二次-多目標-最大最小化

1、次、目標及動態(tài)規(guī)劃§ 1二次規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型：min - xT Hx f Txx 2A x空bAeq x = beqlb蘭x蘭ub其中H為二次型矩陣，A、Aeq分別為不等式約束與等式 約束系數(shù)矩陣，f,b,beq,lb,ub,x 為向量。求解二次規(guī)劃問題函數(shù)為quadprog()調(diào)用格式：X= quadprog(H,f,A,b)X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO) X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb

2、,ub,xO,options)x,fval= quadprog( )x,fval,exitflag= quadprog( ) x,fval,exitflag,output= quadprog()x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog()說明：輸入?yún)?shù)中，x0為初始點；若無等式約束或無不 等式約束，就將相應(yīng)的矩陣和向量設(shè)置為空； options 為指 定優(yōu)化參數(shù)。輸出參數(shù)中，x是返回最優(yōu)解；fval是返回解所對應(yīng)的目標函數(shù)值；exitflag是描述搜索是否收斂；output是返回包含優(yōu)化信息的結(jié)構(gòu)。Lambda是返回解x入包含拉格朗日乘子的參數(shù)。例1:求解：

3、二次規(guī)劃問題2 2min f(x)= x1-3x 2+3x1 +4x2 -2x 1X2s.t 2x1+X2W 2-x 1 +4x2 < 3程序： f=1;-3H=6 -2;-2 8A=2 1;-1 4b=2;3X,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b) 結(jié)果： X =-0.04550.3636fval =-0.5682exitflag =1例 2：求解：二次規(guī)劃問題22min x 1 +2x2 -2x 1x2-4x 1-12x 2 s.t x 1+X2W 2-x 1+2x2 < 22xi+X2< 3 0<x 1, 0 <x 2 程序： H=

4、2 -2;-2 4;f=-4;-12;A=1 1;-1 2;2 1;b=2;2;3;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b,lb) 結(jié)果： x =0.66671.3333fval =-16.4444exitflag =1練習(xí)1求解下面二次規(guī)劃問題min f(x) =2x x2x1x -2x6x2sub .toXi X2 豈 2-x1 2x2 <22xi x2 <30 _Xi,0 _X2解：f(x) =1 x Hx f x2在MATLAB中實現(xiàn)如下：>>H = 1-1; -1 2;>>f = -2； -6;

5、>>A = 1 1; -1 2; 2 1;>>b = 2; 2; 3;>>lb = zeros(2,1);>>x,fval,exitflag,output,lambda quadprog(H,f,A,b, , ,lb)結(jié)果為：x =%最優(yōu)解0.66671.3333fval =%最優(yōu)值-8.2222exitflag =%收斂1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: cgiterations: lambda =lower: 2x

6、1 doubleupper: 2x1 doubleeqlin: 0x1 doubleineqlin: 3x1 double>> lambda.ineqlinans =3.11110.44440>> lambda.lowerans =00說明 第 1、2 個約束條件有效，其余無效。練習(xí)2求二次規(guī)劃的最優(yōu)解max f (xi, X2)=xiX2+3sub.toX1 +X2-2=0解：化成標準形式:min f (x1 X2)一X1X2 3 誌兇 X2)0 X1 (0, 0) X1 32、-1 0丿兇丿X2丿sub .tox1+x2=2在 Matlab中實現(xiàn)如下：>>

7、;H=0,-1;-1,0;>>f=0；0；>>Aeq=1 1;>>beq=2;>>x,fval,exitflag,output,lambdaquadprog(H,f, , ,Aeq,beq)結(jié)果為：x =1.0000 1.0000fval =-1.0000 exitflag =output =1firstorderopt: 0iterati on s: 1cgiteratio ns: 1algorithm: 1x58 charlambda =eqli n: 1.0000in eqli n:lower:upper:§ 2最小二乘最優(yōu)問題1

