《電磁場理論》復(fù)習(xí)33

1、電磁場與電磁波概念題匯總1.請寫出B-D形式的場定律的微分形式及其相應(yīng)的邊界條件，并闡明每個方程（包括邊界條件）的物理意義。（20分）答：B-D形式的場定律的微分形式為其物理意義為：(1)式：時變的磁場是電場的渦旋源，可以產(chǎn)生渦旋電場;(2)式：電流和時變的電場是磁場的渦旋源，可以產(chǎn)生渦旋磁場；(3)式：電荷可以產(chǎn)生電場通量，電荷只有正、負兩種；(4)式：磁場沒有通量源：磁荷；(5)式：當空間點上的電荷密度減少時，必有電流密度的凈通量。在介質(zhì)分界面上滿足的邊界條件為其物理意義為：邊界兩邊電場切向分量連續(xù)；邊界上存在面電流時，兩邊磁場切向分量不連續(xù)；邊界上有面電荷存在時，電位移矢量法向分量不連續(xù)

2、；邊界兩邊磁感應(yīng)強度法向分量連續(xù)；電荷守恒定律在邊界上也是成立的。2.寫出簡單媒質(zhì)中關(guān)于正弦律時變場的復(fù)數(shù)形式的場定律。（10分）答：簡單媒質(zhì)中關(guān)于正弦律時變場的復(fù)數(shù)形式的場定律為3.寫出時變電磁場的基本方程，并解釋為什么電磁場的邊值關(guān)系只能從積分形式的麥克斯韋方程組導(dǎo)出？4.寫出坡印廷矢量的定義式及微分形式坡印廷定理，并給出定理的物理解釋。（P286291）答：定義微分形式物理解釋：電磁場在空間某點對運動電磁荷所提供的電磁功率密度等于該點電磁場能密度的減少率與外界向這點提供的電磁功率密度之和。積分形式物理解釋：V內(nèi)的電磁荷對電磁場所提供的總功率等于V內(nèi)電磁場能量的增加率與從V內(nèi)流出的電磁功率

3、之和。5.什么是均勻平面波？什么是TEM波？均勻平面波是TEM波嗎？TEM波是均勻平面波嗎？寫出無源自由空間條件下均勻平面波的五個傳播特性。答：等相面與等幅面重合且為平面的電磁波稱為均勻平面波；電場強度和磁場強度矢量在傳播方向上分量為零的電磁波稱為TEM波；均勻平面波是TEM波；TEM波不一定是均勻平面，如均勻柱面波、均勻平面波等都是TEM波。無源自由空間條件下均勻平面波的五個傳播特性（P355）（1）均勻平面波的電場和磁場總是與波的能量傳播方向垂直，即（2）在自由空間，均勻平面波的相速等于自由空間的光速，即（3）在空間任何一點，每一種獨立均勻平面波解的電場和磁場的波形與相位均相同，它們的數(shù)值

4、之比為一常數(shù)，等于空間波阻抗（4）在空間任何一點，均勻平面波解的電場和磁場彼此垂直，即（5）在自由空間任何一點，均勻平面波的電場能密度和磁場能密度相等，即6.請根據(jù)自由空間中麥克斯韋方程組，分析沿著z方向傳播的均勻平面波滿足的波動方程為，。（P349351）解答：電場和磁場的坐標與x，y無關(guān)，即。 （1） （2） （3） （4）考慮到，由式（3）可得（5），即與z無關(guān)。由式（2）可得（6）由于，于是有（7），所以與時間t也無關(guān)。上述推導(dǎo)表明，如果電場存在著z向分量的話，則它只能是一個與空間坐標和時間坐標都無關(guān)的恒定的均勻場。在討論時變場時，對這樣的恒定場不予考慮。因此可取 （8）同理可得 （9

