三角函數(shù)經(jīng)典例題

1、經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：銳角三角函數(shù)本專(zhuān)題主要包括銳角三角函數(shù)的意義、銳角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性和特殊角三角函數(shù)值，都是中考中的熱點(diǎn)明確直角三角形中正弦、余弦、正切的意義，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是基礎(chǔ)，通過(guò)計(jì)算器計(jì)算知道正弦、正切隨角度增大而增大，余弦隨角度增大而減小1在rtabc中，acb=90°，cdab于點(diǎn)d，已知，bc=2，那么( )a b c d思路點(diǎn)撥：由于abc在rtabc和rtbcd中，又已知ac和bc，故只要求出ab或cd即可解析：解法1：利用三角形面積公式，先用勾股定理求出 ， 解法2：直接利用勾股定理求出，

2、 在rtabc中， 答案：a總結(jié)升華：求直角三角形中某一銳角三角函數(shù)值，利用定義，求出對(duì)應(yīng)兩邊的比即可2計(jì)算：(1)_；(2)銳角a滿(mǎn)足，則a=_答案：(1)；(2)75°.解析：(1)把角轉(zhuǎn)化為值(2)把值轉(zhuǎn)化為角即可(1)(2)由，得， a=75°總結(jié)升華：已知角的三角函數(shù)，應(yīng)先求出其值，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系，再按要求進(jìn)行運(yùn)算已知一個(gè)三角函數(shù)值求角，先看看哪一個(gè)角的三角函數(shù)值為此值，在銳角范圍內(nèi)一個(gè)角只對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值，從而求出此角3已知為銳角，求思路點(diǎn)撥：作一直角三角形，使為其一銳角，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，借助勾股定理，表示出第三邊，再利用三角函數(shù)定義便可求出

3、，或利用求出，再利用，使可求出解析：解法1：如圖所示，rtabc中，c=90°，b=，由， 可設(shè)， 則， 解法2：由，得 ， 總結(jié)升華：知道一銳角三角函數(shù)值，構(gòu)造滿(mǎn)足條件的直角三角形，根據(jù)比的性質(zhì)用一不為0的數(shù)表示其兩邊，再根據(jù)勾股定理求出第三邊，然后用定義求出要求的三角函數(shù)值或利用，來(lái)求類(lèi)型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形的邊角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ)解直角三角形時(shí)，注意三角函數(shù)的選擇使用，避免計(jì)算麻煩，化非直角三角形為直角三角形問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)4已知：如圖所示，在abc中，c=90°，點(diǎn)d在bc上，bd=4，ad=bc，求：(1)dc的

4、長(zhǎng)；(2)sinb的值思路點(diǎn)撥：題中給出了兩個(gè)直角三角形，dc和sin b可分別在rtacd和rtabc中求得，由ad=bc，圖中cd=bc-bd，因此可列方程求出cd解析：(1)設(shè)，在rtacd中， ， ad=bc， 又， ，解得 (2)bc=bd+cd=4+6=10=ad 在rtacd中， 在rtabc中， 總結(jié)升華：借助三角函數(shù)值，設(shè)出其中兩邊，根據(jù)已知條件，列出方程，求出解，再求出其要求的問(wèn)題舉一反三【變式1】如圖所示，在梯形abcd中，adbc，ca平分bcd，deac，交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，(1)求證：ab=dc；(2)若，求邊bc的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥：要證ab=dc，只需證明abc=bc

5、d由acde，adbc，可得四邊形adec為平行四邊形，所以e=dac由ca平分bcd，可得bcd=2bca=2e，所以b=bcd，問(wèn)題得證，由(1)可知ad=cd=，過(guò)點(diǎn)a作afbc，在rtabf，可求得bf=1，所以解析：(1)證明： deac， bca=e ca平分bcd， bcd=2bca， bcd=2e 又 b=2e， b=bcd 梯形abcd是等腰梯形，即ab=dc(2)解：如圖所示，作afbc，dgbc，垂足分別為f、g，則afdg 在rtafb中， tan b=2， af=2bf 又 ，且， ，得bf=1 同理可知，在rtdgc中，cg=1 adbc， dac=acb 又 ac

6、b=acd， dac=acd ad=dc ， adbc，afdg， 四邊形afgd是平行四邊形 ， bc=bf+fg+gc=【變式2】已知：如圖所示，p是正方形abcd內(nèi)一點(diǎn)，在正方形abcd外有一點(diǎn)e，滿(mǎn)足abe=cbp，be=bp(1)求證：cpbaeb；(2)求證：pbbe；(3)pa：pb=1：2，apb=135°，求cospae的值思路點(diǎn)撥：(1)在cpb和aeb中，pbc=abe，bp=be，要證cpbcaeb，只要bc=ab即可，而四邊形abcd恰好是正方形，所以得證(2)只要證pbe=90°，而abc=90°，即證出(3)要求cospae的值，需判

7、斷pae所在的三角形是否是直角三角形，因此需連結(jié)pe，借助(1)(2)，求出pbe=，而apb=135°，因此ape=90°解析：(1)證明： 四邊形abcd是正方形， bc=ab cbp=abe，bp=be， cpbaeb(2)證明： cbp=abe， pbe=abe+abp=cbp+abp=90°， bpbe(3)解：連結(jié)pe， be=bp，pbe=90°， bpe=45° 設(shè)ap=k，則bp=be=2k， ， bpa=135°，bpe=45°， ape=90°， 在rtape中，類(lèi)型三：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)

