剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、Lecture Notes for University Physics By Prof. Dr. Wang Yi第5章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis)§1 剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體( rigid body)1.剛體·剛體是受力時(shí)形狀和體積不改變的物體 -理想化模型。·剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的 相對(duì)位置保持不變。2.剛體的運(yùn)動(dòng)形式·平動(dòng)(translation)：可用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表·轉(zhuǎn)動(dòng)(rotation)： 分 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(本章討論) 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(如陀螺的運(yùn)動(dòng))·平

2、面運(yùn)動(dòng) (如車輪的運(yùn)動(dòng))·一般運(yùn)動(dòng)：可分解為兩種運(yùn)動(dòng) 隨質(zhì)心的平動(dòng) 繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)wq·pro轉(zhuǎn)動(dòng)平面二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述(運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題)1.物理量 ·轉(zhuǎn)動(dòng)平面：過(guò)剛體上某點(diǎn)p垂直于轉(zhuǎn)軸的 平面。·轉(zhuǎn)動(dòng)中心：轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸的交點(diǎn) o·p在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞o作圓周運(yùn)動(dòng) Þ 可用圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 剛體的運(yùn)動(dòng)。(1)角位置： q(2)角位移： Dqw =dqdt(3)角速度： w (矢量) 大?。?方向：沿軸(指向由右手確定)(4)角加速度：b (矢量) b = dwdtd2qd t2= 大小:： 方向：沿軸 b ­­

3、 w (加速轉(zhuǎn)動(dòng))；b ­¯w (減速轉(zhuǎn)動(dòng))2.角量和線量的關(guān)系(1)p點(diǎn)的線速度 u = w ´ r r ：p點(diǎn)的矢徑(由轉(zhuǎn)動(dòng)中心o引出) (2)p點(diǎn)的線加速度=a =dudtd(w´r )dt = =dwdt´r+ w ´drdta = b ´ r + w ´u 切向加速度： at = b ´r 法向加速度： an = w ´u3.典型定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(1)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)： b = 0 w = const. q - q0 = w t12b = const.w = w0 +b t q - q0 = w0t

4、+ b t 2w2 - w02 = 2b (q - q0)(2)勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)： M軸zorFr ¢o¢轉(zhuǎn)動(dòng)平面x·p §2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩1.力對(duì)軸的矩 設(shè)力F在轉(zhuǎn)動(dòng) 平面內(nèi)，作用 點(diǎn)在 p M軸 = r ´ F 方向：沿軸 (由右手定)； r是 op 思考：如F不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，M軸方向如何 確定?2.力對(duì)固定點(diǎn)的矩 M點(diǎn) = r¢´F r ¢是 o¢p ( o¢是某定點(diǎn))·可以證明：M軸 是M點(diǎn) 沿z軸的投影·以下把M軸 記作M二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律1.推導(dǎo)·剛體看作是由很

5、多質(zhì)元組成·質(zhì)元 i ：質(zhì)量 Dmi··zFiFjDm iDmjrirjfifjo 矢徑ri (由轉(zhuǎn)動(dòng)中心引出) 外力Fi 內(nèi)力 fi ·由牛頓定律，對(duì)質(zhì)元 Dmi有 Fi + fi = Dmi ai， (ai = ain + ait )·以 ri對(duì)等式作叉積(從左側(cè)) ri´Fi + ri´ fi = Dmi ri´( ain + ait )· ri ´ ain = 0 (為什么?) ri´ait = ri´( b´ri) = ri2b 利用了a´(b&

6、#180;c) = (a×c)b - (a×b)c 于是有ri´Fi + ri´fi = Dmi ri2b·對(duì)所有質(zhì)元求和有 S(ri´Fi ) + S( ri´ fi) =S (Dmi ri2)b·各項(xiàng)意義 S(ri´Fi )：各質(zhì)元所受的外力矩之和, 即剛體所受的外力矩 S( ri´fi)：各質(zhì)元所受的內(nèi)力矩之和 可證 S( ri´fi) = 0 (見下) S (Dmi ri2)： 稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(見下)， 寫作 J = S (Dmi ri2) 證明 S( ri´fi)

7、 = 0 每一對(duì)內(nèi)力的內(nèi)力矩之和都為零 對(duì)質(zhì)元 i和 j，其內(nèi)力矩之和為 ri´fi + rj´fj = ri´fi + rj´(-fi ) =( ri - rj)´fi = 0 因 ( ri - rj)| fi 可知所有內(nèi)力矩之和為零。 ·可得轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M = JbDmi·rifiqijioFi另一證法·在剛體上任取一質(zhì)元 i ：質(zhì)量 Dmi 矢徑ri (由轉(zhuǎn)動(dòng)中心o引出) 外力Fi；內(nèi)力 fi (設(shè)均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)) ·由牛頓定律，對(duì)質(zhì)元 Dmi有 Fi + fi = Dmi ai·其切向分量