5、）于是，電磁場為 （10） （11）將式（10）及式（11）代入到式（1）中，有 （12）同理，代入式（2）中，可得 （13）從式（12）和（13）可得出以下兩組微分方程 （14） （15）這說明只與有關(guān)，只與有關(guān)，因此和是等相面與xy平面平行的均勻平面波的兩組獨立解，由此解得：，。7.什么是均勻平面波？是否是均勻平面波？（10分）答：等相面與等幅面重合且為平面的波稱為均勻平面波。題中所給的電磁波其等幅面為的平面，等相面為的平面，雖然它們都為平面，但并不重合，因而所給的電磁波不是均勻平面波。8.什么是電磁波在媒質(zhì)分界面的全反射現(xiàn)象和全折射現(xiàn)象？什么是臨界角和布儒斯特角？一個任意極化波由空氣斜入

6、射到一介質(zhì)界面，以什么角度入射才能使反射波為線極化波？說明原因。（10分）答：當電磁波由光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時，由于，根據(jù)斯耐爾定律有。當入射角增加到某一個角度時，折射角就可能等于。因此，在時，就沒有向介質(zhì)2內(nèi)傳播的電磁波存在，即發(fā)生全反射現(xiàn)象。在入射角等于某一角度時，反射系數(shù)等于零，這時沒有反射波，只有折射波，這種現(xiàn)象稱為全透射現(xiàn)象或全折射現(xiàn)象。能使的入射角就稱為臨界角。發(fā)射全透射時的入射角稱為布儒斯特角。當一個任意極化波由空氣斜入射到一介質(zhì)界面時，以布儒斯特角入射才能使反射波為線極化波。因為此情況下兩介質(zhì)的磁導(dǎo)率相同，這時只有平行極化波存在全折射現(xiàn)象，如果任意極化的電磁波以布儒斯特角入射

7、，其平行極化分量發(fā)生全折射，反射波只有垂直極化分量，成為線極化波。9.現(xiàn)用一個環(huán)形天線來接收電磁波，請根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律以及均勻平面波的性質(zhì)，推斷一下環(huán)的擺放與電磁波的傳播方向成什么樣的幾何關(guān)系時接收效果最佳？說明理由。（15分）答：環(huán)天線主要用來接收磁場，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，對于確定的時變磁場，環(huán)天線平面與時變磁場垂直時，穿過環(huán)天線的磁通量變化率最大，從而在環(huán)天線上產(chǎn)生較大的電動勢（電壓）；對于均勻平面波，其重要的性質(zhì)之一是它為TEM波，即電場、磁場都與傳播方向垂直，因此為了讓環(huán)天線平面與時變磁場垂直時，則環(huán)天線平面應(yīng)與傳播方向一致，這是天線的接收效果最佳。10.試解釋何為電磁波的趨

8、膚效應(yīng)，產(chǎn)生的原因是什么？你能舉出一個實際應(yīng)用的例子嗎？（10分）（參見教材P370-372）答：趨膚效應(yīng)：波在良導(dǎo)體中透射深度很小，因此只有良導(dǎo)體表面的一層對波的作用是顯著的，而良導(dǎo)體內(nèi)部對波的作用很小，這種現(xiàn)象就稱為良導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)。產(chǎn)生原因：對于良導(dǎo)體，因此有 （1）良導(dǎo)體中的均勻平面波解可以寫為 （2）這是一個沿傳播方向衰減的波，由式（1）可知，衰減常數(shù)a在良導(dǎo)體中是一個很大的正實數(shù)，因而波在良導(dǎo)體中將很快衰減。對于良導(dǎo)體，由式（1）可得透射深度 （3）波在良導(dǎo)體中透射深度是很小的。實際應(yīng)用：在主干高壓輸電線路中，可以使用鋼芯鋁線，以達到輸電線強度、節(jié)省鋁材，而又不降低傳輸效率的目的。

