 diag( 1 , 2 , n ) (E) AA，A( E)A 矩陣與矩若 (aij) 是一個(gè) ms 矩陣， B(bij ) 是一個(gè) sn 矩陣，且 CAB ，則 C (cij) 是一個(gè) mn 矩陣，陣相乘：大學(xué)數(shù)學(xué)且 cijai1b1 jai 2b2 jaisbsj(i1,2, m ; j1,2, , n) 若 ABBA ，稱 A 與 B 是可交換的矩陣轉(zhuǎn)置：若 (aij ) ，則 T(a ji )(AB) TA TBT ，( AB )TBTAT若 AAT，A 為對(duì)稱陣方陣的行列式：n 階方陣 A 元素構(gòu)成的行列式，記A 或 de

8、t A 方陣行列式的運(yùn)算規(guī)律：A11A21An1Aij為行列式 A 中對(duì)應(yīng)元素的1 ATA ；伴隨矩陣：A*A12A22An2代數(shù)余子式2An A ；A1nA2 nAnnAA *A*A AE3ABAB，AA11 逆矩陣：若 ABBAE ，則 A 可逆，且稱 B 為 A 的逆矩陣，記 B = A -1 ， A 的逆陣是唯一的定理 1：若矩陣 A 可逆，則 A0 定理 2：若 A0 ，則矩陣 A 可逆，且 A 11 A*A奇異矩陣：當(dāng) A0 時(shí)， A 稱為奇異矩陣矩陣 A 可逆的充要條件：A0 ，即矩陣 A 是非奇異矩陣。運(yùn)算規(guī)律：1(A 1) 1A ； (A )111； (AB) 1B 1A1

9、；(AT) 1(A 1)T 2A34矩陣 A 的 m 次多項(xiàng)式：(A ) a0Ea1Aa1A 2am A m( A ) f (A )f (A )(A ) ，多項(xiàng)式可相乘或分解因式1若A1 ，則 A kkP1， 2diag(1 ,2 ,n ) （對(duì)角陣），則 kdiag( 1k ,2k , , kn ) ,P PP(A) P()P 1(A)diag(1 ),(2 ), (n ) 加減相乘與矩陣相同。分塊對(duì)角矩陣： （其中 A 以及 A i 均為方陣）A 11A 1r分塊矩陣若 A，A 1A 2A s1A sr的運(yùn)算規(guī)A律：TT0A 11A1r則 A TA Ts1A srT性質(zhì)： AA1 A2TA

10、(a1 , a2 ,1TA m n2，a1 j行向量：列向量：a2 jTa jmT(ai1 , ai 2 , , ain )amji0A 110，若 A0，則A 1A 21A s0A s1A s ，且 A i0 (i1,2, , s) ，則 A0 T, an )11T22mA m n若ATA0 ，T則 A0 mmAn( 1a1 , 2 a2 , , nan )第三章矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換：初等行 (列 ) 變換： 1 rirj ( cic j )； 2 rk ( cik )（ k0 ）；3 ri kr j ( ci kcj )i矩陣間等價(jià)：rcB ）行等價(jià)： A B ；列等價(jià)

11、：A B ；等價(jià)： A B （矩陣 A 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣大學(xué)數(shù)學(xué)行階梯型矩陣：階梯線下為零， 一行一臺(tái)階， 豎線后非零元。行最簡(jiǎn)形矩陣： 豎線后非零元為1，同列其它元為 0Er0或 FE r矩陣 Am n 經(jīng)初等變換總能化為標(biāo)準(zhǔn)型 F 標(biāo)準(zhǔn)型：F00m n等價(jià)類(lèi)： 所有等價(jià)矩陣組成的集合，標(biāo)準(zhǔn)型為其中形狀最簡(jiǎn)單矩陣。單位矩陣 E 經(jīng)一次初等變換所得矩陣E (f)（ f 為變換規(guī)則）：初等矩陣：1：r j(cicj)；2：k(ci k（)k 0）；3：kr j(kcic j)E (i , j )riE (i (k) riE (ij ( k)ri定理 1： 矩陣方陣定理 2：推論方陣A 初

