數(shù)學(xué)建模展館安全保障問題(共16頁)

1、摘要本文利用圖解法研究了展館安全保障的若干問題。針對(duì)問題一，資金充裕的條件下，首先讓攝像頭的監(jiān)控范圍盡可能覆蓋展區(qū)1、2、3的全部范圍，其次考慮將攝像頭安裝在角落，最后考慮減少攝像頭的數(shù)目?；谝陨夏繕?biāo)，利用圖解法將展區(qū)1、2、3劃分為若干矩形區(qū)域。為研究矩形區(qū)域布置攝像頭的一般規(guī)律，首先分析若干簡單模型的攝像頭布置情況，然后得出展區(qū)1、2、3的攝像頭安裝情況。總共使用攝像頭43個(gè)，其中27個(gè)固定，16個(gè)旋轉(zhuǎn)，其中36個(gè)位于墻角，覆蓋全部給出的區(qū)域，無盲區(qū)。針對(duì)問題二，由于資金不足，首先考慮讓所有攝像頭的監(jiān)控范圍覆蓋展區(qū)1、2、3，其次考慮盡量減少攝像頭數(shù)目，最后考慮安置在墻角。為布置展區(qū)1、

2、2、3，首先研究簡單矩形區(qū)域的攝像頭布置情況，這時(shí)的攝像頭位置可以任意安裝。最后得出所有展區(qū)的布置情況，共需攝像頭31個(gè)，其中固定攝像頭23個(gè)，旋轉(zhuǎn)攝像頭8個(gè)，有8個(gè)位于墻角，占總比例的26%。雖然位于墻角的比例減少，但是仍然可以覆蓋全部展區(qū)，無盲區(qū)。然后給出安全評(píng)估方案對(duì)展區(qū)1、2、3的所有區(qū)域進(jìn)行安全評(píng)估。最后對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和改進(jìn)，建立比較科學(xué)的三維體系，對(duì)墻面和地面離散化處理，最優(yōu)解可以用Lingo進(jìn)行求解。關(guān)鍵詞：圖解法 墻角 監(jiān)控區(qū)域 全覆蓋展館安全保障問題一問題重述 保安公司與某藝術(shù)展館簽訂了一項(xiàng)安保合同，為他們安裝攝像監(jiān)視裝置。由于這些攝像裝置較大，會(huì)對(duì)展館參觀者視線形成干擾，所

3、以展館方希望這些裝置安裝得越少越好，并且希望攝像機(jī)盡可能裝在角落處?，F(xiàn)有的攝像機(jī)當(dāng)固定攝像時(shí)能清晰分辨的距離為7.5米，當(dāng)水平旋轉(zhuǎn)攝像時(shí)能清晰分辨的距離為2.5米，攝像頭視角大約為50度。展館的平面布局相當(dāng)復(fù)雜，有一些隔板會(huì)以各種角度立在房間中間或者走廊上。盡管該展廳很大，但任何兩個(gè)對(duì)面墻之間的距離并不大，所以參觀者不需要無謂地走很多路。所有的墻壁以及隔板都是平的?；谝陨蠗l件，我們對(duì)下面兩個(gè)問題進(jìn)行求解：1、為可轉(zhuǎn)動(dòng)攝固定或像機(jī)設(shè)計(jì)安裝位置，以期在夜晚能夠提供盡可能多的覆蓋面積，包括地面與墻壁展示區(qū)域。2、由于預(yù)算資金不足，不能在全館安裝足夠數(shù)量的監(jiān)視攝像機(jī)，試討論這種情形下的最優(yōu)安裝策略，