9、使用多股絞合漆包線繞制高頻線圈可以不增加銅材用量而提高線圈Q值。在短波發(fā)射機上可以用空心銅管繞制線圈，這樣，既可以保證發(fā)射時不增加損耗，節(jié)省銅材，又可以在發(fā)射功率很大、線圈過熱時，在銅管中通水，實行強制水冷。在高頻電路中，使用鍍銀導(dǎo)線、在微波器件和波導(dǎo)內(nèi)壁鍍銀都可以在使用少量貴金屬條件下，使損耗大大降低。另外，使用工程塑料或玻璃鋼表面金屬化工藝制造天線反射面，使用鋁箔或鍍鋁塑料薄膜制造電磁波散射實驗?zāi)Ｐ鸵约皩走_進行干擾的假目標，使用金屬板進行電磁波屏蔽等，都是基于電磁波在良導(dǎo)體表層的趨膚效應(yīng)的。11.簡述平面電磁波在媒質(zhì)分界面處的反射現(xiàn)象和折射現(xiàn)象滿足的斯耐爾(Snell)定律，并具體說明什

10、么條件下發(fā)生全反射現(xiàn)象，什么是臨界角？給出臨界角的計算公式。（10分）答： 斯耐爾(Snell)定律：（參見教材P407）（1）反射線和折射線都在入射面內(nèi)。（2）反射角等于入射角，即（3）折射角的正弦值與入射角的正弦值之比等于入射波所在的媒質(zhì)的折射率與折射波所在媒質(zhì)的折射率之比，即式中 全反射現(xiàn)象：（參見教材P419-420）（1）理想導(dǎo)體全反射在電磁波入射到理想導(dǎo)體表面時，由理想導(dǎo)體表面切向電場為零的條件，反射系數(shù)G=±1，稱為理想導(dǎo)體全反射現(xiàn)象。（2）理想介質(zhì)全反射當電磁波由光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時，由于，根據(jù)斯耐爾定律有。當入射角增加到某一個角度時，折射角就可能等于。因此，在時

11、，就沒有向介質(zhì)2內(nèi)傳播的電磁波存在，即發(fā)生全反射現(xiàn)象。能使的入射角稱為臨界角。有北京航空航天大學(xué)20062007學(xué)年第二學(xué)期電磁場理論期末考試試卷（B卷）（2007年 7 月 19 日）學(xué)號： ；姓名： ；成績： 注意事項：1、請不要將答題紙和試卷紙拆開。 2、請在答題紙和試卷紙上均寫明學(xué)號、姓名。正題：一、寫出簡單媒質(zhì)中關(guān)于正弦律時變場的復(fù)數(shù)形式的場定律。（10分）答：簡單媒質(zhì)中關(guān)于正弦律時變場的復(fù)數(shù)形式的場定律為二、一段長度為同軸電容器由兩個同軸的良導(dǎo)體柱構(gòu)成，其間填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，內(nèi)導(dǎo)體半徑和外導(dǎo)體內(nèi)竟分別為a和b (b>a)。1) 內(nèi)外導(dǎo)體間加以直流電壓V（內(nèi)導(dǎo)體為正），忽略

12、邊緣效應(yīng)，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場；2) 根據(jù)求內(nèi)導(dǎo)體表面的面電荷密度，并求該電容器所帶的電荷量；3) 該電容器的電容是多少？用a, b, d和表示. 4) 還可以用1)的結(jié)果通過積分計算儲存的靜電能，利用公式得到該電容器的電容，試進行計算驗證。（20分）答：1)以電容器的軸線為z軸，建立柱坐標系。忽略邊緣效應(yīng)，由軸對稱性可知電場只有徑向分量，且只是關(guān)于的函數(shù)，即。在處的柱面上，應(yīng)用高斯定理，可有， ，而于是有2) 3) 4) 5) 可得三、從復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組(a) 推導(dǎo)自由空間()磁場復(fù)數(shù)形式波動方程:。提示：。(b) 推導(dǎo)。提示：。（20分）解：a) 方程左邊做運算×，有: 由