12、等行變換，初等矩陣左乘E(f)A ；初等列變換，初等矩陣右乘AE (f)A 可逆的充要條件：存在有限個(gè)初等矩陣E1(f)。 E 2(f) ， ， E l(f)，使 A=E1(f)E2( f)El (f)1：方陣 A 可逆A r E 推論 2：A B存在可逆矩陣P 與 Q，使 PAQ=B r· -1r-1-1brA 可逆，則(A，E)(E，A ) (A，B)(E，AB )， Ax b ， x=A(A， b) (E ，x)···重要性質(zhì)：1AcE1 或YT(CA 1 )T(AT) 1CTrY CACCA( AT,C T )(E,(AT ) 1CT )矩陣的秩

13、：定義：矩陣秩的性質(zhì)：定理 4：定理 5：定理 6：定理 7：定理 8：定理 9：標(biāo)準(zhǔn)型 F 中非零行的行數(shù)r，記 R(A )且 r+1 階子矩陣 A的取 A 中 k 行與 k 列交叉處的 k2 個(gè)元素且式全等于零， r 階非零子式稱 A 的最高階非零子式。k 階子式：不改變對(duì)應(yīng)位置組成的k 階行列式。零矩陣的秩為 0；滿秩矩陣（可逆矩陣） ，降秩矩陣（不可逆即奇異矩陣）。 0R(A ×T)=R(A)； 若 A B ，則 R(A)= R(B )； 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ )=R(A)；m n) min m，n ； R(A max R(A )， R( B) R(A ， B)R

14、(A )+R(B)，特例，當(dāng) B =b 為列向量時(shí)，有R(A )R(A， b)R(A)+1； R(A+B)R(A )+R( B)； R(AB )min R( A)， R(B ) ；若 Am×nn×lB=0，則 R(A )+R(B )nn 元線性方程組AxbR(A) R( A, b) ；線性方程組有解， 稱它相容； 無(wú)解，就稱（ i）無(wú)解的充分必要條件是（ ii ）有惟一解的充分必要條件是R(A)R( A,b) n ；它不相容（ iii ）有無(wú)限多解的充分必要條件是R( A) R( A, b)n 線性方程組 Axb 有解的充要條件是R( A)R( A,b) n 元齊次線性方程

15、組Ax0 有非零解的充要條件是 R( A )n 矩陣方程 AXB 有解的充要條件是 R(A )R(A,B)設(shè) AB C ，則 R(C)min R( A ), R( B) 矩陣方程 Am n X n lO 只有零解的充要條件是R(A )n 第四章向量組的線性相關(guān)性注：列向量用黑體小寫(xiě)字母a、 b 、aT 、bT 、 等表示，行向量則用T 、T 等表示，若無(wú)指明均當(dāng)列向量向量 b 能由向量組 A 線性表示 ： b=) 或可記為 b Ax (x 為一列向量 )1a1+2a2+mam( 為實(shí)數(shù)i定義：n 維向量 (組 )：向量 (組中每個(gè)向量 )由 n 個(gè)數(shù)組成。向量組等價(jià)：兩向量組能相互線性表示向量

16、組 A 線性相關(guān) ： k1122m mi0)，反之線性無(wú)關(guān)。a+ka + +k a =0（ k 不全為向量組的秩：從向量組A 中可選出 r 個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，且任意r +1 向量都線性相關(guān)，r 為秩，記 RA性質(zhì)：矩陣 A 與 B 行等價(jià)，則 A 的行向量組與B 的行向量組等價(jià)；列等價(jià)，則列向量組等價(jià)定理 1：向量 b 能由向量組 A ： a1， a2， ， am 線性表示的充要條件是R(A )=R(A， b)定理 2：向量組 B： b1， b2， ， bl 能由向量組 A ： a1，a2， ， am 線性表示的充要條件是R(A)=R(A， B )推論：向量組 A： a1， a2， ， am 與

17、向量組 B ： b1， b2， ， bl 等價(jià)的充要條件是R(A )=R(B)=R(A ，B )定理 3：若向量組 B ： b1， b2， ， bl 能由向量組 A ：a1， a2， ， am 線性表示，則 R(B )R(A )逆陣推廣：n 維單位坐標(biāo)向量組 E：e12l12m線性表示的充要條件是R(A)=n，e ， ， e 能由 n 維向量組A ：a ，a ， ， a定理 4：向量組 A： a1， a2， ， am 線性相關(guān)的充要條件是R(A)<m；線性無(wú)關(guān)充要條件是R(A )=m定理 5：設(shè)向量組 A ： a1， a2， ， am 與向量組 B： a1， ， am， am+1，若 A

