第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析

1、第四章第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)的s s域分析域分析 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t,u (t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻在這一章將通過把頻域中的傅

2、里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。域來解決這些問題。 本章引入本章引入復(fù)頻率復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。4.1 引言引言以以傅里葉變換傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義給出的結(jié)果有著清楚的物理意義 ，但也有不足之處，但也

3、有不足之處，傅里葉變換只能處理符合傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件狄利克雷條件的信號，而有的信號，而有些信號是些信號是不滿足絕對可積條件不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析的，因而其信號的分析受到限制；受到限制；另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。無窮積分求解困難。 ttfd )(d21)(1jtfFeFtft 為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴大

4、信號變換的范可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。圍。優(yōu)點：優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點：缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法 本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。 本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)

5、頻域分析。域分析。 最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡略介紹們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。 注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。 拉氏變換方法是求解常系數(shù)線性方程的工具。其拉氏變換方法是求解常系數(shù)線性方程的工具。其特點表現(xiàn)在：特點表現(xiàn)在：求解的步驟得到簡化，同時可以給出微分方程的求解的步驟得到簡化，同時可以給出微分方程的特解和齊次解，且初始條件自動地包含在變換特解和齊次解，且初始條件自動地包含在變換式里。式里。

6、拉氏變換分別將拉氏變換分別將“微分微分”與與“積分積分”運算轉(zhuǎn)換為運算轉(zhuǎn)換為“乘法乘法”和和“除法除法”運算，也即把積分微分方運算，也即把積分微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。指數(shù)函數(shù)，超越函數(shù)以及有不連續(xù)點的函數(shù)，經(jīng)指數(shù)函數(shù)，超越函數(shù)以及有不連續(xù)點的函數(shù)，經(jīng)拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡單的初等函數(shù)。拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡單的初等函數(shù)。拉氏變換的時域中兩函數(shù)的卷積運算轉(zhuǎn)換為變換拉氏變換的時域中兩函數(shù)的卷積運算轉(zhuǎn)換為變換域的乘法運算。域的乘法運算。利用系統(tǒng)函數(shù)的零點，極點分布可以簡明直觀的利用系統(tǒng)函數(shù)的零點，極點分布可以簡明直觀的表達(dá)系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。表達(dá)系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。從傅里葉變換到拉普拉斯變

7、換從傅里葉變換到拉普拉斯變換從算子符號法的概念說明拉式變換的定義從算子符號法的概念說明拉式變換的定義拉氏變換的收斂拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換一些常用函數(shù)的拉氏變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。 te)t (fFF 1 ttfttdee)(j : ,)(e ),( 依傅氏變換定義依傅氏變換定義絕對可積條件絕對可積條件后容易滿足后容易滿足為任意實數(shù)為任意實數(shù)乘以衰減因子乘以衰減因子信號信號 ttf 稱稱為為復(fù)復(fù)頻頻率率。具具有有頻頻率率的的量量綱綱令令 , , j

8、:s )j( F ttfsFtsde 則則ttftde)()j( 2拉氏逆變換 de21ejttjFtf dej21j tFtf jj: s對對積分限：對積分限：對 je的傅里葉逆變換是對于Ftftt e 以以兩兩邊邊同同乘乘jdd , ; j:sjdddss則取常數(shù)，若其中 jjdej21 ssFtfts ttfsFttfFtstdedej j 所所以以定義( )( )dstF sf t etjj1( )( )e d2jstf tF ss 雙邊拉普拉斯變換對F(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)象函數(shù)），），f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或的雙邊拉

9、氏逆變換（或原函數(shù)原函數(shù)）。）。 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點。這樣，坐標(biāo)原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 單邊拉氏變換單邊拉氏變換0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst簡記為簡記為F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或或 f(t) F(s)三、拉式變換的收斂域三、拉式變換的收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挥羞x擇適當(dāng)?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號f(t)的單邊的單邊拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換存