4、并給出相應(yīng)的安全性評(píng)價(jià)。二問題的假設(shè)1）假設(shè)不考慮房間的高度；2）假設(shè)隔板可以看做墻壁處理，也可與墻壁形成角落；3）假設(shè)內(nèi)墻角和外墻角均可做墻角處理； 4）假設(shè)一個(gè)墻角固定攝像頭可裝多個(gè)，旋轉(zhuǎn)最多可裝一個(gè)；5）假設(shè)當(dāng)平面圖被全部覆蓋時(shí)，認(rèn)為展館所有區(qū)域已得到監(jiān)控；6）假設(shè)所有監(jiān)控器均與房頂同高，不遮擋觀賞者視線；7）假設(shè)當(dāng)平面圖中某點(diǎn)位于監(jiān)控范圍內(nèi)，則認(rèn)為立體圖中該點(diǎn)所在的垂直于地面的線段也位于監(jiān)控范圍內(nèi)；8）假設(shè)安裝的所有攝像頭都能正常工作；9）假設(shè)平面上的所有點(diǎn)重要程度相同，被一個(gè)攝像頭有效監(jiān)控到就認(rèn)為處于攝像監(jiān)控之下；三符號(hào)的說明：矩形房屋的長邊；：矩形房屋的短邊；： 攝像頭的監(jiān)視半徑；

5、四模型的建立首先，我們對(duì)監(jiān)控器兩種設(shè)置的監(jiān)控范圍進(jìn)行分析。監(jiān)控器可設(shè)置為固定監(jiān)控和可旋轉(zhuǎn)監(jiān)控，兩種設(shè)置的監(jiān)控角度和監(jiān)控距離各不相同，監(jiān)控器兩種設(shè)置的監(jiān)控范圍圖解分析如下： 固定攝像頭：圖1 這是固定型攝像頭的監(jiān)控范圍，在平面上投影是一個(gè)角度為50度，弧長為7.5m的扇形。有隔板時(shí)，隔板之后被遮擋的區(qū)域不在監(jiān)控范圍內(nèi)，如圖2，圖中斜條表示隔板，陰影表示不在監(jiān)控范圍內(nèi)的區(qū)域：圖2旋轉(zhuǎn)攝像頭： 圖3這是可以360度旋轉(zhuǎn)的攝像頭的監(jiān)控范圍，在平面上投影是一個(gè)半徑為2.5m的圓形?？梢娺@種攝像頭監(jiān)視的距離不大，但角度全面，應(yīng)該多用于周圍有障礙物，監(jiān)視范圍較小，或墻壁夾角較大的展區(qū)，也可以用來覆蓋固定類監(jiān)

6、視器留下的小型盲區(qū)。 有隔板時(shí)，隔板之后被遮擋的區(qū)域不在監(jiān)控范圍內(nèi)，如圖4，圖中斜條表示隔板，陰影表示不在監(jiān)控范圍內(nèi)的區(qū)域： 圖 44.1 基于圖解法對(duì)問題一的求解在問題一中，在監(jiān)控器足夠的情況下，為獲得最大監(jiān)控范圍，我們考慮對(duì)展館給出的所有區(qū)域都進(jìn)行監(jiān)控，保證無盲區(qū)。根據(jù)館長要求，監(jiān)視器盡量位于角落，在資金充足的條件下，我們假設(shè)重要性有如下順序：首要：覆蓋全部區(qū)域，無盲區(qū)；次要：監(jiān)視器盡量位于角落；再次：盡量減少監(jiān)視器數(shù)量。由給出的的展區(qū)平面圖可知，展區(qū)1和3都是形狀比較規(guī)整類似于矩形的展區(qū)，而展區(qū)二卻是不規(guī)則的區(qū)域，沒有什么規(guī)律可循。對(duì)于矩形展區(qū)，我們遵循以上原則，定義長邊為a, 短邊為b

7、,進(jìn)行近似分類。1. 當(dāng) 時(shí)，每個(gè)房間里只用一個(gè)旋轉(zhuǎn)攝像頭就可滿足要求，如圖3所示，極限情況如圖4所示（圖中黑色圓點(diǎn)表示攝像頭位置）： 圖5 圖62. 當(dāng) 時(shí)，每個(gè)房間用兩個(gè)固定的攝像頭就可滿足要求，兩個(gè)攝像頭裝在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)墻角上即可，如圖5所示，極限情況如圖6所示： 圖7 圖8 3. 當(dāng) 時(shí)，則需要三個(gè)及三個(gè)以上的攝像頭來監(jiān)控，并且兩類攝像頭搭配使用，此時(shí)情況變得復(fù)雜，具體情況要看房屋具體尺寸，我們僅舉幾個(gè)例子說明，并不具有一般規(guī)律： 圖9 圖10 上面的只是理想模型，而實(shí)際中，矩形不一定完整，四個(gè)墻角也不一定全部存在，此時(shí)為了覆蓋只能安裝在非角落的地方，如兩面墻的交線處，或屋頂上。我們結(jié)合