13、于，于是有 方程左邊做運算×，有: 于是, , b) ，于是 四、現(xiàn)用一個環(huán)形天線來接收電磁波，請根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律以及均勻平面波的性質(zhì)，推斷一下環(huán)的擺放與電磁波的傳播方向成什么樣的幾何關(guān)系時接收效果最佳？說明理由。（15分）答：環(huán)天線主要用來接收磁場，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，對于確定的時變磁場，環(huán)天線平面與時變磁場垂直時，穿過環(huán)天線的磁通量變化率最大，從而在環(huán)天線上產(chǎn)生較大的電動勢（電壓）；對于均勻平面波，其重要的性質(zhì)之一是它為TEM波，即電場、磁場都與傳播方向垂直，因此為了讓環(huán)天線平面與時變磁場垂直時，則環(huán)天線平面應(yīng)與傳播方向一致，這是天線的接收效果最佳。五、一個真空中電磁波

14、的電場的復(fù)數(shù)形式表達式為。a) 該電磁波為何種極化(線極化，圓極化或橢圓極化)？b) 寫出其等價的時域表達式；c) 坡印廷矢量的時間平均值是多少?d) 該電磁波的頻率(Hz)是多少?（15分）答：a) 線極化b) c) 坡印廷矢量的時間平均值是d) ，于是該電磁波的頻率(Hz)是六、試解釋何為電磁波的趨膚效應(yīng)，產(chǎn)生的原因是什么？你能舉出一個實際應(yīng)用的例子嗎？（10分）（參見教材P370-372）答：趨膚效應(yīng)：波在良導(dǎo)體中透射深度很小，因此只有良導(dǎo)體表面的一層對波的作用是顯著的，而良導(dǎo)體內(nèi)部對波的作用很小，這種現(xiàn)象就稱為良導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)。產(chǎn)生原因：對于良導(dǎo)體，因此有 （1）良導(dǎo)體中的均勻平面波解

15、可以寫為 （2）這是一個沿傳播方向衰減的波，由式（1）可知，衰減常數(shù)a在良導(dǎo)體中是一個很大的正實數(shù)，因而波在良導(dǎo)體中將很快衰減。對于良導(dǎo)體，由式（1）可得透射深度 （3）波在良導(dǎo)體中透射深度是很小的。實際應(yīng)用：在主干高壓輸電線路中，可以使用鋼芯鋁線，以達到輸電線強度、節(jié)省鋁材，而又不降低傳輸效率的目的。使用多股絞合漆包線繞制高頻線圈可以不增加銅材用量而提高線圈Q值。在短波發(fā)射機上可以用空心銅管繞制線圈，這樣，既可以保證發(fā)射時不增加損耗，節(jié)省銅材，又可以在發(fā)射功率很大、線圈過熱時，在銅管中通水，實行強制水冷。在高頻電路中，使用鍍銀導(dǎo)線、在微波器件和波導(dǎo)內(nèi)壁鍍銀都可以在使用少量貴金屬條件下，使損耗

16、大大降低。另外，使用工程塑料或玻璃鋼表面金屬化工藝制造天線反射面，使用鋁箔或鍍鋁塑料薄膜制造電磁波散射實驗?zāi)Ｐ鸵约皩走_進行干擾的假目標，使用金屬板進行電磁波屏蔽等，都是基于電磁波在良導(dǎo)體表層的趨膚效應(yīng)的。七、簡述平面電磁波在媒質(zhì)分界面處的反射現(xiàn)象和折射現(xiàn)象滿足的斯耐爾(Snell)定律，并具體說明什么條件下發(fā)生全反射現(xiàn)象，什么是臨界角？給出臨界角的計算公式。（10分）答： 斯耐爾(Snell)定律：（參見教材P407）（1）反射線和折射線都在入射面內(nèi)。（2）反射角等于入射角，即（3）折射角的正弦值與入射角的正弦值之比等于入射波所在的媒質(zhì)的折射率與折射波所在媒質(zhì)的折射率之比，即式中 全反射現(xiàn)象