10、在。 使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為F(s)的收斂域的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明F(s)收斂域的問題。收斂域的問題。0( ),tf tet 函數(shù)乘以因子取的極限，若當(dāng)極限等于零，則可以進(jìn)行拉式變換。0000lim( )0,()sttf t e根據(jù)的數(shù)值，將 平面劃分為兩個區(qū)域。通過的垂直線稱為收斂軸，是收斂區(qū)域例例 因果信號因果信號f1(t)= e t u(t) ，求拉氏變換。，求拉氏變換。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF1,Re ss不定,無界,可見，對于因果信號，僅當(dāng)可見，對于因果信號，僅當(dāng)

11、Res= 時，其拉氏變換存時，其拉氏變換存在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界例例 反因果信號反因果信號f2(t)= e tu(-t) ，求拉，求拉氏氏變換。變換。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定無界)(1.Re,ss可見，對于反因果信號，僅當(dāng)可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Res= 時，其收斂域時，其收斂域為為 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 02、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)e-at 1sa -acos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t

12、 )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s3、n是正整數(shù)時，是正整數(shù)時，tn110000 nnnststnstnsttnnL tt edtetedttedtsss 223112!1, ;2, , nnnnL tnL tL tsss1 nnnL tL ts所以，5、周期信號、周期信號fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsFTstTsTTstTnnsTttfttfnTtt000de)(e11de)(e令特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 4、沖激

13、函數(shù)、沖激函數(shù)： (t) 1線性線性 原函數(shù)微分原函數(shù)微分原函數(shù)積分原函數(shù)積分延時（時域平移）延時（時域平移）s域平移域平移 尺度變換尺度變換初值初值終值終值卷積卷積對對s域微分域微分對對s域積分域積分一線性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211212211sFKsFKtfKtfKLKKsFtfLsFtfL 則則為為常常數(shù)數(shù)，若若 ttttfj jee21)cos()( sstLj1j121cos22ss 已知已知則則 sLt 1e同理同理 22 sinstL 例題：例題：二原函數(shù)微分 )0()(d)(d),()( fssFttfLsFtfL則則若若 )0()0()(

14、)0(0d)(d22 fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推廣：推廣：證明：證明： tdetsfetftdetfststst 000 )s(sFf 0 ( )j( )f tF( )( )(j )( )nnftF電感元件的電感元件的s域模型域模型 )()( ),()(sVtvLsItiLLLLL ttiLtvLLd)(d)( )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV)(tiL )(tvLL應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)設(shè)三原函數(shù)的積分 ，則，則若若)()(sFtfL sfssFfLt)0()(d)(1 證明：證

15、明： fffttddd00 01 f 00dedtfstt 000de1dettfsfssttst 01tdetfsst sf01 ssF j0dFFft電容元件的電容元件的s域模型域模型 )()(),()(sVtvLsItiLCCCC設(shè) tcCiCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1( CCCviCiC )0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCC四延時（時域平移） 0e)()()( )()(00stsFttuttfLsFtfL ，則則若若 00000de)()()()(tttuttfttuttfLst 0de)(0tsttttf

16、，令令0tt 代入上式代入上式則有則有,dd,0ttt 000dee)()()(0fttuttfLsst0e)(stsF 證明：證明：;e )()(0j0tFttf 22211111ssssssF 。求求已知已知)(,4cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF例題例題 sFttutf求求,1 已知已知例題例題4-3-2 tttttfsincos4sinsin24coscos2 sss e112五s域平移 )(e)( )()(sFtfLsFtfLt ，則則若若 )(dee)(e)(0sFttftfLsttt 證明：證明：號為常數(shù)，注意00j0j e )(e )( 00Ftf

17、FtfttX例例22:cos( )sLt u ts已知22 ecos( )tst u ts所以22:esin( )tt u ts同理ecostt求的拉氏變換六尺度變換時移和尺度變換都有時時移和尺度變換都有時: : 0 1)( ),()( aasFaatfLsFtfL則則若若 )bat(u)bat(fL若 0de)()(tatfatfLst，則，則令令at 0de)()(afatfLas 0de)(1faas asFa1證明：證明： 00 1 b ,aeasFaabsabaFabatfje1 )(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 則則可以進(jìn)行拉氏

