ch函數(shù)的單調(diào)性和極值最值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ch函數(shù)的單調(diào)性和極值最值函數(shù)的單調(diào)性和極值最值xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fx定理1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第1頁(yè)/共45頁(yè)證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若

2、在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 第2頁(yè)/共45頁(yè)說(shuō)明：（1）對(duì)無(wú)窮區(qū)間定理也成立. , 0 xf且等號(hào)在有限點(diǎn)處成立，則結(jié)論也成立，如;3xy （2）若定理設(shè)函數(shù) f (x) 在 a , b上連續(xù) , (a , b)上可導(dǎo) ,且 , x(a , b) , 則 0 )( xfcxf )(, xa , b第3頁(yè)/共45頁(yè)例1解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y

3、函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(:D又又第4頁(yè)/共45頁(yè)問(wèn)題:如上例1，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法:.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第5頁(yè)/

4、共45頁(yè)例2解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2第6頁(yè)/共45頁(yè)例3解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)

5、當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為，0 ,()., 0 32xy 第7頁(yè)/共45頁(yè)例5 證明：當(dāng)1 x時(shí)，xx132 證明：設(shè) xxxf132 211xxxf 所以當(dāng)1 x時(shí)， xf單調(diào)遞增，又 01 f所以當(dāng)1 x時(shí)， 01 fxf即xx132 xxxx22 0 可以利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式第8頁(yè)/共45頁(yè)oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第9頁(yè)/共45頁(yè).)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(00000000

6、0的的一一個(gè)個(gè)極極小小值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成立立外外除除了了點(diǎn)點(diǎn)任任何何點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成立立外外除除了了點(diǎn)點(diǎn)任任何何點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)是是內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第10頁(yè)/共45頁(yè)(1) 極值是局部概念，最值是整體概念；極值是局部概念，最值是整體概念；(2)

7、 極值點(diǎn)肯定不會(huì)是端點(diǎn)；極值點(diǎn)肯定不會(huì)是端點(diǎn)；(3) 極小值可能會(huì)大于極大值；極小值可能會(huì)大于極大值；(4) 區(qū)間內(nèi)的最值點(diǎn)必為極值點(diǎn)。區(qū)間內(nèi)的最值點(diǎn)必為極值點(diǎn)。xy4xab極大點(diǎn)極大點(diǎn)1x3x極小點(diǎn)極小點(diǎn)2x4x3x1x2x第11頁(yè)/共45頁(yè) 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . 定理2(必要條件)定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的

8、極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x第12頁(yè)/共45頁(yè) 函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)通稱為函數(shù)的臨界點(diǎn). 上面的定理也可以敘述為：函數(shù)的極值點(diǎn)必為臨界點(diǎn).定理2 (必要條件)第13頁(yè)/共45頁(yè)( (1 1) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極大大值值. . ( (2 2) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極小小值值. . ( (

9、3 3) )如如果果當(dāng)當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf 符符號(hào)號(hào)相相同同, ,則則)(xf在在 0 x處處無(wú)無(wú)極極值值. . 定理3(一階充分條件)xyo0 x xyo0 x 第14頁(yè)/共45頁(yè)xyoxyo0 x0 x (不是極值點(diǎn)情形)第15頁(yè)/共45頁(yè)求極值的步驟:);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù); )()()2(的點(diǎn)的點(diǎn)不存在不存在為零的點(diǎn)和為零的點(diǎn)和求臨界點(diǎn)，即求臨界點(diǎn)，即xfxf ;,)()3(判判斷斷極極值值點(diǎn)點(diǎn)在在臨臨界界點(diǎn)點(diǎn)左左右右的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)檢檢查查xf .)4(求極值求極值第16頁(yè)/共45頁(yè)例6解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù)

10、 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第17頁(yè)/共45頁(yè)593)(23 xxxxfMm圖形如下第18頁(yè)/共45頁(yè)例7解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函

11、數(shù)但函數(shù)xfM第19頁(yè)/共45頁(yè) 設(shè)設(shè))(xf在在 0 x 處處具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且0()0fx , , 0()0fx , , 那那末末 ( (1 1) )當(dāng)當(dāng)0()0fx 時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x 處處取取得得極極大大值值; ; ( (2 2) )當(dāng)當(dāng)0()0fx 時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x 處處取取得得極極小小值值. . 定理4(二階充分條件)證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異異號(hào)號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf

12、有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證(2).第20頁(yè)/共45頁(yè)例8解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下第21頁(yè)/共45頁(yè)Mm注意:. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 第22頁(yè)/共45頁(yè) f03 )( 即 是 f

13、 (x)的極大值點(diǎn)3 x處取得極值, 是極大值還是極小值 ? 并求出其極值例 試問(wèn)a為何值時(shí), 在xxaxf331sinsin)( 3x 3x 因?yàn)?f (x)是可微函數(shù), 故 是 f (x)的駐點(diǎn) ,xxxf32coscos)( 當(dāng) a = 2 時(shí), coscos)( 33af, a012 xxxf332sinsin)( 033 )( f極大值: 3323 sin)(f解2 a即第23頁(yè)/共45頁(yè)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第24頁(yè)/共45頁(yè)oxyoxybaoxyabab.,)

14、(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf第25頁(yè)/共45頁(yè)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)第26頁(yè)/共45頁(yè)例9解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計(jì)算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f第27頁(yè)/共45頁(yè)，最大值最大值142)4( f比較得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy第28頁(yè)/共45頁(yè) x =1是 f (x)在(0 , 2) 中的唯一極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)原不等式03242 xxxx ln令 , 則由3242 xxxxxfln)(0224 xxxfln)( 又 02124 )( ,)( f xxf x = 1是 最小值點(diǎn) f (x) f (1) = 0 , x ( 0 , 2 )求 0 x 0 時(shí)，設(shè) , 考慮 f (x)