8、理想模型和實(shí)際情況對(duì)攝像器進(jìn)行安裝，布局時(shí)我們認(rèn)為隔板可等同墻壁處理，也可與墻壁形成墻角，且內(nèi)墻角和外墻角都符合要求，如下圖： 圖11 內(nèi)墻角 圖12 外墻角 首先我們選取The Paris Years 和New Work兩個(gè)區(qū)域?yàn)槔?，進(jìn)行監(jiān)控布置，對(duì)隔板和墻壁進(jìn)行延長，使外圍形成一個(gè)大矩形，內(nèi)部形成虛擬的小矩形，結(jié)合上面的理論和實(shí)際，監(jiān)控布置如下： 圖 13 由圖9可知，這個(gè)區(qū)域共用了7個(gè)攝像頭并且全部位于墻角，然后基于這種分區(qū)分析的理論，我們對(duì)展區(qū)1、2、3進(jìn)行監(jiān)控布置，得到如下結(jié)果如下： 圖 14 問題一中展區(qū)1的監(jiān)控布置 展區(qū)一中共使用攝像頭25個(gè)，其中固定攝像頭21個(gè)，轉(zhuǎn)動(dòng)攝像頭4個(gè)

9、，覆蓋所有展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中24個(gè)位于墻角，一個(gè)位于墻壁與屋頂交界處。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：固定：（共21個(gè)）（0 ,1678） （0 ,1678） （1000,1678） （1000,1678）  （1000,1678） （1000,1678）（1543,1678）（1543,1678）（2480,1678）（2480,1678） （1000,1330）（447,992）（502,992） （502,992）（502,992） （502,992）（

10、2480,946）（1300,550）（1300,550）（550,390）（550,390）（1543,1678）旋轉(zhuǎn)：（共4個(gè)）（1784,1391）（447,992）（1594,946）（1145,217）。圖15 問題一中展區(qū)3的監(jiān)控布置展區(qū)3中使用攝像頭4個(gè)，全為旋轉(zhuǎn)攝像頭，覆蓋兩個(gè)展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)，且全部位于角落。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：旋轉(zhuǎn)：（共4個(gè)）（200,0）  (0,345)  (0,345)  (200,738)。 圖16 問題一中展區(qū)2的監(jiān)控布置 展區(qū)2中共使用攝像頭1

11、4個(gè)，其中固定攝像頭6個(gè)，旋轉(zhuǎn)攝像頭8個(gè)。覆蓋所有展區(qū)，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中8個(gè)位于墻角，2個(gè)位于墻壁與屋頂交界處，4個(gè)位于屋頂。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：固定：（共6個(gè)）（505,956） （505,956） （0,700） （1537,952） （1537,952） （1483,754） 旋轉(zhuǎn)：（共8個(gè)）（1644,702） （1480,261） （1430,0） （1153,214） （875,176） （775,427）（856,702） （509,851）。 至此，第一問求解結(jié)束，共使用攝像頭43個(gè)，其中27個(gè)固定，16個(gè)旋轉(zhuǎn)。其中36個(gè)位于墻角，在8

12、4%的程度上滿足了展館方對(duì)于攝像頭安置在墻角的要求，覆蓋全部給出的區(qū)域，無盲區(qū)。4.2 基于圖解法對(duì)問題二的求解 我們由于此時(shí)資金不足，對(duì)此我們首先考慮在覆蓋全區(qū)的情況下，盡量減少攝像頭數(shù)目，此時(shí)定義布置監(jiān)控時(shí)遵循重要性：首要：覆蓋全部區(qū)域，無盲區(qū)；次要：盡量減少監(jiān)視器數(shù)量；再次：監(jiān)視器盡量位于角落。類似于第一問，我們對(duì)矩形進(jìn)行分類如下： 1.當(dāng) 時(shí)，每個(gè)房間里只用一個(gè)旋轉(zhuǎn)攝像頭就可滿足要求，如圖15所示，極限情況如圖16所示（圖中黑色圓點(diǎn)表示攝像頭位置）： 圖17 圖18 2.當(dāng) 時(shí)，跟第一問中的第二類一樣，每個(gè)房間用兩個(gè)固定的攝像頭就可滿足要求，兩個(gè)攝像頭裝在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)墻角上即可，如圖17