8、約束線性最小二乘有約束線性最小二乘的標準形式為min 1 Cx -d 2x 22subtoA x ZbAeq x =beqI b Ex Eub其中：C、A、Aeq 為矩陣；d、b、beq、lb、ub、x 是向量。函數(shù) Isqlin格式 x = lsqlin(C,d,A,b)%求在約束條件a ib下，方程Cx = d的最小二乘解x。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq 滿足等式約束Aeq x = beq，若沒有不等式約束，則設(shè)A= ,b=。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub 滿足lb乞xub，若沒有等式約束，則 A

9、eq=, beq=。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO) % x0 為初始解 向量，若x沒有界，則 lb= , ub=。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)x,resnorm = lsqlin( )%resnorm=norm(C*x-d)A2，即 2-范數(shù)。x,resnorm,residual=lsqlin()residual=C*x-d，即殘差。x,resnorm,residual,exitflag=lsqlin( )%exitflag為終止迭代的條件x,resnorm,

10、residual,exitflag,output=lsqlin()% output表示輸出優(yōu)化信息x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda=lsqlin()% lambda 為解x的Lagrange乘子例1求解下面系統(tǒng)的最小二乘解系統(tǒng)：Cx=d約束： A x遼b ； I b乞x乞ub先輸入系統(tǒng)系數(shù)和X的上下界:C = 0.95010.76200.61530.4057;0.23110.45640.79190.9354;0.60680.01850.92180.9169;0.48590.82140.73820.4102;0.89120.44470.17620

11、.8936d = 0.0578; 0.3528; 0.8131; 0.0098; 0.1388;A = 0.20270.27210.74670.4659;0.19870.19880.44500.4186;0.60370.01520.93180.8462b = 0.5251; 0.2026; 0.6721;lb = -0.1*o nes(4,1);ub = 2*o nes(4,1);然后調(diào)用最小二乘命令：x,res norm,residual,exitflag,output,lambda lsqli n( C,d,A,b, , ,lb,ub);結(jié)果為：-0.1000-0.10000.2152x

12、=0.3502resnorm =0.1672 residual =0.04550.0764-0.35620.16200.0784 exitflag =1% 說明解 x 是收斂的output =iterations: 4 algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: cgiterations: lambda =lower: 4x1 doubleupper: 4x1 double eqlin: 0x1 doubleineqlin: 3x1 double通過 lambda.ineqlin 可查看非線性不等式約束是否有效2非線

13、性數(shù)據(jù)（曲線）擬合非線性曲線擬合是已知輸入向量 xdata和輸出向量ydata, 并且知道輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系為 ydata=F(x, xdata)，但不知道 系數(shù)向量X。今進行曲線擬合，求 x使得下式成立：min 1 |F(x, xdata) -ydata ：(F(x,xdatai) -ydata )2x 22 i函數(shù) Isqcurvefit格式 x = Isqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata)x = Isqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata,Ib,ub)x = Isqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata,Ib,ub,options

14、)x,resnorm = Isqcurvefit()x,resnorm,residuaI = Isqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag = Isqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag,output = Isqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda=Isqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian =lsqcurvefit()參數(shù)說明：x0為初始解向量；xdata ,ydata為

15、滿足關(guān)系ydata=F(x, xdata)的數(shù)據(jù)；lb、ub為解向量的下界和上界Ib x Ub，若沒有指定界，則 lb= , ub=；options為指定的優(yōu)化參數(shù)；fun為擬合函數(shù)，其定義方式為：x =lsqcurvefit(myfun,xO,xdata,ydata),其 中 myfun 已定義為function F =myfun(x,xdata)F =%計算x處擬合函數(shù)值fun的用法與前面相同；resnorm=sum (fun(x,xdata)-ydata)八2)，即在 x 處殘差的平方和；residual=fun(x,xdata)-ydata，即在 x 處的殘差；exitflag為終止迭

16、代的條件；output為輸出的優(yōu)化信息；lambda為解 x處的 Lagrange乘子；jacobian為解x處擬合函數(shù)fun的jacobian矩陣。例2求解如下最小二乘非線性擬合問題已知輸入向量xdata和輸出向量ydata，且長度都是 n，擬 合函數(shù)為ydata(i) =x(1) xdata(i)2x(2) sin(xdata(i) x(3) xdata(i)3即目標函數(shù)為 min 丄二(F(x, xdata)-ydataj2x2 i#其中： F(x, xdata) =x(1) xdata2 x(2) sin(xdata) x(3) xdata3初始解向量為x0=0.3, 0.4, 0.1