18、 線性相關(guān)，則B 線性相關(guān)；反之，若 B 線性無(wú)關(guān)，則A 線性無(wú)關(guān)。大學(xué)數(shù)學(xué)定理 6：推論：定理 7：解的結(jié)構(gòu)：向量空間：變換公式：內(nèi)積性質(zhì)：向量長(zhǎng)度：向量夾角：定理 1：定義：施密特正交化(基規(guī)范正交化 )：正交矩陣：正交陣：正交變換：方陣特征定義：特征性質(zhì)：定理 2：定義：定理 3：定義：定理 4：（ n+m）個(gè) n 維向量組成的向量組在m>0 時(shí)一定線性相關(guān)。設(shè)向量組 A ： a1， a2， ， am 線性無(wú)關(guān)，而向量組B： a1， ， am，b 線性相關(guān)，則向量b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式是唯一的。矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩由向量組 A 中部

19、分向量組成向量組A 0，若滿足 A 0線性無(wú)關(guān)且 A 中任一向量都能由A 0 線性表示，則向量組 A 0 便是向量組 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組設(shè) mn 矩陣 A 的秩 R(A)=r ，則 n 元齊次線性方程組Ax 0的解集 S 的秩 RSr=n方程Ax 0通解： x=k11 2 2t tAx1 1 22tt* 基礎(chǔ)解系， t=n-r +k + +k ；方程b 通解： x=k +k+ +k+非空，封閉（加法、數(shù)乘運(yùn)算均在集合內(nèi)進(jìn)行）的n 維向量的集合稱向量空間由線性無(wú)關(guān) 向量組 a1，a2， ，ar (基) 所生成的 r 維( 維數(shù) )向量空間為： V= x=1a1+2a2+rar|1，2， rR

20、，i稱為 x 在基 a1 ，a2， ， ar 中的坐標(biāo)，若基取單位坐標(biāo)向量組，則該基稱自然基 ?？臻g向量 V 的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組，V 的維數(shù)就是向量組的秩?；儞Q公式： B=AP ；坐標(biāo)變換公式： xB1A11 1=PxP=AB ，P=BA，其中 A 為舊基矩陣， B 為新基矩陣，xA 為舊基中的坐標(biāo)列向量， xB 為新基中的坐標(biāo)列向量。P=A 1B 稱為過(guò)渡矩陣 第五章相似矩陣及二次型1. x，y= y，x；2.x，y= y，x ；3.x+y，z= x，z+ y，z；4.當(dāng) x=0 時(shí)， x，x=0 ；當(dāng) x0 時(shí)， x，x>0 施瓦茨不等式：x，y 2x，x y，y n 維向

21、量 x 的長(zhǎng)度 (范數(shù) )： x x, x x12 x22xn2 性質(zhì)： 1.非負(fù)性：當(dāng)x0 時(shí)， |x|>0；當(dāng) x=0 時(shí)， |x|=0；2.其次性 |x|=|x|； 3.三角不等式 |x+y|x|+|y|arccos x, y（ x0， y0），當(dāng) x， y=0 時(shí)，稱向量 x 與 y 正交；若 x=0，x 與任何向量都正交。xy若 n 維向量 a1， a2， ， ar 是一組兩兩正交的非零向量，則a1， a2， ， ar 線性無(wú)關(guān)規(guī)范正交基 ：基中向量?jī)蓛烧磺叶际菃挝幌蛄?；?guī)范正交基中坐標(biāo)計(jì)算公式：ieiT a a, ei ；a2 b1, a2 ；b2ar b1, arb2 ,

22、 ar br 1,ar 1 b1a1 b2b1b1b2br 1b1, b1 b1, b1 b2 , b2 br 1 , br 1 2單位化 e11 b1， e21 b2， ， er1br，就是一個(gè)規(guī)范正交基b1b2brn 階矩陣 A 滿足 ATA=E（即 A 1=AT ） A 為正交陣的充要條件： A 的列 (行 )向量均是單位向量， 且兩兩正交正交陣構(gòu)成一個(gè)規(guī)范正交基。性質(zhì)： 1.若 A 為正交陣，則A 1=AT 也為正交陣，且 |A |=1 或(-1) ；y=Px（ P 為正交陣），且 |y|=|x|2.若 A 和 B 均為正交陣，則AB 也是正交陣若 Ax =x 成立，數(shù) 稱為方陣 A