17、：（參見教材P419-420）（1）理想導(dǎo)體全反射在電磁波入射到理想導(dǎo)體表面時，由理想導(dǎo)體表面切向電場為零的條件，反射系數(shù)G=±1，稱為理想導(dǎo)體全反射現(xiàn)象。（2）理想介質(zhì)全反射當電磁波由光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時，由于，根據(jù)斯耐爾定律有。當入射角增加到某一個角度時，折射角就可能等于。因此，在時，就沒有向介質(zhì)2內(nèi)傳播的電磁波存在，即發(fā)生全反射現(xiàn)象。能使的入射角稱為臨界角。有2008EM期末試卷A答案一、寫出一般物質(zhì)中B-D形式的場定律，并從該方程推導(dǎo)出簡單媒質(zhì)中的場定律。（10分）答： B-D形式的場定律為： 在簡單無源媒質(zhì)中有：, , , . 用場定律變?yōu)椋?（1） （2） （3） （

18、4） 二、有一半徑為R的帶電導(dǎo)體球，其所帶電荷為Q，在其外面有一層厚度為a的均勻簡單介質(zhì)。試求該系統(tǒng)的電場強度分布和極化強度分布。（15分）答：考慮導(dǎo)體球為理想導(dǎo)電球，其電荷均勻分布在導(dǎo)體球的表面。由高斯通量定理所以 假設(shè)厚度為a的均勻簡單介質(zhì)的介電常數(shù)為，則： 由公式，可以求得極化強度的分布：在時，；在其它位置的極化強度為零。三、寫出瞬時坡印廷矢量的定義式，說明坡印廷矢量的物理意義及其在電磁波傳播中的應(yīng)用。（15分）（10分）解：瞬時的坡印廷矢量定義為： 坡印廷矢量分為瞬時坡印廷矢量和平均坡印廷矢量，他們均是能量守恒的表達式。只不過瞬時坡印廷矢量代表某一時刻空間某一點電磁能流密度大小值和方向

19、；而平均坡印廷矢量則是指在一個電磁場周期內(nèi)，空間某一點電磁能流密度的大小值和方向。通過坡印廷矢量在某個有向曲面上做積分，可以得到通過空間某曲面的電磁能量，也可以計算天線的對空間的輻射能量等等。四、什么是均勻平面波？什么是TEM波？均勻平面波是TEM波嗎？TEM波是均勻平面波嗎？寫出無源自由空間條件下均勻平面波的傳播特性。（15分）答：等相面與等幅面重合且為平面的波稱為均勻平面波。TEM波是橫電磁波，即電場方向和磁場方向在一個平面內(nèi)且相互垂直，并與傳播方向垂直。均勻平面波是TEM波，TEM波不一定是均勻平面波。傳播特性：1 均勻平面波是TEM波2在自由空間中，均勻平面波的相速等于自由空間的光速3

20、 在空間任一點，電場和磁場同相，它們的數(shù)值之比為波阻抗4 在空間任一點，電場和磁場彼此垂直5 在空間任一點，電場能密度和磁場能密度相等。五、一個真空中電磁波的電場的復(fù)數(shù)形式表達式為。a) 該電磁波為何種極化(線極化，圓極化或橢圓極化)？b) 寫出其等價的時域表達式；c) 坡印廷矢量的時間平均值是多少?d) 該電磁波的頻率(Hz)是多少?（20分）（15分）答：a) 線極化b) =c) 坡印廷矢量的時間平均值是d) ，于是該電磁波的頻率f(Hz)是6、 現(xiàn)有一均勻平面波由空氣垂直入射到理想導(dǎo)體表面（），已知入射波的電場的復(fù)矢量為。請畫出入射波、反射波場量關(guān)系示意圖，寫出該問題適用的邊界條件，并求

21、出反射波的電場和磁場。（15分）答：入射波矢量。其入射場和反射場的圖示如下：該問題使用的邊界條件為邊界兩邊電場的切向分量連續(xù)，即。反射電場；反射磁場7、 已知一個天線上的電流分布，敘述利用磁矢位求解遠區(qū)輻射場的過程步驟。（15分）（10分）答：1 求。選擇坐標系用積分方法算出磁矢位2 求.只取項，。3 求。采用平面波之間的關(guān)系 。八、簡述交變電偶極子輻射場區(qū)劃分及各場區(qū)的特性。（10分）解：交變電偶極子的場區(qū)分為近場區(qū)和遠場區(qū)。當時，為近場區(qū) 在近區(qū)，電場的主要成分是由電偶極子產(chǎn)生的似靜電場，復(fù)數(shù)坡印廷矢量是一個純虛數(shù)，有功功率密度為零，主要成分是束縛場。 3分當時，為遠區(qū)場 遠區(qū)場主要是輻射

