單因素方差分析方法

1、單因素方差分析方法首先在單因素試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，求出總方差V、組內(nèi)方差Vw、組間方差VB總方差2Xij -X組內(nèi)方差Vw = ' Xij - Xi組間方差VB=b' Xi -X從公式可以看出，總方差衡量的是所有觀測值Y對(duì)總均值X的偏離程度，反映了抽樣隨 Xij機(jī)誤差的大小，組內(nèi)方差衡量的是所有觀測值V對(duì)組均值X的偏離程度，而組間方差則衡Xij量的是組均值 y.對(duì)總均值x的偏離程度，反映系統(tǒng)的誤差。X i在此基礎(chǔ)上，還可以得到組間均方差和組內(nèi)均方差:組間均方差SbVba 1組內(nèi)均方差2SwVwab - a在方差相等的假定下，要檢驗(yàn)n個(gè)總體的均值是否相等，須首先給定原假設(shè)和備擇假設(shè)

2、。原假設(shè)H°：均值相等W=七備擇假設(shè)h 1:均值不完全不相等則可以應(yīng)用F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行方差檢驗(yàn)：2A.Vb a T SbF= 2Vw ab -bSw該統(tǒng)計(jì)量服從分子自由度a-1,分母自由度為ab-a的F分布。給定顯著性水平a,如果根據(jù)樣本計(jì)算出的F統(tǒng)計(jì)量的值小于等于臨界值Fot（a 一 1,ab - a ）,則說明原假設(shè) h 0不成立，總體均值不完全相等，差異并非僅由隨機(jī)因素引起。下面通過舉例說明如何在EXcel中實(shí)現(xiàn)單因素方差分析。例1:單因素方差分析某化肥生產(chǎn)商需要檢驗(yàn)三種新產(chǎn)品的效果，在同一地區(qū)選取3塊同樣大小的農(nóng)田進(jìn)行試驗(yàn)，甲農(nóng)田中使用甲化肥， 在乙農(nóng)田使用乙化肥， 在丙地使用丙

3、化肥， 得到6次試驗(yàn)的結(jié) 果如表2所示，試在0.05的顯著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差異。表2 三塊農(nóng)田的產(chǎn)量甲504649524848乙495047474649丙515049465050要檢驗(yàn)三種化肥的肥效是否存在顯著差異，等同于檢驗(yàn)三者產(chǎn)量的均值是否相等：給定原假設(shè)h 0 ：三者產(chǎn)量均值相等；備擇假設(shè)h 1 :三者的產(chǎn)量均不相等，對(duì)于影響產(chǎn)量的因素僅化肥種類一項(xiàng)，因此可以采用單因素方差分析進(jìn)行多總體樣本均值檢驗(yàn)。新建工作表“例1”，分別單擊B3: D8單元格，輸入表 2的產(chǎn)量數(shù)值。計(jì)算組均值，對(duì)應(yīng)甲的均值，單擊B9單元格，在編輯欄輸入" =AVERAGE ( B3: B

4、8) ” ,再次單擊B9單元格，拖曳鼠標(biāo)至 D9單元格，求出乙和丙的組均值。計(jì)算總均值，單擊 B10單元格，在編輯欄輸入" =AVERAGE ( B9: D9) ”。計(jì)算機(jī)結(jié)果如 圖1所示ABCD1單因素方差分析2甲乙丙350495144650505494749652474643465084S49509組均值10總均信11圖1 2計(jì)算女.x，)，并求各組的組內(nèi)方差Vw的值。2求甲組 X Xi j的值，單擊B14單元格，在編輯欄輸入" =(B3-$B$9) A2”。再次單擊B14單元格，拖曳鼠標(biāo)至B19單元格。2求乙組(Xij -Xi j的值，單擊 C14單元格，在編輯欄輸入

5、" =(C3-$C$9) A2”。再次單 擊C14單元格，拖曳鼠標(biāo)至 C19單元格。2求丙組(Xij -Xi，的值，單擊 D14單元格，在編輯欄輸入" =(D3-$D$9 ) A2”。再次單 擊D14單元格，拖曳鼠標(biāo)至 D19單元格。計(jì)算Vw的值，單擊C20單元格，在編輯欄輸入" =SUM ( B14: D19) ”。計(jì)算結(jié)果如圖2所示。AB CDE748465084849509組均值48. 8348. 0049. 3310總均值48. 7248. 6749. 331112求組間月差13甲乙丙141,36111112. 77777815&02777840.