23、的特征值 ，非零向量 x 稱為 A 的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 。特征方程 ： |A E|=0；特征多項(xiàng)式 ： f()=|A E|=()( 2-) (n-)， f()是 的 n 次多項(xiàng)式。1-設(shè) n 階矩陣 A =（aij）的特征值為i12n1122nn12n，則 1 + +=a+a + +a ； 2 =|A|若 pi是方陣 A的對(duì)應(yīng)特征值ii（ k0）也是對(duì)應(yīng)于i的特征向量，則kp的特征向量kk1的特征值； 3()是 (A )若 是方陣 A 的特征值，則： 1是 A的特征值； 2當(dāng) A 可逆時(shí)， 1/是 Amm的特征值 (其中 ()=a0+a1+ +am；(A )=a0E+a1A+ +amA

24、）， ， 是方陣 A 的特征值， p ，p ， ， pm是對(duì)應(yīng)的特征向量，若各不相等，則 p線性無(wú)關(guān)設(shè) 12m12ii若對(duì)矩陣 A ， B 有， P1AP=B，則稱 B 是 A 的相似矩陣 對(duì) A 進(jìn)行運(yùn)算 P1AP 稱對(duì) A 進(jìn)行相似變換 若 A 與 B 相似，則 A 與 B 的特征多項(xiàng)式相同，且A 與 B 的特征值亦相同推論：若 A 與對(duì)角陣 相似，則 即是nA 的 n 個(gè)特征值1， ， ，2把方陣 A 對(duì)角化 ：P1AP=；可求得 =diag(12ni， ， ， ) ，其中 為 A 特征值n 階矩陣 A 與對(duì)角陣相似（即A 能對(duì)角化）的充要條件：A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。推論：若

25、 n 階矩陣 A 的 n 個(gè)特征值互不相等，則A 與對(duì)角陣相似。大學(xué)數(shù)學(xué)定理 5：定理 6：定理 7：對(duì)稱陣 A對(duì)角化的步驟：二次型：定義：定理 8：f 變換：配方變換：定理 9（慣性定理）：定義：定理 10：定理 11（霍爾維茨定理）：補(bǔ)充：對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。， 是對(duì)稱陣 A 的兩個(gè)特征值， p ，p是對(duì)應(yīng)的特征向量若，則 p與 p正交設(shè) 12121 212設(shè) A 為 n 階對(duì)稱陣，則必有正交陣 P，使 P1AP=PTAP=，其中 是以 A 的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣推論：設(shè) A 為 n 階對(duì)稱陣， 是 A 的特征方程的k 重根，則矩陣 A E 的秩 R( A E)=n-k，從而對(duì)

26、應(yīng)特征值 恰有 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1求出 A 的全部特征值1， 2， ， s，它們的重?cái)?shù)依次為k1，k2， ， ks(k1 +k2+ +ks=n)2分別對(duì) k重特征值 ，求(A E)x=0 的基礎(chǔ)解系， 得 k個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，把它們正交化、單位化iii3把求出的總共n 個(gè)正交、單位向量構(gòu)成正交陣1T列向量與 的對(duì)角元對(duì)應(yīng)P，便有 PAP=P AP =，P1基本函數(shù)式：222f(x1，x2， ， xn)= a11x1+a22x2+ +annx n +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1, nxn-1 xnn3 f=xTAx ， 2 中記對(duì)稱陣 A =（aij ）， xT=（

27、x1， x2， ， xn）2 fi, jaij xixj （ 1 中滿足 a jiaij）4 標(biāo)準(zhǔn)形 (或法式 )： f=y22+y2（ x=Cy 代入 1）11+yn122n2222TTT5規(guī)范形 ：f=z1+ +z p z p+1 z r6 f=(Cy)ACy=y (C AC )y（ x=Cy 代入 3）(x=Pz 代入 1，即 4 中 i只取 1，-1 或 0)Ty，412nT12n7f=y中記 =diag( ， ， )，y =（ y ，y ， ，y ）二次型與對(duì)稱陣A 之間一一對(duì)應(yīng)， A 叫做 二次型 f 的矩陣 ，f 叫做 A 的二次型 ，A 的秩叫做 二次型 f 的秩 設(shè) n 階矩陣 A 與 B ，若有可逆矩陣C，使 B =CTAC ，則稱矩陣 A 與 B 合同（若 A 對(duì)稱則 B 對(duì)稱且 R(A )=R(B )）二次型 f 總有正交變換 x=Cy，使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 f= 222f 的矩陣 A=（ aij ）的特征1y1+2y 2+ny n，其中 是i值。推論：二次型f=xTAx (A T=A )，總有可逆變換x=Pz，使 f( Pz)為規(guī)范形已知 x=Cy，CT12