2414圓周角（教案）

1、24.1.4 圓周角【知識與技能】理解圓周角的概念.探索圓周角與同弧所對的圓心角之間的關系，并會用圓周角定理及推論進行有關計算和證明.【過程與方法】經歷探索圓周角定理的過程，初步體會分類討論的數(shù)學思想，滲透解決不確定的探索型問題的思想和方法，提高學生的發(fā)散思維能力.【情感態(tài)度】通過積極引導，幫助學生有意識地積累活動經驗，獲得成功的體驗.【教學重點】圓周角定理及其推論的探究與應用.【教學難點】圓周角定理的證明中由一般到特殊的數(shù)學思想方法以及圓周角定理及推論的應用.一、情境導入，初步認識如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗AB觀看窗內的海洋動物，同學甲站在圓心O的

2、位置.同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（AOB和ACB）有什么關系？如果同學丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（ADB和AEB）和同學乙的視角相同嗎？相同，2ACB=2AEB=2ADB=AOB【教學說明】教師出示海洋館圖片，引導學生思考，引出課題，學生觀察圖形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，獲取新知1.圓周角的定義探究1 觀察下列各圖，圖（1）中APB的頂點P在圓心O的位置，此時APB叫做圓心角，這是我們上節(jié)所學的內容.圖（2）中APB的頂點P在O上，角的兩邊都與O相交，這樣的角叫圓周角.請同學們分析（3）、（4）、（5）、（6）是圓心角還是圓周角.【教學說

3、明】設計這樣的一個判斷角的問題，是再次強調圓周角的定義，讓學生深刻體會定義中的兩個條件缺一不可.【歸納結論】圓周角必須具備兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都與圓相交.二者缺一不可.2.圓周角定理探究2如圖，（1）指出O中所有的圓心角與圓周角，并指出這些角所對的是哪一條弧？（2）量一量D、C、AOB的度數(shù)，看看它們之間有什么樣的關系？（3）改變動點C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)其中有規(guī)律嗎？若有規(guī)律，請用語言敘述.解：（1）圓心角有：AOB圓周角有：C、D，它們所對的都是（2）C=D=1/2AOB.（3）改變動點C在圓周上的位置，這些圓周角的度數(shù)沒有變化，并且圓周角的度數(shù)恰好

4、等于同弧所對圓心角度數(shù)的一半.【教學說明】教師利用幾何畫板測量角的大小，移動點C，讓學生觀察當C點位置發(fā)生改變過程中，圖中有哪些不變，從而交流總結，找出規(guī)律，同時引導學生觀察圓心與圓周角的位置關系，為定理分情況證明作鋪墊.為了進一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結論，如圖，在O上任取一個圓周角ACB，將圓對折，使折痕經過圓心O和ACB的頂點C.由于點C的位置的取法可能不同，這時折痕可能會：（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內部；（3）在圓周角的外部.已知：在O中，所對的圓周角是ACB，圓心角是AOB，求證：ACB=1/2AOB.提示分析：我們可按上面三種圖形、三種情況進行證明.如圖（1），圓心O在AC

5、B的邊上，OB=OC，B=C，而BOA=B+C，B=C=1/2AOB.圖（2）（3）的證明方法與圖（1）不同，但可以轉化成（1）的基本圖形進行證明，證明過程請學生們討論完成.得出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半.注意：定理應用的條件是“同圓或等圓中”，而且必須是“同弧或等弧”，如下圖（1）.若將定理中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結論就不成立了.因為一條弦所對的圓周角有兩種情況，它們一般不相等（而是互補）.如下圖（2）.【教學說明】在定理的證明過程中，要使學生明確，要不要分情況來證明.若要分情況證明，必須要明白按什么標準來分情況，然后針對

