《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》魏魏宗舒版課件1.5實用教案

1、思考思考 袋中有袋中有3只白球只白球, 2只紅球只紅球, 現(xiàn)從現(xiàn)從袋中任取一球袋中任取一球(不放回不放回),充分混合充分混合(hnh)后再任取出另一球，后再任取出另一球， 假設(shè)每假設(shè)每個球被取到的可能性相同個球被取到的可能性相同. 若已知第一若已知第一次取到的球是白球次取到的球是白球, 問問第二次取得球也是白球的概率是多少？第二次取得球也是白球的概率是多少？設(shè)設(shè) A 表示表示(biosh)第一次任取一球第一次任取一球為白球，為白球， B 表示表示(biosh)第二次任取一球第二次任取一球為白球為白球.古典概型第1頁/共41頁第一頁，共42頁。所求的概率稱為在事件所求的概率稱為在事件(shjin

2、)A 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下事件事件(shjin)B 發(fā)生的條件概率。記為發(fā)生的條件概率。記為ABP解解 2142P B A 2B Ak4An)()(APABP第2頁/共41頁第二頁，共42頁。( )0,()( | )( ).P BP ABP A BP BBAFFF件件概概率率 若（ ， ，P）是一個概率空間，B，且對任意的A，稱 為在事件發(fā)生的條件下，事條件 發(fā)生的1. 定義定義(dngy) ABAB一、條件一、條件(tiojin)概率概率第3頁/共41頁第三頁，共42頁。);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則有則有件件是

3、兩兩不相容的事是兩兩不相容的事設(shè)設(shè)可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh); 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性規(guī)范性第4頁/共41頁第四頁，共42頁。例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率(gil)是多少? 解: )()()|(BPABPBAP解: 設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出6點應(yīng)用(yngyng)定義21366363第5頁/共41頁第五頁，共42頁。則有則有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個事件個事件為為設(shè)

4、設(shè)推廣推廣則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB( )0,()() ( )() ( ).P AP ABP B A P AP A B P B設(shè)則有3. 3. 乘法(chngf)(chngf)定理)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP第6頁/共41頁第六頁，共42頁。例例2 2 一個家庭中有兩個孩子一個家庭中有兩個孩子(hi zi)(hi zi)，已知其中，已知其中有一個是女孩，問這時另一個小孩也是女孩的概率為有一個是女孩，問這時另一個小孩也是女孩的概率為多大？（假定一個

5、小孩是男孩還是女孩是等可能）多大？（假定一個小孩是男孩還是女孩是等可能）解解( ,), ( ,), ( ,), ( ,) 男男男女女男女女( , ), ( , ), ( , )A=已 知 一 個 是 女 孩 男女女男女女(,)B 另一個也是女孩女 女由條件(tiojin)概率的公式得)()()(APABPABP 1 4341.3第7頁/共41頁第七頁，共42頁。例例3 3 某外形相同的球分別裝入三個盒子，每盒某外形相同的球分別裝入三個盒子，每盒1010個，個，其中第一其中第一(dy)(dy)個盒子中個盒子中7 7個球標(biāo)有字母個球標(biāo)有字母A,3A,3個標(biāo)有字母個標(biāo)有字母B;B;第二個盒子有紅球和

6、白球各第二個盒子有紅球和白球各5 5個，第三個盒子中個，第三個盒子中8 8個紅個紅球，球， 2 2個白球。試驗按如下規(guī)則進行，先在第一個白球。試驗按如下規(guī)則進行，先在第一(dy)(dy)盒盒子子任取一球，若取得球標(biāo)有字母任取一球，若取得球標(biāo)有字母A A，則在第二盒子任取，則在第二盒子任取一球；若取得球標(biāo)有字母一球；若取得球標(biāo)有字母B B，則在第三個盒子任取，則在第三個盒子任取一球；若第二次取出的球標(biāo)是紅球，則稱試驗為成功，一球；若第二次取出的球標(biāo)是紅球，則稱試驗為成功，求試驗成功的概率。求試驗成功的概率。NoImage令A(yù)=從第一個盒子取得標(biāo)有字母A的球解解B=從第一個盒子取得標(biāo)有字母B的球第

7、8頁/共41頁第八頁，共42頁。W=第二次取出的球是白球R=第二次取出的球是紅球73(),()1 01 0PAPB則 易 得11(/),(/);2241(/),(/).55PRAPWAPRBPWB第9頁/共41頁第九頁，共42頁。()()()PRPRP RAB()()()P RARBP RAP RB(/). ( )(/). ( )P RA P AP R B P B1743.0.592 105 10注：求較復(fù)雜事件的概率，往往先把它分解成幾個互不相容的較簡單事件之并。并求得這些簡單事件的概率，再利用加法(jif)公式即可。下面求成功的概率：第10頁/共41頁第十頁，共42頁。練習(xí)：練習(xí)： 五個鬮