18、變換，且可以進(jìn)行拉氏變換，且及及若若七初值 應(yīng)化為真分式：不是真分式需注意：若,sFksFsF )()(1 1(0 )lim( )lim( )limssSfs F sksF skssF s 項。項。中有中有中有常數(shù)項，說明中有常數(shù)項，說明ttfsFX初值定理證明 ttfLfssFd)(d0)(tttfstded)(d0 tttftttfststded)(dded)(d000 由由原函數(shù)微分定理原函數(shù)微分定理可知可知 tttfffstded)(d000 tttffssFstded)(d0)( 0 所以所以XtttffssFstded)(d0)( 00lim lims00s tdetd)t (fd

19、tdetd)t (fdstst)(lim)0(ssFfs例例 即單位階躍信號的初始值為即單位階躍信號的初始值為1。?)0(,1)(: fssF求求已已知知1)(lim)(lim)0(0 ssFtffst例例?)0(,12)( fsssF求求 12212 ssssF因為 sssksssFfss2122lim)(lim)0( 所所以以2112lim12lim sssss2)0( f所以所以 項項中中有有ttf 2終值存在的條件終值存在的條件: ，則，則的拉氏變換存在，若的拉氏變換存在，若設(shè)設(shè))()(d)(d),(sFtfLttftf )(lim)(lim0ssFtfst 上是解析的。原點除外軸在右

20、半平面和) ( j ssF八終值22sin()Lts例如例如1atL esaX證明：證明： tttffssFstded)(d0)(0 tttffssFstssded)(dlim0)(lim000 0)(lim0ftfft)(limtft 根據(jù)初值定理證明時得到的公式根據(jù)初值定理證明時得到的公式九卷積 )()()()(2121sFsFtftfL dppsFpFsFsFtftfLjj)()(j21 )()(j21)()(212121 則則為有始信號，為有始信號，若若)(),()()()()(212211tftfsFtfLsFtfL 時域卷時域卷積定理積定理頻域卷頻域卷積定理積定理X證明：證明： t

21、tutfuftftfLstded200121 交換積分次序交換積分次序 ttutfftftfLstdde002121 )()(21sFsF esFftftfLsd02121 efsFtftfLsd01221十對s微分d( )( )( 1)dnnnnF sL t f ts 常用形式：( )( )d( ) ( )1dL f tF sF sL tf ts 若，則 dd)(jFttf傅里葉變換情況：X十一對s積分 ttfsFstde)()(兩邊對兩邊對s積分：積分： sstssttfssFdde)(d)(交換積分次序交換積分次序:tstfstsdde)( sssFttfLsFtfLd)()()()(，

22、則則若若tttfstsde1)( tttftsde)( 證明：證明：X部分分式分解法求拉氏逆變換部分分式分解法求拉氏逆變換用留數(shù)定理求逆變換用留數(shù)定理求逆變換一部分分式分解部分分式分解01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi為實數(shù)，為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 , 為有理真分式為有理真分式當(dāng)當(dāng)sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零點零點極點極點 0)(0)( sFsA因為因為 的零點的零點稱為稱為的根的根是是

23、sFsAzzzzm,0,321 的極點的極點稱為稱為的根的根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB因為因為根據(jù)極點的不同，分為三種情況根據(jù)極點的不同，分為三種情況1.第一種情況：單階實數(shù)極點 ,321為不同的實數(shù)根為不同的實數(shù)根npppp)()()()(21npspspssAsF nnpskpskpsksF 2211)( 展開為部分分式展開為部分分式即可將即可將求出求出sFkkkkn,3212. 第二種情況：極點為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在X第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點找極點 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 321321

24、 sksksksF6116332)(232 ssssssF求系數(shù)求系數(shù)X如何求系數(shù)k1, k2, k3？1, 1 ss且且令令對對等等式式兩兩邊邊同同乘乘以以 13211321) 1() 1(ssskskskssFs11)() 1(ssFsk1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss, 5)()2(:22 ssFsk同理同理6)()3(33 ssFskX 1estuLt 根據(jù)根據(jù) 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)逆變換逆變換362511)( ssssF所以所以X第二種情況：極點為共軛復(fù)數(shù) 22ssDsAsF sssFjj1 共軛極點出現(xiàn)在共軛極點出現(xiàn)在j .jj21 s