22、場，場的主要部分所攜帶的電磁功率將全部輻射出去，輻射波是TEM波。 2009EM期末試卷A答案一、寫出一般物質(zhì)中B-D形式的場定律，并由此導(dǎo)出簡單媒質(zhì)中無源區(qū)域的電場波動方程。（10分）（提示：）解： B-D形式的場定律為： 4分在簡單無源媒質(zhì)中有：, , , . 用場定律變?yōu)椋?（1） （2） （3） （4） 2分由公式，得對（1）式兩邊做運算，左邊=右邊=從而得到波動方程 4分二、設(shè)圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑b，其內(nèi)一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，如圖所示。當外加電壓為時，試求：（1）電容器中的電場強度；（2）單位長度內(nèi)的儲能。（15分）解：解法一（分離變

23、量法）：（1）不妨設(shè)內(nèi)導(dǎo)體電位為,外導(dǎo)體電位為0，按電介質(zhì)不同將求解區(qū)域分為I, II兩塊。對于I區(qū)域，由于不存在自由電荷，所以即同理，在求解區(qū)域均滿足拉普拉斯定理，可用分離變量法求解。邊界條件：根據(jù)邊界條件可設(shè)解的形式為帶入邊界條件，解得從而，有（2）單位長度存儲的電場能為解法二（電場高斯）：（1） 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的外表面上單位長度的電荷量為q，外導(dǎo)體的內(nèi)表面上單位長度的電荷量為-q。取內(nèi)外導(dǎo)體之間一個同軸的單位長度圓柱面作為高斯面，由高斯定律 3分求得 1分已知在兩種介質(zhì)的分界面上電場強度的切向分量必須連續(xù)，即 ，求得 2分內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差為 1分即單位長度內(nèi)的電荷量為 1分 故電容器中的電

24、場強度為 2分（2） 單位長度的電容為 2分電容器中的儲能密度為 3分三、分別寫出瞬時和復(fù)數(shù)坡印廷矢量的定義式，并說明兩者之間的關(guān)系。（10分）解：瞬時的坡印廷矢量定義為： 3分瞬時的坡印廷矢量定義為： 3分瞬時坡印廷矢量的時間平均值等于復(fù)數(shù)坡印廷矢量的實部， 4分四、寫出無源自由空間條件下均勻平面電磁波的傳播特性。（10分）解：1）均勻平面波的電場和磁場總是與波的能量傳播方向垂直的，也就是有2分由于電磁場總是位于與傳播方向相垂直的等相面內(nèi)，即相對于傳播方向是橫向的，故均勻平面波是一種橫電磁波（TEM波）。2)在自由空間，均勻平面波的相速等于自由空間的光速，即2分3）在空間任意一點，每一種獨立均勻平面波解的電場和磁場的波形與相位均相同，它們的數(shù)值之比為一常數(shù)，等于空間波阻抗2分4)在空間任何一點，均勻平面波的電場和磁場彼此垂直，即 2分5)在自由空間中任一點，均勻平面波的電場能密度和磁場能密度相等，即2分五、簡述平面電磁波在媒質(zhì)分界面處的反射現(xiàn)象和折射現(xiàn)象滿足的斯耐爾(Snell)定律，并具體說明什么條件下發(fā)生全反射現(xiàn)象，什么是臨界角？（10分） 解：平面電磁波入射到媒質(zhì)分界面處，入射線、反射線、折射線以及入射角、反射角、折射角之間的關(guān)系，服從斯耐爾(Snell)定律：1、反射線和折射線都在入射面內(nèi)。 2分2、反射角等于入射角，即 2分3、折射角的正弦值與入射角的正弦值之比等