17、。解：先建立擬合函數(shù)文件，并保存為ff4.mfun cti on F = ff4(x,xdata)F = x(1)*xdata.八2 + x(2) *si n(xdata) + x(3)*xdata.八3;然后給出數(shù)據(jù)xdata和ydata>>xdata = 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;>>ydata = 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.054.3;>>x0 = 10,10,10;% 初始估計值>>x,res norm = lsqcu

18、rvefit(ff4,x0,xdata,ydata)結(jié)果為：Optimization terminated successfully:Relativefun cti onvaluecha ngingby lesstha nOPTIONS.TolF un0.22690.33850.3021 resnorm =6.29503非線性最小二乘非線性最小二乘（非線性數(shù)據(jù)擬合）的標準形式為mjn f (x) =f1(x)2 +f2(x)2 +fm(x)2 +L其中：L為常數(shù)在6.0版中使用函數(shù)Isqnonlin。 fi(x)設(shè) F(X)= f 2(X)'fm(X) 一則目標函數(shù)可表達為min 1

19、F(x) 2 = V fi(x)2x 22 i其中：x為向量，F(xiàn)(x)為函數(shù)向量。函數(shù) Isqnonlin格式 x = Isqnonlin(fun,x0) %x0為初始解向量；fun為 fi(x), i=1,2,m, fun返回向量值F，而不是平 方和值，平方和隱含在算法中，fun的定義與前面相同。x = Isqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub 定義 x 的下界和上界：lb_x_ub。x = lsqnonlin(fun,xO,lb,ub,options) %options 為指定優(yōu)化參數(shù)，若x沒有界，則lb= ，ub=。x,resnorm = lsqnonlin()%re

20、snorm=sum(fun(x)八2)，即解x處目標函數(shù)值。x,resnorm,residual = lsqnonlin()%residual=fun(x)，即解 x 處 fun 的值。x,resnorm,residual,exitflag=lsqnonlin()%exitflag為終止迭代條件。x,resnorm,residual,exitflag,output=lsqnonlin()%output輸出優(yōu)化信息。x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda=lsqnonlin()%lambda 為 Lagrage 乘子。x,resnorm,residua

21、l,exitflag,output,lambda,jacobian=lsqnonlin() %fun 在解 x 處的 Jacobian 矩 陣。k 10例3求下面非線性最小二乘問題、(2 2k _ekx1 _ekx2)2初始解k 4向量為 x0=0.3, 0.4。解：先建立函數(shù)文件，并保存為myfun.m，由于Isqnonlin中的fun為向量形式而不是平方和形式，因此，myfun函數(shù)應(yīng)由fi(x)建立：fk(x)=2+2k-ekxi -ekx2k=1,2,10function F = ff5(x)k = 1:10;F = 2 + 2*k-exp(k*x(1)-exp(k*x(2);然后調(diào)用優(yōu)

22、化程序：x0 = 0.3 0.4;x,res norm = Isqnon li n( ff5,x0)結(jié)果為：Optimization terminated successfully:Norm of the current step is less than OPTIONS.ToIX0.25780.2578res norm =%求目標函數(shù)值124.3622例 4.求 minf=4(X2-xd2+(X2-4)2，選擇初始點 x°(1,1)程序：先建立m文件：Function f=ff6(x) f(1)=2*x(2)-2*x(1);f(2)=x(2)-4然后：調(diào)用x,resnorm, re

23、sidual=lsqnonlin(ff6,1,1) 結(jié)果： x =3.98963.9912resnorm =5.0037e-0094非負線性最小二乘非負線性最小二乘的標準形式為:minx21 Cx _d 2sub .tox _o其中：矩陣C和向量d為目標函數(shù)的系數(shù)，向量x為非負獨立變量在6.0版中則用函數(shù)lsqnonne®函數(shù) lsqnonneg格式 x = lsqnonneg(C,d) %C為實矩陣，d為實向量x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 為初始值且大于 0x = lsqnonneg(C,d,x0,options) % options 為指定 優(yōu)化參數(shù)x,r