8、五個鬮, , 其中兩個鬮內(nèi)寫著其中兩個鬮內(nèi)寫著“有有”字字, , 三個鬮內(nèi)不寫字三個鬮內(nèi)不寫字 , , 五人依次五人依次抓取抓取, ,問各人問各人( rn)( rn)抓到抓到“有有”字鬮的概率是字鬮的概率是否相同否相同? ?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i則有,52)(1 AP)()(22APAP)(112AAAP 抓鬮抓鬮(zhu ji)是否與次序有關(guān)是否與次序有關(guān)? ,的事件的事件人抓到有字鬮人抓到有字鬮第第表示表示設(shè)設(shè)iAi第11頁/共41頁第十一頁，共42頁。)()()(212121333AAAAAAAPAPAP)()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42

9、534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP )()(2121AAPAAP 第12頁/共41頁第十二頁，共42頁。)()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此類推(y c li tu).52)()(54 APAP故抓鬮與次序故抓鬮與次序(cx)無關(guān)無關(guān).第13頁/共41頁第十三頁，共42頁。12001212,1, ,1,2, ;2,.nijnnEB BBEB Bi jnBBBB BB 定義設(shè)為試驗 的樣本空間

10、為的一組事件 若則稱為樣本空間的一個劃分1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分(hu fn)1B2B3BnB1nB二、全概率二、全概率(gil)公式與貝葉斯公公式與貝葉斯公式式第14頁/共41頁第十四頁，共42頁。2. 全概率全概率(gil)公式公式全概率全概率(gil)公式公式1211221,()0(1,2, ),( )(|) ()(|) ()(|) ()( ) (|)ninnniiEAEB BBP BinP AP A B P BP A BP BP A BP BP B P A B定義 設(shè)為試驗 的樣本空間為 的事件為的一個劃分 且則第15頁/共41頁第十五頁，共42頁。jiAA由由()()ijA

11、BAB )()()()(21nBAPBAPBAPBP圖示A1B2B3B1nBnB證明證明(zhngmng)12.nABABAB化整為零化整為零(hu zhng wi lng)各個擊破各個擊破12()nAAABBB 1122( )() (|)() (|)() (|)nnP AP B P A BP B P A BP B P A B第16頁/共41頁第十六頁，共42頁。說明說明(shumng) 全概率公式的主要用途在于它可全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個分解為若干個簡單事件的概率計算問題簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性

12、最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果求出最終結(jié)果.A1B2B3B1nBnB第17頁/共41頁第十七頁，共42頁。例例1 1 有一批同一型號的產(chǎn)品有一批同一型號的產(chǎn)品, ,已知其中由一廠生產(chǎn)的已知其中由一廠生產(chǎn)的占占 30% , 30% , 二廠生產(chǎn)的占二廠生產(chǎn)的占 50% , 50% , 三廠生產(chǎn)的占三廠生產(chǎn)的占 20%, 20%, 又又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,2% , 1%, 1%,問從這批問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率產(chǎn)品中任取一件是次品的概率(gil)(gil)是多少是多少? ?設(shè)事件(shjin) A 為“任取一件為次品”,. 3

13、 , 2 , 1, iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji第18頁/共41頁第十八頁，共42頁。由全概率(gil)公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() (

14、)P AP B P ABP B P ABP B P AB故故第19頁/共41頁第十九頁，共42頁。稱此為貝葉斯公式(gngsh). 3. 貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)貝葉斯資料貝葉斯資料(zlio)121,( )0,()0(1,2, ),(/) ()(|),1,2, .(|) ()niiiinjjjEAEB BBP AP BinP A B P BP BAinP A BP B定義設(shè)為試驗 的樣本空間為 的事件為的一個劃分 且則第20頁/共41頁第二十頁，共42頁。證明證明(zhngmng)(| ) ()()( )iiiP A B P BP B AP A., 2 , 1ni 證畢1() (|

15、)() (|)iinjjjP B P A BP B P A B第21頁/共41頁第二十一頁，共42頁。;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只無區(qū)別的標(biāo)志無區(qū)別的標(biāo)志且且倉庫中是均勻混合的倉庫中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設(shè)備制造廠所用某電子設(shè)備制造廠所用例例2 2第22頁