8、題直角三角形應(yīng)用非常廣泛，是中考的重要內(nèi)容之一近年來(lái)，各地中考試題為體現(xiàn)新課標(biāo)理念，設(shè)計(jì)了許多面目新穎、創(chuàng)意豐富的新型考題運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決與生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近幾年中考的熱點(diǎn)雖然解直角三角的應(yīng)用題題型千變?nèi)f化，但設(shè)法尋找或構(gòu)造出可解的直角三角形是解題的關(guān)鍵5如圖所示，在一個(gè)坡角為15°的斜坡上有一棵樹(shù)，高為ab，當(dāng)太陽(yáng)光與水平線成50°角時(shí)，測(cè)得該樹(shù)在斜坡的樹(shù)影bc的長(zhǎng)為7 m，求樹(shù)高(精確到0.1m)思路點(diǎn)撥：樹(shù)所在直線垂直于地面，因此需延長(zhǎng)ab交水平線于一點(diǎn)d，則adcd，在rtbcd中，bc=7m，bcd=15°，所以求出cd、bd而在rta

9、cd中，acd=50°，利用求出ad，所以ab=ad-bd即可求出解析：如圖，過(guò)點(diǎn)c作水平線與ab延長(zhǎng)線交于點(diǎn)d，則adcd bcd=15°，acd=50°，在rtcdb中，cd=7cos15°，bd=7sin15°在rtcda中， 答：樹(shù)高約為6.2m總結(jié)升華：解這類(lèi)問(wèn)題一般構(gòu)造直角三角形，借助角與邊的關(guān)系，求得未知邊，再解另一個(gè)直角三角形得到問(wèn)題答案舉一反三【變式1】高為12.6米的教學(xué)樓ed前有一棵大樹(shù)ab(如圖所示)(1)某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)ab、教學(xué)樓ed在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是bc=2.4米，df=7.2米，求大樹(shù)ab的高度(2)用皮尺、

10、高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)ab高度的方案，要求： 在下圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)在圖上(長(zhǎng)度用字母m、n表示，角度 用希臘字母表示)； 根據(jù)你所畫(huà)的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算大樹(shù)ab的高度(用字母表示)思路點(diǎn)撥：本題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，并且讓學(xué)生根據(jù)所提供的信息設(shè)計(jì)測(cè)量方案解析：連結(jié)ac、ef(圖略)(1) 太陽(yáng)光線是平行線， acef， acb=efd abc=edf=90°， abcedf ab=4.2 答：大樹(shù)ab的高是4.2米(2)如圖所示，mg=bn=m， 米總結(jié)升華：本題將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)與測(cè)量方案設(shè)計(jì)結(jié)合在一起，聯(lián)系生

11、活實(shí)際，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)測(cè)量方案，得出結(jié)果，培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐操作能力同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型，促使大家進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)就在身邊，會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題【變式2】2008年6月以來(lái)某省普降大雨，時(shí)有山體滑坡災(zāi)害發(fā)生北峰小學(xué)教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示，afbc，斜坡ab長(zhǎng)30米，坡角abc=65°為了防止滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45°時(shí)，可以確保山體不滑坡(1)求坡頂與地面的距離ad等于多少米?(精確到0.1米)(2)為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳b不動(dòng)，坡頂a沿af削進(jìn)到e點(diǎn)處，求a

12、e至少是多少米?(精確 到0.1米)解析：(1)在rtadb中，ab=30m，abd=65°， 所以ad=ab·sinabd=30×sin65°27.2(米) 答：ad等于27.2米(2)在rtadb中， 所以db=ab·cosabd=30×cos65°12.7(米) 連結(jié)be，過(guò)e作enbc于n， 因?yàn)閍ebc，所以四邊形aend為矩形， 則ne=ad27.2 在rtenb中，由已知ebn45°，當(dāng)ebn=45°時(shí)，bn=en=27.2 所以ae=nd=bn-bd=14.5(米) 答：ae至少是14.5

13、米類(lèi)型四：銳角三角形函數(shù)與斜三角形6數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)出了abc和def，數(shù)據(jù)如圖所示，如果把小敏畫(huà)的三角形面積記作，小穎畫(huà)的三角形面積記作，那么( )a b c d不能確定解析：此兩圖一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形，因此解決此問(wèn)題，關(guān)鍵作高構(gòu)造直角三角形，如圖所示，作agbc于g，dhef于h，在rtabg中，由得， 在rtdhe中，deh=180°-130°=50°， 得，從而也求得， 答案：c總結(jié)升華：解斜三角形時(shí)往往作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用直角三角形邊邊、邊角、角角關(guān)系求出問(wèn)題答案舉一反三【變式1】已知如圖所示，(1)當(dāng)abc為銳角三角形時(shí)，ab為最長(zhǎng)邊，三邊分別為a、b、c，試判斷與的大小關(guān)系 用a、b、c，表示出cosb(2)當(dāng)abc為鈍角三角形時(shí)，c為鈍角，判斷與的大小關(guān)系？用a、b、c表示cosb思路點(diǎn)撥：解此類(lèi)問(wèn)題需作高線構(gòu)造直角