24、esnorm = lsqnonneg()% resnorm=norm(C*x-d)A2x,resnorm,residual=lsqnonneg()%residual=C*x-dx,resnorm,residual,exitflag = Isqnonneg()x,resnorm,residual,exitflag,output = Isqnonneg()x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda=lsqnonneg()例5 一個最小二乘問題的無約束與非負約束解法的比較。 先輸入數(shù)據(jù)：>>C = 0.0372 0.2869; 0.68610.70

25、71; 0.6233 0.6245;0.6344 0.6170;>>d = 0.8587; 0.1781; 0.0747; 0.8405;>> Cd, Is qnonn eg(C,d)ans =-2.562703.11080.6929注意：1。當(dāng)問題為無約束線性最小二乘問題時，使用MATLAB 下的“ ”運算即可以解決。2.對于非負最小二乘問 題，調(diào)用 lsqnonneg(C,d)求解。§ 3多目標規(guī)劃模型多目標規(guī)劃定義為在一組約束下，多個不同的目標函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。數(shù)學(xué)模型：minfO, f2(x), fm(x)丨s.t g j (x) < 0 j=1

26、,2,k其中x=(x i ,x 2，,x n)為一個n維向量；f i(x)為目標函 數(shù),i=1,2,m; g j (x)為系統(tǒng)約束,j=1,2,k 。當(dāng)目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時， 不存在最優(yōu)解使所有目標函 數(shù)同時達到最優(yōu)。于是我們尋求有效解(又稱非劣解或非支配解或帕累托解)定義：若x“( x“ Q )的鄰域內(nèi)不存在 x ,使得 (x + A x Q )，且Fi x : :-x < Fi x i =1/ , mFj x -x : Fj x* 對某些 j則稱x“為有效解。多目標規(guī)劃問題的幾種常用解法：(1) 主要目標法其基本思想是：在多目標問題中，根據(jù)問題的實際情況， 確定一個目標為主要目標，

27、而把其余目標作為次要目標，并 且根據(jù)經(jīng)驗，選取一定的界限值。這樣就可以把次要目標作 為約束來處理，于是就將原來的多目標問題轉(zhuǎn)化為一個在新 的約束下的單目標最優(yōu)化問題(2) 線性加權(quán)和法f i(x) (i=1,2,m)的入j(j=1,2,m)然后相其基本思想是：按照多目標 重要程度，分別乘以一組權(quán)系數(shù)加作為目標函數(shù)而構(gòu)成單目標規(guī)劃問題mmin f = ' . j f j (x)jy其中例1:某鋼鐵廠準備用5000萬用于A、B兩個項目的技 術(shù)改造投資。設(shè)X2分別表示分配給項目A、B的投資。據(jù)專家預(yù)估計，投資項目A、B的年收益分別為70%和66% 同時，投資后總的風(fēng)險損失將隨著總投資和單項投

28、資的增加 而增加，已知總的風(fēng)險損失為0.02x12+0.01x22+0.04(x1+x2)2,問應(yīng)如何分配資金才能使期望的收益最大，同時使風(fēng)險損失 為最小。建立數(shù)學(xué)模型max f1(x)=70x 1+66x2min f2(x)= 0.02x 12+0.01x22+0.04(x1+x2)2s.tx1+x2< 50000< x1,0 <x2線性加權(quán)構(gòu)造目標函數(shù)：max f=0.5f 1(x) £.5f2(x)化最小值問題：min (-f)=- 0.5f 1(x) +0.5f 2(x)首先編輯目標函數(shù) M文件ffll.mfunction f=ff11(x)f=-0.5*(

29、70*x(1)+66*x(2)+0.5*(0.02*x(1)A2+0.01*x(2F2 +0.04*(x(1)+x(2)A2);調(diào)用單目標規(guī)劃求最小值問題的函數(shù)X0=1000,1000A=1 1; b=5000; lb=zeros(2,1);x,fval, exitflag=fmincon(ff11,x0, A,b,|,|,lb,|)f1=70*x(1)+66*x(2)f2=0.02*x(1)A2+0.01*x(2)A2+0.04*(x(1)+x(2)A2結(jié)果：x =307.1428 414.2857fval =-1.2211e+004exitflag =1f1 =4.8843e+004f2