6、444444160. 02777810.1111111710, 02778111.11111180. 69444440. 444444190. 69444410. 44444420348.1721圖32根據(jù)組均值和總均值求(Xi-x，的值，單擊B24單元格，在編輯欄輸入"=(B9- $ B$ 10)人2”。再次單擊B24單元格，拖曳鼠標(biāo)至 D24單元格，求出三個(gè)組的值。計(jì)算組間方差 V B，單擊C25單元格，在編輯欄輸入" =6*SUM(B24:D24) ”。計(jì)算結(jié)果如圖3所示。2122求組間方差23|甲乙丙240. 010. 520. 3725VB5. 4426圖3計(jì)算

7、F統(tǒng)計(jì)量的值，單擊 C28單元格，在編輯欄輸入" =C25/ (C27-1 ) / ( C20/ (C27*E27-C27 )”。計(jì)算 Fa的值，單擊 C30單元格，在編輯欄輸入 "=FINV (C29, C27-1, C27*E27-C27 )”。根據(jù)臨界值給出的檢驗(yàn)結(jié)果，單擊C31單元格，在編輯欄輸入" =IF (C28>C30, ”三者產(chǎn)量均值不完全相等”，”三者產(chǎn)量均值相等”廣。最終結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，運(yùn)用單因素方差分析，接受了原假設(shè) h 0，因此在0-05的顯著性水平下可以認(rèn)為三者的均值相等，即三者的肥效無顯著差異。2048.1721

8、22求組間碧差23|甲乙丙_240.010. 520. 3725vB5.442627a3b628F0.84775129a0. 0530E3. 6823231驗(yàn)結(jié)果三者產(chǎn)量均值相等32圖4二、方差分析表在實(shí)際工作中，常常將上面的方差分析的過程歸納為一張表格，通過這張表格可以直觀地顯示出方差分析過程中各個(gè)參數(shù)的值。方差分析表作為一種默認(rèn)的方差分析形式，被許多軟件作為方差分析的結(jié)果輸出。后面介紹的Excel單 因素分析工具的結(jié)果輸出中，最終便是以方差分析的形式給出分析結(jié)果。對(duì)應(yīng)方差分析的結(jié)構(gòu)如表3所示，其中對(duì)于組間方差的計(jì)算可直接根據(jù)公式V wVw=V- VB 給出。表3方差分析表萬差自由度均方差F

9、統(tǒng)計(jì)值組間方差V B2Vb =b£（Xi-x）a-1八2/_ VbSB4a-12Af=¥ASw組內(nèi)方差V wVw=V- VbAb-a2八/_ VwSw -ab-a總?cè)f差V2V= £ 女 -x）Ab-1下面通過舉例說明如何采用方差分析表給出單因素方差分析的結(jié)果。例2 方案分析表某公司研制出了 A、B、C、D4種新型生產(chǎn)設(shè)備，讓6個(gè)熟練工人分別操作相同的時(shí)間，統(tǒng)計(jì)他們生產(chǎn)的零件的數(shù)量如表4所示，試在0.01的顯著水平下檢驗(yàn)這 4種設(shè)備單位時(shí)間生產(chǎn)的零件數(shù)是否存在顯著差異。4種機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)量A754650567348B475065724649C48505246496

10、5D684849635170需要檢驗(yàn)4中設(shè)備單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的零件數(shù)是否存在顯著差異，對(duì)應(yīng)原假設(shè)H 0 : 4種設(shè)備生產(chǎn)的零件數(shù)均值相等；備擇假設(shè)H 1 : 4種設(shè)備生產(chǎn)零件數(shù)均值不相等，可采用單因素方差分析予以檢驗(yàn)。新建一工作表“例 2 ”，分別單擊B3: E8單元格，輸入表4中的零件數(shù)。計(jì)算組均值。對(duì)應(yīng) A組的均值，單擊 B9單元格，在編輯欄輸入" =AVERAGE(B3:B8) ”， 再次單擊B9單元格，拖曳鼠標(biāo)至 D9單元格，求出 B、C、D的組均值。計(jì)算總均值。單擊 B10單元格，在編輯欄輸入" =AVERAGE(B9 : D9) ”。計(jì)算結(jié)果如圖 5 所示。ABC

