典型例題：用放縮法證明不等式

1、學習必備歡迎下載用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“ 度” ，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。一. “添舍” 放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。例 1. 設 a，b 為不相等的兩正數，且a3b3a2b2，求證143 ab。證明：由題設得 a2abb2ab，于是（ ab）2a2abb2ab，又 ab0，得 ab1，又 ab14（ab）2，而（ab）2ababab14（ab）2，

2、即34（ab）2ab，所以ab43，故有 1ab43。例 2. 已知 a、b、c 不全為零，求證：aabbbbcccacaabc22222232（）證明：因為aabbabbababab22222234222（）（），同理bbccbc222，cacaca222。所以aabbbbcccacaabc22222232（）二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。例 3. 已知 a、b、c 為三角形的三邊，求證：12abcbaccab。證明：由于 a、b、c 為正數，所以abcaabc，bac

3、babc，cabcabc，所以abcbaccabaabcbabccabc 1， 又 a， b， c 為三角形的邊，故 b+ca， 則abc為真分數，則abcaabc2，同理bacbabc2，cabcabc2，學習必備歡迎下載故abcbaccabaabcbabccabc2222. 綜合得12abcbaccab。三. 裂項放縮若欲證不等式含有與自然數n 有關的 n 項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。例 4. 已知 nn* ，求n2n131211。證明：因為，則11213（）（）（）1122123221212nnnnn，證畢。例 5. 已知*nn且) 1n(n3221an，求證：2)1(2)1

4、(2nannn對所有正整數 n都成立。證明：因為nnnn2)1(，所以2) 1n(nn21an，又2)1()1(nnnn，所以2) 1n(21n225232) 1n(n232221a2n，綜合知結論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例 6. 已知函數1212)(xxxf，證明：對于*nn且3n都有1)(nnnf。證明：由題意知)12)(1()12(212211)111 ()1221 (112121)(nnnnnnnnnnnnnnnf，又因為*nn且3n，所以只須證122nn，又因為1n21n2)1n(nn1ccccc)11(2nn1nn2n1n0

5、nnn所以1)(nnnf。例 7. 已知2x1)x(f，求證：當 ab時 fafbab（ ）（ ）。學習必備歡迎下載證明：fafbabababab abab（ ）（ ）11111122222222bababa)ba(bababa證畢。五. 換元放縮對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。例 8. 已知cba，求證0ac1cb1ba1。證明：因為cba，所以可設tca，)0ut (ucb，所以0ut則0tuutt1u1t1u1ut1ac1cb1ba1，即0ac1cb1ba1。例 9. 已知 a，b，c為abc 的三條邊，且有222cba，當*nn且3n時，求證：nnncba。證明：由于abc222，可設 a=csina，b=ccosa （a 為銳角） ，因為01sina，01cosa，則當n3時， sinsinnaa2，coscosnaa2，所以abcaacaacnnnnnnn(sincos)(sincos)22。六. 單調函數放縮根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。例 10. 已知 a，br，求證b1ba1aba1ba。證明：構造函數)0 x(x1x)x(f，首先判斷其單調性，設21xx0，因為0)x1)(x1(xxx1xx1x)x(f)x(f2121221121，所以21xfxf，所以)x(f在,0上