30、=2.4421e+004(3) 極大極小法其基本思想是：對于極小化的多目標規(guī)劃，讓其中最大 的目標函數(shù)值盡可能地小，為此，對每個x R我們先求諸目標函數(shù)值fi(x)的最大值，然后再求這些最大值中的最 小值。即構(gòu)造單目標規(guī)劃：min f =咼諮fj(x)(4) 目標達到法對于多目標規(guī)劃：minf1(x), f2(x)，fm(x)】s.t g j (x)< 0 j=1,2,n先設(shè)計與目標函數(shù)相應(yīng)的一組目標值理想化向量* * *(f1,f2, fm),再設(shè)Y為一松弛因子標量。設(shè)W=(Wi，W2,，Wm)為權(quán)值系數(shù)向量。于是多目標規(guī)劃問題化為：minfj x Wj - f j* j 1, 2,

31、, mgj(x)乞 0j =1,2, ,k在Matlab的優(yōu)化工具箱中，fgoalattain函數(shù)用于解決此類問題。其數(shù)學(xué)模型形式為：min 丫F(x)- weight 丫 W goalc(x) w 0ceq(x)=0A x WbAeq x=beqlb WxW ub其中，x,weight,goal,b,beq,lb 和 ub 為向量，A 和 Aeq 為矩陣，c(x),ceq(x) 和F(x)為函數(shù)，調(diào)用格式：x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b) x=fgoalattain(F,x0,goal,wei

32、ght,A,b,Aeq,beq) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon options)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,op tions,P1,P2)x,fval=fgoalattain() x,fval,attainfacto

33、r=fgoalattain() x,fval,attainfactor,exitflag,output=fgoalattain() x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda=fgoalattain()說明：F為目標函數(shù)；x0為初值；goal為F達到的指定 目標； weight 為參數(shù)指定權(quán)重； A、b 為線性不等式約束的矩 陣與向量； Aeq 、beq 為等式約束的矩陣與向量； lb、ub 為變 量 x 的上、下界向量； nonlcon 為定義非線性不等式約束函 數(shù)c(x)和等式約束函數(shù)ceq(x); options中設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。x 返回最優(yōu)解；

34、fval 返回解 x 處的目標函數(shù)值； attainfactor 返回解 x 處的目標達到因子； exitflag 描述計算的退出條件； output 返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)； lambda 返回包含拉格 朗日乘子的參數(shù)。例2:某化工廠擬生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品A和B,其生產(chǎn)設(shè)備費用分別為 2 萬元/ 噸和 5 萬元/ 噸。這兩種產(chǎn)品均將造成環(huán)境 污染，設(shè)由公害所造成的損失可折算為A為4萬元/噸，B為1萬元/噸。由于條件限制，工廠生產(chǎn)產(chǎn)品A和B的最大生產(chǎn) 能力各為每月 5 噸和 6 噸，而市場需要這兩種產(chǎn)品的總量每 月不少于 7 噸。試問工廠如何安排生產(chǎn)計劃，在滿足市場需 要的前提下，使設(shè)備投資和公

35、害損失均達最小。該工廠決策 認為，這兩個目標中環(huán)境污染應(yīng)優(yōu)先考慮，設(shè)備投資的目標 值為 20 萬元，公害損失的目標為 12 萬元。建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)工廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品 A為xi噸，B為X2噸，設(shè)備投資費為 f(x 1), 公害損失費為 f(x 2), 則問題表達為多目標優(yōu)化問題：min f 1(x)=2x 1+5x2min f 2(x)=4x 1+x2s.t x i< 5x 2< 6X1+X27Xi ,x 2>0程序：首先編輯目標函數(shù) M文件ff12.mfunction f=ffi2(x)f(i)= 2*x(1)+5*x(2); f(2)= 4*x(1) +x(2);按給定目標取

