任意階幻方的填法

1、1 1（2 2）對于一個）對于一個n n階正規(guī)幻方，階正規(guī)幻方，我們先假設其幻方常數(shù)為我們先假設其幻方常數(shù)為X X則該幻方每一行的和都為則該幻方每一行的和都為X X，共有共有n n行，所以，行，所以，n n階幻方的和就是階幻方的和就是n n* *X X另一方面另一方面n n階幻方包含了從階幻方包含了從1 1到的所有正整數(shù)到的所有正整數(shù)所以該幻方的和就應該為所以該幻方的和就應該為因此就有因此就有n n* *X=X=即即n n階幻方常數(shù)為階幻方常數(shù)為()2/*+1=+3+2+1222nnn()2/*+122nn()2/*+12nn4 4）七階幻方：（幻和為）七階幻方：（幻和為175175）3030

2、393948481 1101019192828383847477 79 918182727292946466 68 817172626353537375 51414161625253434363645451313151524243333424244444 4212123233232414143433 3121222223131404049492 211112020接下來我們來尋找填接下來我們來尋找填n n階幻方的通法，階幻方的通法，目前填目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。又有各種各樣的填寫方法。三類幻方三類幻方單偶階幻方單

3、偶階幻方奇數(shù)階幻方奇數(shù)階幻方雙偶階幻方雙偶階幻方1 1、奇數(shù)階幻方、奇數(shù)階幻方 n n為奇數(shù)為奇數(shù) (n=2(n=2k+1k+1，k=1k=1，2 2，3 3，) ) 奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法( (有人稱之為樓梯法有人稱之為樓梯法) )。填寫方法是這樣：填寫方法是這樣： 把把1(1(或最小的數(shù)或最小的數(shù)) )放在第一行正中；放在第一行正中； 按以下規(guī)律排列剩下的按以下規(guī)律排列剩下的n nn-1n-1個數(shù)：個數(shù)： (1)(1)每一個數(shù)放在前一個數(shù)的右上一格；每一個數(shù)放在前一個數(shù)的右上一格； (2)(2)如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放如果這個

4、數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；在底行，仍然要放在右一列；(3)(3)如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)(4)如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列，那么就把它放在前一個數(shù)的下一行同一列的格右列，那么就把它放在前一個數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)；內(nèi)； (5)(5)如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同(4)(4)。 這種寫法總是先向這種寫法總

5、是先向“右上右上”的方向，象是在爬樓梯。的方向，象是在爬樓梯。例如：三階幻方和上面的七階幻方。例如：三階幻方和上面的七階幻方。2 2、雙偶階幻方、雙偶階幻方 n n為偶數(shù)，且能被為偶數(shù)，且能被4 4整除整除 (n=4k (n=4k，k=1k=1，2 2，3 3，4 4，5)5)可用可用 ,方法很簡單方法很簡單: : 1) 1) 把自然數(shù)依次排成方陣把自然數(shù)依次排成方陣 2) 2) 把幻方劃成把幻方劃成4 4* *4 4的小區(qū)的小區(qū), ,每個小區(qū)劃對角線每個小區(qū)劃對角線, , 3) 3) 把這些對角線所劃到的數(shù)把這些對角線所劃到的數(shù), ,保持不動保持不動, , 4) 4) 把沒劃到的數(shù)把沒劃到的

6、數(shù), ,按幻方的中心按幻方的中心, ,以中心對稱以中心對稱的方式的方式, ,進行對調(diào)進行對調(diào), , 幻方完成幻方完成! ! 例如：四階幻方例如：四階幻方1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161 1151514144 412126 67 79 98 8101011115 513133 32 216161 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313141415151616畫對畫對角線角線對調(diào)對調(diào)幻方常數(shù)為幻方常數(shù)為34341 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011

7、1112121313141415151616171718181919202021212222232324242525262627272828292930303131323233333434353536363737383839394040414142424343444445454646474748484949505051515252535354545555565657575858595960606161626263636464再來看看八階幻方：再來看看八階幻方：12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383

8、94041424344454647484950515253545556575859606162636416362455958856101153521415494818194544222341253938282935343233313036372726402442432120464717165051131254559577660613264幻方常數(shù)為幻方常數(shù)為260260最后我們來看一看單偶階的幻方，這也是三最后我們來看一看單偶階的幻方，這也是三種情況中最復雜的一種。種情況中最復雜的一種。 n n為偶數(shù)，且不能被為偶數(shù)，且不能被4 4整除整除 (n=4k+2(n=4k+2，k=1k=1，2 2，

9、3 3，)1)1)把方陣分為把方陣分為A A，B B，C C，D D四個象限，這樣每一個象限肯四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數(shù)階。用樓梯法，依次在定是奇數(shù)階。用樓梯法，依次在A A象限，象限，D D象限，象限，B B象限，象限，C C象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù)。象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù)。這里我們以這里我們以6 6階為例階為例261924212325222720352833303234313629816357492171015121416131811ABCD352833303234313629816357492(2)在在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。格。A象限象限的其它行則標出最左邊的的其它行則標出最左邊的k格。將這些格，和格。將這些格，和C象限相對位置上的數(shù)，互換象限相對位置上的數(shù)，互換位置。位置。(6階時階時k=1)351633273192828333053443629 (3) 在在B象限任一行的中間格，自右向左，標出象限任一行的中間格，自右向左，標出k-1列。列。(注：注：6階幻方由于階幻方由于k-1=0，所以，所以不用再作不用再作B、D象限的數(shù)據(jù)交換