11、DE1_F1方差分析表2ACD3754768446504S55065496567263773465184849709組均值58. 0054, 8358,1710總均值57,0011根據(jù)組均值和總均值計(jì)算組間方差Vb。求(Xi-x 2的值，單擊 B14單元格，在編輯欄輸入" =(B9- $ B$ 10) A2”。再次單擊 B14單元格，拖曳鼠標(biāo)至 E14單元格，求出三個(gè)組的值。計(jì)算Vb的值，單擊C15單元格，在編輯欄輸入" =SUM (B14: E14) *6 ”。計(jì)算結(jié)果 如圖6所示。9組均值5& 0054. 8351.6758,1710總均值55. 671112求

12、蛆間方差13ABCD145. 440.6916.006. 25VB170.3316圖6根據(jù)總均值計(jì)算方差 V。2求(Xij X j的值，單擊B19單元格，在編輯欄輸入" =(B3- $ B$ 10) A2 ”。再次單擊B19單元格，拖曳鼠標(biāo)至E24單元格，求出所有的值。計(jì)算v的值，單擊 C25單元格，在編輯欄輸入" =SUM( B19: E24)”。計(jì)算結(jié)果如圖 7 所示。1617求總方差18ABCD19373. 78花,1158. 78152.112093. 4432,1132.1158. 782132.1187.1113. 4444. 44220.11266. 7893

13、. 4453. 7823300. 4493. 4444. 442L 782458. 7844. 4487.11205. 4425V2323. 3326方差分析表結(jié)構(gòu)，根據(jù)總方差和組間方差計(jì)算組內(nèi)方差，單擊 C33單元格在編輯欄輸入 " =C34-C32”分別給出自由度，單擊D32單元格，在編輯欄輸入" =C27-1”；單擊D33單元格，在編輯欄輸入" =C27*E27-C27” ；單擊D34單元格，在編輯欄輸入" =C27*E27 1”。計(jì)算方差分析表中的均方差。組間均方差，單擊 E32單元格，在編輯欄輸入"=C32/D32”。組內(nèi)均方差，單擊

14、 E33單元格，在編輯欄輸入"=C33/D33”。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值，單擊F32單元格，在編輯欄輸入"=E32/E33”。結(jié)果如圖9所示。26 1 II I I III新a4b628a0. 0.12930方差分析表3132組間方差Vb方差170. 33自由度3均方差56. 77667F值 0.527419P值33組內(nèi)方差215320107. 6&34總力差V2323. 33233536圖9(10)根據(jù)F值計(jì)算p值，單擊 G32單元格，在編輯欄輸入" =FDIST (F32, D32, D33 ”。說明：1-p值反映了可以以多大的把握認(rèn)為原假設(shè)成立。如果計(jì)算的

15、p值小于給定的顯著性水平0.05則應(yīng)該接受原假設(shè)，否則應(yīng)拒絕原假設(shè)。(11)給出檢驗(yàn)結(jié)論，單擊C36單元格，在編輯欄輸入" =IF (G32<C28, “四種設(shè)備生產(chǎn)的零件數(shù)均值相等”，“四種設(shè)備生產(chǎn)零件數(shù)均值不相等”)”。結(jié)果如圖10所示30方差分析表31方差自由度均方差F值P值32組間方差170. 3335S. 777780. 5274290. 66852333組內(nèi)方差215320107.6534總方差V2321 33233536檢驗(yàn)結(jié)論四種設(shè)備生產(chǎn)的零件數(shù)均值不相等37圖10從圖10可以看出，運(yùn)用方差分析表，拒絕原假設(shè)H。，因此在0-01的顯著性水平下認(rèn)為三者均值不相等，即四種設(shè)備單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的零件數(shù)的均值不相等。在Excel運(yùn)用方差分析-單因素方差分析工具進(jìn)行方差分析。例3 方差分析：單因素方差分析仍采用例2中的數(shù)據(jù)，某公司研制出了A、B、G D4種新型設(shè)備，讓 6個(gè)熟練工人分別操作相同的時(shí)間，統(tǒng)計(jì)生產(chǎn)的零件數(shù)量如表4所示，試應(yīng)用方差分析：單因素方差分析在0-01的顯著性水平下檢驗(yàn)這 4種設(shè)備