13、所示，極限情況如圖18所示： 圖19 圖20 3.當(dāng) 時(shí)，具體情況要看房屋具體尺寸，我們僅舉幾個(gè)簡單例子說明，并不具有一般規(guī)律： 圖 21 圖 22 圖23 在這種規(guī)則下，我們結(jié)合理論模型和展館實(shí)際尺寸，以數(shù)量優(yōu)先得到如下監(jiān)控布局：圖24 問題二中展區(qū)1的監(jiān)控布置 展區(qū)一中共使用攝像頭19個(gè)，其中固定攝像頭16個(gè)，轉(zhuǎn)動(dòng)攝像頭3個(gè)，覆蓋所有展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中5個(gè)位于墻角。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：固定的（16個(gè)）: (1796,1385) (2114,1685) (1879,1380) (2246,942) (1602,1196) (1548,1173)

14、 (1000,1633) (463,1685) (463,1685) (454,987) (1115,987) (500,552) (1482,552) (732,552) (0,1111)(463,1502) ；旋轉(zhuǎn)的（3個(gè)）： (113,748) (400,755) (1199,704)。圖25 問題二中展區(qū)3的監(jiān)控布置展區(qū)3中使用攝像頭2個(gè)，全為旋轉(zhuǎn)攝像頭，覆蓋兩個(gè)展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)，都沒有位于角落。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：旋轉(zhuǎn)（2個(gè)）：(104，554) (101,162)。圖26 問題二中展區(qū)2的監(jiān)控布置展區(qū)2中共使用攝像頭10個(gè)，其中固定攝像頭

15、7個(gè)，旋轉(zhuǎn)攝像頭3個(gè)。覆蓋所有展區(qū)，覆蓋率100%，無盲區(qū)，其中3個(gè)位于墻角。建立如圖坐標(biāo)系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標(biāo)如下：固定的（7個(gè)）:(0.700) (600,900) (1056,954) (1533,954) (1049,381) (1644,697) (1427,0)；旋轉(zhuǎn)的（3個(gè)）：(864，688) (846,272) (1282,186)。 以此種方法安裝，共需攝像頭31個(gè)，較第一問減少了12個(gè)，其中固定23個(gè)，旋轉(zhuǎn)8個(gè)，有8個(gè)位于墻角，占總比例的26%。雖然位于墻角的比例減少，但是任然可以覆蓋全部展區(qū)，無盲區(qū)，安全級(jí)別很高。但是如果資金嚴(yán)重缺乏，并不足以購置31個(gè)攝像頭

16、，我們將對(duì)展館區(qū)域進(jìn)行分類，以展區(qū)中所展示作品的價(jià)值為依據(jù)將眾多展區(qū)化為一級(jí)監(jiān)視區(qū)、二級(jí)監(jiān)視區(qū)、三級(jí)監(jiān)視區(qū)，優(yōu)先級(jí)別從高到底，優(yōu)先級(jí)別高的展區(qū)優(yōu)先進(jìn)行覆蓋。4.3對(duì)問題二中優(yōu)化解的安全評(píng)估 由于預(yù)算資金不足，不能在全館安裝足夠數(shù)量的監(jiān)視攝像機(jī)，所以這種情況下的監(jiān)控方案涉及到安全性的問題。我們已經(jīng)得出了比較優(yōu)化的方案，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行安全性評(píng)估。 為了直觀地看出各個(gè)地點(diǎn)的安全性水平，可以建立一種評(píng)分機(jī)制。規(guī)則如下： 0分：此處沒有任何攝像頭可以監(jiān)控到，不出于監(jiān)控范圍內(nèi)，安全隱患非常大； 1分：此處只有一個(gè)攝像頭可以監(jiān)控到，處于監(jiān)控范圍內(nèi)，安全隱患較??； N（N>1）：此處有N個(gè)攝像頭可以監(jiān)控