36、： goal=20,12; weight=20,12; x0=2,2A=1 0; 0 1;-1 -1;b=5 6 -7;lb=zeros(2,1);x,fval,attainfactor,exitflag=fgoalattain(ff12,x0,g oal,weight,A,b,lb,)結(jié)果： x =2.9167 4.0833fval =26.2500 15.7500attainfactor =0.3125exitflag =1例 3： 某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品100公斤需 6個工時，生產(chǎn)乙產(chǎn)品 100 公斤需 8個工時。假定每 日可用的工時數(shù)為 48 工時。這兩種產(chǎn)品每 10

37、0 公斤均可獲 利 100 元。乙產(chǎn)品較受歡迎，且若有個老顧客要求每日供應(yīng) 他乙種產(chǎn)品 500 公斤，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃？建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1和x2(以100公斤計) ，要使生產(chǎn)計劃比較合理，應(yīng)考慮用工時盡量少，獲 利盡量大，其用多目標規(guī)劃描述這：min f 1=6x1+8x2max f2=100(x1+x2)max f3=x2s.t 6x1+8x2< 48x2> 5x1 ,x2> 0將其標準化為：min f1=6x1+8x2min - f 2=-100(x1+x2)min - f 3=-x2s.t 6x1+8x2< 48-X2 w -5

38、Xi ,X2> 0程序：首先編輯目標函數(shù)M文件ff13.mfunction f=ff13(X)f(1)= 6*x(1)+8*x(2);f(2)= -100*(x(1) +x(2);f(3)=-x(2);按給定目標?。篻oal=48 -1000 -5;weight=48 -1000 -5;x0=2 2;A=6 8; 0 -1;b=48 -5; lb=zeros(2,1);x,fval,attainfactor,exitflag=fgoalattain(ff13,x0,goal,weigh t,A,b,lb,)結(jié)果： X =1.3333 5.0000fval =48.0000 -633.33

39、33-5.0000attainfactor =1.6338e-008eXitflag =1即生產(chǎn)計劃為每日生產(chǎn)甲產(chǎn)品 133.33 公斤，生產(chǎn)乙產(chǎn)品500 公斤。§ 4 最大最小化模型基本思想：在對策論中， 我們常遇到這樣的問題： 在最不 利的條件下，尋求最有利的策略。在實際問題中也有許多求 最大值的最小化問題。例如急救中心選址問題就是要規(guī)劃其 到所有地點最大距離的最小值。在投資規(guī)劃中要確定最大風(fēng) 險的最低限度等等。為此，對每個x R,我們先求諸目標值f i(X) 的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。最大最小化問題的數(shù)學(xué)模型:minxmaxF ix :s tC ( X )乞 0c

40、eq ( x )二0Ax乞bAeqx 二beqlbx 豈ub求解最大最小化問題的函數(shù)為fminimax調(diào)用格式：x=fminimax(F,x0Jx=fminimax(F,x0,A,b) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options

41、,P1,P2) x,fval=fminimax( )x,fval,maxfval=fminimax( ) x,fval,maxfval,exitflag,output=fminimax() x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda=fminimax()說明：F為目標函數(shù)；x0為初值；A、b為線性不等式 約束的矩陣與向量；Aeq、beq為等式約束的矩陣與向量；lb、 ub為變量x的上、下界向量；nonIcon為定義非線性不等式 約束函數(shù)c(x)和等式約束函數(shù)ceq(x) ； options中設(shè)置優(yōu)化參 數(shù)。x返回最優(yōu)解；fval返回解x處的目標函數(shù)值；maxfv

42、al返回解x處的最大函數(shù)值；exitflag描述計算的退出條件； output返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)；lambda返回包含拉格朗日乘子的參數(shù)。例1求解下列最大最小值問題：min maxfi（x）, f2（x）, f3（x）, f4（x）f2（x）5XX2 - 4x22f3（x）二 Xi6X2712x1x< 20其中 f“（x）二 3x； 2x2 12x1 35f4（x） = 4xf + 9x；-首先編輯 M文件ff14.mfunction f=ff14(x)f(1)=3*x(1)八2+2*x(2)八2-12*x(1)+35; f(2)=5*x(1)*x(2)-4*x(2)+7; f(3)=x(1)A2+6*x(2); f(4)=4*x(1)A2+9*x(2)A2-12*x(1)*x(2)+20;