8、式為Fi sinji + fi sinq i = Dmi ait = Dmi ri b·等式兩端同乘以ri 有Fi ri sinji + fi ri sinq i = Dmi ri 2b (式中Fi ri sinji為外力Fi對(duì)軸的力矩；fi ri sinqi 為內(nèi)力fi對(duì)軸的力矩)對(duì)每一個(gè)質(zhì)元都可以列出相應(yīng)的式子·對(duì)所有質(zhì)元的式子相加有SiFi ri sinji +Si fi ri sinq i = Si (Dmi ri 2)b·上式中SiFi ri sinj i為剛體所受的各外力對(duì)軸的力矩之和，即剛體所受的合外力矩(對(duì)軸)，記作M；·因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)出現(xiàn)

9、，每一對(duì)內(nèi)力的力矩之 和應(yīng)為零，故上式中 Si fi ri sinq i = 0。·Si (Dmi ri 2)是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，故有轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M = Jb2.意義：剛體所受的合外力矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量與角加速度的乘積。 如M一定，則 J­Þb¯三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(moment of inertia)1.定義 J = S (Dmi ri2) 如剛體為連續(xù)體，則為 J =ò r2dm 2.意義：反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小 J大 Þ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大 J和下列因素有關(guān)：· 剛體的質(zhì)量· 剛體的質(zhì)量分布m1= m2誰(shuí)的J大?輪(斷面)軸12

10、3棒J1、J2、J3 誰(shuí)大? · 軸的方位R·m3.計(jì)算例1求小球m的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：m看作質(zhì)點(diǎn) J = mR2 例2質(zhì)量為m的細(xì)圓環(huán)，求J。 dmR · 解：把環(huán)分成無(wú)限 多個(gè)質(zhì)量為dm 的小段，對(duì)每 個(gè)dm有 dJ = R2dm 對(duì)整個(gè)環(huán)有 J = ò R2dm = mR2drdmdSrR例3薄圓盤 (質(zhì)量 m，半徑 R)，求J。解：把盤分成無(wú)限 多個(gè)環(huán)。取其中 一個(gè)環(huán)(半徑r，寬dr，質(zhì)量 dm)， 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dJ = r2dmdm = ( )2prdrmpR2 J = ò0 r2dm = mR2R12 整個(gè)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表

11、(見教材)oz·Dmicdrcirio¢4.平行軸定理 J = Jc + md 2 J對(duì)oo¢軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量 Jc對(duì)通過(guò)質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 d兩平行軸間的距離證明：J = SDmiri2 = SDmiri × ri = SDmi(rci + d )× (rci + d ) = SDmi rci2 + SDmid2 +2S(d×rci)Dmi = Jc +md2 +2d×(SDmirci) 第3項(xiàng)中 SDmi rci = 0 (為什么?)oRmo ¢c·例求環(huán)對(duì) oo¢軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解: J

12、 = Jc + mR2 = 2mR2四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 M « bRmm2m1a例1如圖滑輪系統(tǒng),圖中 各量已知。求繩中張力及 物體加速度(設(shè)m2>m1)。T2m2m1T1T2¢T1 ¢m2gm1gm· 解：·畫受力圖·列動(dòng)力學(xué)方程 對(duì)m1： T1 - m1g = m1a (1)對(duì)m2： m2g -T2 = m2a (2)對(duì)m： T2R - T1R = mR2b (3)12a = bR (4) ·聯(lián)立各方程可得 a =(m2- m1)gm1+m2+ m1212T1=m1g(2m2+ m)m1+m2+ m1212T2=m

13、2g(2m1+ m)m1+m2+ m12qlomg注意： T1 ¹ T2 (m = 0時(shí)，有T1 = T2)例2質(zhì)量為m、長(zhǎng) 為l的棒可繞軸o 轉(zhuǎn)動(dòng)。棒由水平自靜止釋放。求：(1)棒擺至q角時(shí)的b、w； (2)棒在豎直位置時(shí)所受的軸力。解：(1)求b：棒在q 位置時(shí)所受的力矩M = mg( )cosql mg(l /2)cosq2 b =mg l cosq2J 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得(2)求wb =dwdtdwdqdq dt)()= (dwdq= w w dw = b dq = (mg l cosq2J)dqò0 w dw = ò0 cosq dqwmgl2Jq mgl2

