備考2022數(shù)學(xué)類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題（解析版）

1、類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題例1、如圖，已知拋物線與軸交于a、b兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)c（1）求a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過點(diǎn)a作apcb交拋物線于點(diǎn)p，求四邊形acbp的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)m，過m作mg軸于點(diǎn)g，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似若存在，請求出m點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 a b c （2）oa=ob=oc= bac=aco=bco=apcb， pab= 過點(diǎn)p作pe軸于e，則ape為等腰直角三角形令oe=，則pe= p點(diǎn)p在拋物線上 gmcbypa解得，（不合題意，舍去） pe=四邊形acbp的面積=abo

2、c+abpe=(3) 假設(shè)存在pab=bac = paacmg軸于點(diǎn)g， mga=pac =在rtaoc中，oa=oc= ac=在rtpae中，ae=pe= ap= 設(shè)m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則m 點(diǎn)m在軸左側(cè)時(shí)，則() 當(dāng)amg pca時(shí)，有=ag=，mg=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)mag pca時(shí)有=即 解得：（舍去） m gmcbypa 點(diǎn)m在軸右側(cè)時(shí)，則 () 當(dāng)amg pca時(shí)有=ag=，mg= 解得（舍去） m () 當(dāng)magpca時(shí)有= 即 解得：（舍去） m 存在點(diǎn)m，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似m點(diǎn)的坐標(biāo)為，例2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，abc是直角三角形,

3、acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，拋物線經(jīng)過a，b兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為d（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)e是直角三角形abc斜邊ab上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)a、b除外)，過點(diǎn)e作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)f，當(dāng)線段ef的長度最大時(shí)，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)p，使efp是以ef為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】解：（1）由已知得：a（-1，0） b（4，5）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)a（-1，0）b(4,5)解得：b=-2 c=-3（2）如題圖：直線ab經(jīng)過點(diǎn)a（-1，0） b(4,5)直線ab的

4、解析式為：y=x+1二次函數(shù)設(shè)點(diǎn)e(t， t+1),則f（t，）ef= =當(dāng)時(shí)，ef的最大值=點(diǎn)e的坐標(biāo)為（，）（3）如題圖：順次連接點(diǎn)e、b、f、d得四邊形 可求出點(diǎn)f的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)d的坐標(biāo)為（1，-4） s=s+s = = 如題備用圖：)過點(diǎn)e作aef交拋物線于點(diǎn)p,設(shè)點(diǎn)p(m,)則有： 解得:, ,）過點(diǎn)f作bef交拋物線于，設(shè)（n，）則有： 解得： ，（與點(diǎn)f重合，舍去）綜上所述：所有點(diǎn)p的坐標(biāo)：，（. 能使efp組成以ef為直角邊的直角三角形例3、如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于a、b兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)p，頂點(diǎn)為c（1，2）.（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）作點(diǎn)c關(guān)于軸的對稱點(diǎn)d，順次

5、連接a、c、b、d.若在拋物線上存在點(diǎn)e，使直線pe將四邊形abcd分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)f，使得pef是以p為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)f的坐標(biāo)及pef的面積；若不存在，請說明理由.【解析】（1）的頂點(diǎn)為c（1，2）， （2）設(shè)直線pe對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為由題意，四邊形acbd是菱形. 故直線pe必過菱形acbd的對稱中心m由p(0，1)，m（1，0），得從而， 設(shè)e(，)，代入，得 解之得，根據(jù)題意，得點(diǎn)e(3，2) （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)f，可設(shè)f(，)過點(diǎn)f作fg軸，垂足為點(diǎn)g.在rtpom和rtfgp中，omp+o

6、pm=90°，fpg+opm=90°，omp=fpg，又pom=pgf，pomfgp. 又om=1，op=1，gp=gf，即解得，根據(jù)題意，得f(1，2)故點(diǎn)f(1，2)即為所求 例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為q，且與軸交于點(diǎn)c，與軸交于a、b兩點(diǎn)（點(diǎn)a在點(diǎn)b的右側(cè)），點(diǎn)p是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)c沿拋物線向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)p與a不重合），過點(diǎn)p作pd軸，交ac于點(diǎn)d(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)adp是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)e在軸上，點(diǎn)f在拋物線上，問是否存在以a、p、e、f為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)f的坐標(biāo)；若不存在，

7、請說明理由【解析】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為q（2，1）設(shè)將c（0，3）代入上式，得， 即（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)p1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)p1與點(diǎn)b重合(如圖)令=0, 得解之得, 點(diǎn)a在點(diǎn)b的右邊, b(1,0), a(3,0)p1(1,0) 解:當(dāng)點(diǎn)a為apd2的直角頂點(diǎn)是(如圖)oa=oc, aoc=, oad2=當(dāng)d2ap2=時(shí), oap2=, ao平分d2ap2又p2d2軸, p2d2ao, p2、d2關(guān)于軸對稱設(shè)直線ac的函數(shù)關(guān)系式為將a(3,0), c(0,3)代入上式得, d2在上, p2在上,設(shè)d2(,), p2(,)()+()=0, , (舍)當(dāng)=2時(shí), =1 p2的坐標(biāo)為p2(2,1)(即為拋物線頂點(diǎn))p點(diǎn)坐標(biāo)為p1(1,0), p2(2,1) (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為p1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平