17、到，處于多重監(jiān)控范圍內(nèi)，安全性很高?；谝陨显u(píng)分機(jī)制，將展區(qū)1，展區(qū)2，展區(qū)3分區(qū)評(píng)分，得分如下：圖27 展區(qū)1的安全評(píng)估圖28 展區(qū)2的安全評(píng)估圖29 展區(qū)3的安全評(píng)估結(jié)果解釋：展區(qū)1，展區(qū)2，展區(qū)3全都處于監(jiān)控范圍內(nèi)，但是有的地方處于多重監(jiān)控范圍內(nèi)，有的只有一個(gè)監(jiān)視器能夠監(jiān)視到。多重監(jiān)控的區(qū)域能夠有效避免監(jiān)控器出現(xiàn)問題而帶來的安全隱患，而對(duì)于處于單重監(jiān)控范圍的區(qū)域，當(dāng)監(jiān)控的攝像頭出現(xiàn)問題時(shí)，很有可能發(fā)生展品丟失、破損的事情。有的處于固定監(jiān)視之下，有的處于旋轉(zhuǎn)攝像頭的監(jiān)控之下。處于固定監(jiān)控的區(qū)域比較穩(wěn)定，能夠保持一段時(shí)間內(nèi)一直監(jiān)控；而處于旋轉(zhuǎn)攝像頭監(jiān)控下的區(qū)域，時(shí)而有監(jiān)控，時(shí)而無監(jiān)控，有一定

18、安全隱患。所以安裝攝像頭時(shí)應(yīng)該多安裝固定的攝像頭，少安裝旋轉(zhuǎn)的攝像頭。由于資金限制，攝像頭的數(shù)量受到約束，必然導(dǎo)致安全性水平較低。資金允許的時(shí)候可以多安裝攝像頭以避免安全隱患。5 模型的改進(jìn)與推廣 在以上的求解過程中，我們忽略了展館的高度，簡化為二維平面圖的監(jiān)控覆蓋。無論是攝像頭的監(jiān)控范圍，還是被監(jiān)控區(qū)域，全都作為平面二維圖來處理，這樣雖然求解出了答案，但是與實(shí)際情況產(chǎn)生了眾多不符。 在實(shí)際情況中，旋轉(zhuǎn)攝像頭的監(jiān)視范圍為一個(gè)半徑為2.5m的球的一部分，固定攝像頭的監(jiān)視范圍為一個(gè)半徑為7.5m的球的一部分，而展館則是立體三維的空間，或近似于立方體，或?yàn)椴灰?guī)則立體，簡化為二維平面的過程丟失太多信息

19、，導(dǎo)致結(jié)果的不精確。圖30 二維中的監(jiān)視圖例如圖27，在二維中我們認(rèn)為墻W被攝像頭Q監(jiān)視覆蓋,但這只是墻壁W只是與攝像頭Q監(jiān)控范圍的俯視圖，而實(shí)際中，它們只相切于一條線，就是圖中我們看到覆蓋墻壁的這條線。即墻壁W可以被監(jiān)控到的只是墻壁上的一條線，所以實(shí)際中可以說墻壁W并不位于監(jiān)控范圍內(nèi)。為解決這個(gè)問題，使結(jié)果更具實(shí)際意義，我們嘗試采取下列模型求解，由于時(shí)間關(guān)系，我們只進(jìn)行簡單的敘述和求解思路。我們假設(shè)展館的高度H，首先我們假設(shè)墻角裝有一個(gè)固定攝像頭Q，監(jiān)視范圍的主方向位于直線m上，我們只考慮一面墻W上受監(jiān)控的面積S，求解思路如下：我們把墻W分為的小方格，共行，列，建立如圖坐標(biāo)系: 圖31 三維空間的分析我們假設(shè)如果小方格的中心（0，）到Q的距離小于監(jiān)控半徑r, 且圖中n與m的夾角小于/2，則認(rèn)為該小方格在監(jiān)控范圍內(nèi)，即滿足下列兩個(gè)條件： (1) (2)由此我們可以求出在攝像頭Q主方向確定的情況下，墻壁W上受監(jiān)控的面積S，類似的，我們也可求出此時(shí)其他3個(gè)墻面和地面上受監(jiān)控的總面積。易知，對(duì)于一個(gè)尺寸固定的房間，一旦主方向m確定，該房