14、Jsinqw2 =12w = 3gsinq l1/2 ml 2J =13 其中用了 (3)求棒在豎直位置時(shí)所受的軸力。NxNyomgcyx· 設(shè)軸對(duì)棒的力為Nx、Ny(外力)，由 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 y向 Ny - mg = macn x向 Nx = mact ·q = p/2時(shí)，b = 0， l2act = b = 0 acn = w2l2=3g2 5mg2Ny =·drrdqoxauFq§3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系一、力矩的功外力F的元功 dW = F×dr = F cosa dr = Fcosa rdq = M dq W = ò初M d

15、q末 力矩M的功 反映力矩的空間積累作用效果。二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 整個(gè)剛體的動(dòng)能應(yīng)等于各質(zhì)元的動(dòng)能之和。12Ek = S( Dmiui2)12= S(Dmi ri2)w212Ek = Jw 2三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理M = Jb = Jdwdtdqdtdwdq= Jò初 Mdq = ò初Jw dw末末12末ò初 Mdq = Jw2末 - Jw2初12由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 W外 = Ek末 - Ek初 合外力矩的功等于動(dòng)能的增量思考：在第四章的“質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理”的左端，除有W外一項(xiàng)外，還有一項(xiàng)W內(nèi)。而在上面的動(dòng)能定理式中為何沒有W內(nèi)一項(xiàng)了?·Dmi ·cyoxh

16、ihcm四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理1.剛體的重力勢(shì)能 在重力場(chǎng)中的剛體 質(zhì)量為m·重力勢(shì)能 Ep = SDmighi = g(SDmihi) hc =SDmihim 質(zhì)心的高度 有 Ep = mghc·機(jī)械能12E = Jw2 + mghc 2.功能原理·對(duì)于包括有剛體的系統(tǒng)，功能原理形式 仍為 W外 + W非保內(nèi) = E末 - E初·若系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力作功，其機(jī)械能 亦守恒。 練習(xí)：用機(jī)械能守恒再解棒下擺問(wèn)題，并對(duì)比兩種解法。§4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量 守恒定律 討論：力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)一、剛體對(duì)軸的角動(dòng)量p(Dmi)ri

17、2;riuiLzo轉(zhuǎn)動(dòng)平面o¢x·1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量·質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量 定義是L = r ´mu 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn) 的角動(dòng)量為系內(nèi)各 質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和。·如圖剛體對(duì)固定點(diǎn)o¢的角動(dòng)量為 L點(diǎn) = S r¢i´Dmiui2.剛體對(duì)軸的角動(dòng)量 -剛體上各質(zhì)元對(duì)各自轉(zhuǎn)動(dòng)中心的 角動(dòng)量的矢量和 L軸 = Sri´(Dmiui) = Sri´(w´ri) Dmi ， 利用a´(b´c) = S(Dmi ri2)w L軸 = Jw 可以證明：L軸 是L點(diǎn)

18、沿z軸的分量。 (以下L軸 記作 L )二、剛體對(duì)軸的角動(dòng)量定理1.微分形式M = Jb = Jdwdt 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律， M =d(Jw)dt J不隨t變， M =dLdt有 剛體所受的(對(duì)軸的)外力矩等于剛體(對(duì) 軸的) 角動(dòng)量的時(shí)間變化率 或?qū)懽?M dt = dL2.積分形式 對(duì)于一段時(shí)間過(guò)程有ò初 M dt = L末 - L初末 二、(對(duì)固定軸的)角動(dòng)量守恒定律1.如合外力矩等于零 則 L = Jw = const.即轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量(大小、方向)保持不 變 或 L末 = L初 J末w末 = J初w初 角動(dòng)量守恒定律比轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用范圍更 廣泛，這里可以有 J末 ¹ J

19、初2.轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)由多個(gè)物體(剛體或質(zhì)點(diǎn))組成·同樣可得角動(dòng)量守恒定律·但系統(tǒng)內(nèi)各物體的角動(dòng)量必須是對(duì)同一 固定軸而言的。演示：·茹可夫斯基凳 ·回轉(zhuǎn)儀錄像：“角動(dòng)量守恒 ”h/2qlo·Mg ch(m+M)g·mu0·例小球m以 速度u0撞擊質(zhì) 量M長(zhǎng)l上端 懸掛的棒，碰 后兩者粘在一 起轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒 端升起的最大高度h。解：兩過(guò)程題·過(guò)程1：mM 非彈性碰撞 系統(tǒng)：mM 條件：外力軸力、重力 系統(tǒng)動(dòng)量不守恒 外力矩為零 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒m l u0 = m l (w l ) + M l 2 w (1)13·過(guò)程 2：mM上擺 系統(tǒng)： mM-地球 條件： 外力-軸力， 但W外 = 0 內(nèi)力-重力 (保守內(nèi)力) E 守恒 m(w