16、/共41頁第二十二頁，共42頁。.,)2(別是多少別是多少三家工廠生產(chǎn)的概率分三家工廠生產(chǎn)的概率分求此次品出由求此次品出由為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設(shè)設(shè) A.家工廠提供的家工廠提供的所取到的產(chǎn)品是由第所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,的的一一個個劃劃分分是是樣樣本本空空間間則則321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且第23頁/共41頁第二十三頁，共42頁。.03. 0)(,01. 0

17、)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由全概率由全概率(gil)公式得公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由貝葉斯公式由貝葉斯公式(gngsh)得得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 第24頁/共41頁第二十四頁，共42頁。,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第第25頁/共41頁第二十五頁，共42頁。上題

18、中概率(gil)是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率(gil).而在得到信息之后(zhhu)再重新加以修正的概率 叫做后驗概率.先驗概率先驗概率(gil)與后驗概率與后驗概率(gil)123()0.15,()0.80,()0.05,P BP BP B123()()()P B AP B AP B A，先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率上題中概率是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率.123()0.15,()0.80,()0.05,P BP BP B先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率上題中概率是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率.第26頁/共41頁第二十六頁，共42頁。,:,()0.

19、95,()0.90.,0.004,( )0.004,().ACP A CP A CP CP C A根據(jù)以往的臨床記錄 某種診斷肝癌的試驗具有如下的效果 若以表示事件 試驗反應(yīng)為陽性以表示事件 被診斷者患有癌癥 則有現(xiàn)在對自然人群進行普查 設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為即試求解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因為因為( )0.004,( )0.996,P CP C例例3 3第27頁/共41頁第二十七頁，共42頁。由貝葉斯公式(gngsh)得所求概率為( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C0.0038.即平

20、均10000個具有陽性反應(yīng)的人中大約(dyu)只有38人患有癌癥.第28頁/共41頁第二十八頁，共42頁。1.條件條件(tiojin)概概率率)()()(APABPABP 全概率全概率(gil)公式公式貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)三、小結(jié)1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P A BP B P A BP B P A B1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理第29頁/共41頁第二十九頁，共42頁。.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)A

21、B(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般來來說說中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)則則用用古古典典概概率率公公式式發(fā)發(fā)生生的的概概率率計計算算中中表表示示在在縮縮小小的的樣樣本本空空間間而而的的概概率率發(fā)發(fā)生生計計算算中中表表示示在在樣樣本本空空間間 .)()(. 2的區(qū)別的區(qū)別與積事件概率與積事件概率條件概率條件概率ABPABP第30頁/共41頁第三十頁，共42頁。貝葉斯資料(zlio)Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbri

22、dge Wells, Kent, England第31頁/共41頁第三十一頁，共42頁。1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無放回隨機地?zé)o放回隨機地抽取兩次抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多求在兩次抽取中至多(zhdu)抽到一個紅球的概率抽到一個紅球的概率? (2) 若無放回的抽若無放回的抽取取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情第一次是白球的情況下況下, 第二次與第三次均是白球的概率第二次與第三次均是白球的概率? (b) 第一第一次與第二次均是白球的情況下次與第二次均是白球的情況下 , 第三次是白球第三次是白

23、球的概率的概率?課堂(ktng)習(xí)題第32頁/共41頁第三十二頁，共42頁。解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球為為事事件件紅紅球球個個兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設(shè)設(shè)AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有,212121AAAAAAA 第33頁/共41頁第三十三頁，共42頁。. 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第為為設(shè)事件設(shè)事件)()(132AAAPa,)(

24、)(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因為因為第34頁/共41頁第三十四頁，共42頁。,522624)(21 AAP因為因為.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP第35頁/共41頁第三十五頁，共42頁。2 擲兩顆骰子擲兩顆骰子(tu z), 已知兩顆骰子已知兩顆骰子(tu z)點數(shù)之和為點數(shù)之和為7, 求其中有一顆為求其中有一顆為1點的概率點的概率.解解

25、設(shè)事件(shjin)A 為“ 兩顆點數(shù)之和為 7 ”, 事件(shjin) B為 “ 一顆點數(shù)為1 ”.故所求概率(gil)為.31 P擲骰子試驗擲骰子試驗 兩顆點數(shù)之和為 7 的種數(shù)為 3,其中有一顆為 1 點的種數(shù)為 1,第36頁/共41頁第三十六頁，共42頁。3 設(shè)一倉庫中有設(shè)一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別(fnbi)有有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再從這箱中任取一件產(chǎn)品再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取得的產(chǎn)品取得的產(chǎn)品(chnpn)為正品為正品”, 分別表示(biosh)“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,321BBB由題設(shè)知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解第37頁/共41頁第三十七頁，共42頁。, 7 . 0)(, 8