6、各種不同的情況逐個進行證明.在證明過程中，第（1）種情況是特殊情況，是比較容易證明的，經過添加直徑這條輔助線將（2）、（3）種情況轉化為第（1）種情況，體現(xiàn)由一般到特殊的思想方法。對于后面要學生注意的兩個問題，是為了加強學生對圓周角定理的理解，使學生能準確的掌握好圓周角定理。3.圓周角定理的推論議一議（1）特殊的弧半圓，它所對的圓周角是多少度呢？（2）如果一條弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是多少呢？結論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.（圓周角定理的推論）【教學說明】這個推論是圓中很重要的性質，為在圓中確定直角，構成垂直關系創(chuàng)

7、造了條件.同時這一結論為在圓中證明直徑提供了重要依據(jù).4.圓內接四邊形定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形.O是四邊形ABCD的外接圓.連接OB、OD，由圓周角定理可知：A=1/21，C=1/22而1+2=360°，A+C=A與C互補，同理可得ADC+ABC=180°.由此可知在O的內接四邊形ABCD中，對角A與C，ADC與ABC互補.若延長BC至E，使得四邊形ABCD有一個外角DCE，則DCE+BCD=180°.A=DCE.即：外角DCE與內對角A相等.由此可

8、知圓內接四邊形有如下性質：圓內接四邊形的對角互補，外角等于內對角.【教學說明】從圓內接四邊形的定義出發(fā)，可知圓內接四邊形的四個內角都是圓周角，再由圓周角定理，把圓周角與相應的圓心角聯(lián)系起來，就很容易得出圓內接四邊形的性質定理.對于這個性質，學生要能分清這個命題的題設和結論，并結合圖形寫出已知和求證.三、典例精析，獲取新知例1如圖，O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，ACB的平分線交O于D.求BC、AD、BD的長.分析：由直徑AB可知ACB和ADB為直角三角形，進而可用勾股定理求BC，又由CD平分ACB可知1=2，從而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的長.解：AB為O的直徑，AC

9、B=ADB=90°，ACB和ADB為直角三角形.在RtABC中，BC=8（cm）.CD平分ACB，1=2，AD=BD， .又在RtABD中，AD=BD=/2 AB=5（cm）【教學說明】利用圓周角定理及其推論，將求線段長的問題轉化到解直角三角形的問題上來.例2 如圖.AB為O的直徑，點C、D在O上，AOD=30°.求BCD的度數(shù).分析：這題有兩種解答思路，可用圓周角定理，C=（180°+AOD）×1/2，也可由圓內接四邊形的對角互補知：C+A=180°.而A=D，是等腰OAD的兩底角，從而可求出C.兩種方法都不難求出C=105°.【教

10、學說明】教師提示，學生可自主選擇方法，并由學生板書解答過程，發(fā)展學生的數(shù)學符號語言能力.四、運用新知，深化理解1.如圖（1）所示，O的直徑AE=10cm.B=EAC，求AC的長.2.如圖（2）所示，AB是O的直徑，以AO為直徑的C與O的弦AD相交于點E.（1）你認為圖中有哪些相等的線段？（2）連接OE、BD.你認為OE與BD之間的關系是怎樣的？3.如圖（3）所示，兩圓相交于A、B兩點，小圓經過大圓的圓心O，點C、D分別在兩圓上，若ADB=100°，求ACB的度數(shù).【教學說明】讓學生通過習題鞏固本節(jié)知識點，同時體會這節(jié)常見題型及常見輔助線的作法.在解題過程中，教師要對沒有找到方法的學生進行點撥.【答案】1. 5cm 2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE (2)OE=1/2BD且OEBD3.40°五、師生互動，課堂小結師生共同回顧本節(jié)所學的知識點有哪些？常見的輔助線有哪些？【教學說明】學生自主交流小結，教師加以補充和點評，營造輕松愉悅的氛圍.1.布置作業(yè)：從教材“習題24.1”中選取.2.完成練習冊中本課時 練習的“課后作業(yè)”部分.1.這節(jié)課首先是類比圓心角得出圓周角的概念.在探索圓周角與圓心角關系過程中，要求學生學會分類討論，以及轉化的數(shù)學思想解決問題，同時也培養(yǎng)了學生勇于探索的精神.其次，本節(jié)