25、KsKsF ssFsKj j1 Fj2j1 ssFsKj j2 Fj2j2 成共軛關(guān)系：成共軛關(guān)系：可見可見21,KKBAKj1 *12jKBAK X求f(t)BAKj1 *12jKBAK sKsKLtfjj211C tttKK eee*11 tBtAt sincose2 X例4-10。的的逆逆變變換換求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(2j1)(2j1(32 sssssF2j12j12210 sKsKsK02, 1 取取 57)2(20 ssFsK52j1)2j1)(2(32j121 ssssK52,51 BA 0 2sin522cos51e2e572 ttttfttX

26、 22 sssFF(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法具有共軛極點，不必用部分分式展開法 2222 ssssF 0 ttsinetcosetftt 求下示函數(shù)求下示函數(shù)F(s) 的逆變換的逆變換f(t)：解：解：求得求得例4-11 2222)(cose )(sine sstLstLtt利用利用X3. 第三種情況：有重根存在232122)1(12)1)(2()( skskskssssF4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk為重根最高次系數(shù)為重根最高次系數(shù)為單根系數(shù)為單根系數(shù)31,kk如何求如何求k2 ?X如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留設(shè)法使部

27、分分式只保留k2，其他分式為，其他分式為032122)1(2)1(2ksksksss 0)2()1()2)(1(222211 ksskkss22222)2(4)2()2(22dd ssssssssss3 2 k所以所以2)1( s對原式兩邊乘以對原式兩邊乘以兩邊再求導(dǎo)兩邊再求導(dǎo)若求若求只能求出只能求出時時令令, 1,123kks 3212)1(2)1(ddkksskss右邊右邊 )()1(dd2sFss 左邊左邊2, 1ks 右右此時令此時令3)2(4122 ssss左邊左邊X逆變換2)1(11324)( ssssF 0ee3e4)()( 21 ttsFLtfttt所以所以X一般情況11121

28、111)()()()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一種情況，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式求其他系數(shù)，要用下式 111111pspsk)s(F)s(F)ps(k kisFsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(111111 1)(dd , 2112pssFsKi 當(dāng)當(dāng)1)(dd21 , 312213pssFsKi 當(dāng)當(dāng)F(s)兩種特殊情況的的非非有有理理式式含含se 非真分式非真分式 化為真分式多項式化為真分式多項式1.非真分式真分式多項式23795)(223 ssssssF作長除法作長除法 2 3s 46277

29、2 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sFssssssF 2112)(1 sssF tttf 2 )(e)(e22tututt 2.含e-s的非有理式2111)(1 sssF )(ee)()( 2111tusFLtftt 所以所以 )2(ee2 )2(2)2(1 tutftftt所以所以。求求解解時時利利用用時時移移性性質(zhì)質(zhì)，項項不不參參加加部部分分分分式式運運算算 es sssFss2122e)(23e 二二. 用留數(shù)定理求逆變換（圍線積分法）用留數(shù)定理求逆變換（圍線積分法） 極極點點的的留留數(shù)數(shù)stesFSFL)(1 jjstdsesFjtf

30、)(21拉普拉斯逆變換表達(dá)式拉普拉斯逆變換表達(dá)式01j應(yīng)用應(yīng)用留數(shù)定理留數(shù)定理 niirsFL11)(設(shè)設(shè)極點極點s=pi處的留數(shù)為處的留數(shù)為ri，并設(shè)，并設(shè)F(s)est在圍線內(nèi)共在圍線內(nèi)共有有n個極點，則個極點，則若若p pi i為為一階一階極點，則極點，則ipsstiie )s(F)ps(r 111()( ) 1 !ikkstiispkdrspF s ekdsipsstiesFpsdsdrk )()( 222當(dāng)若若p pi i為為k k階階極點，則極點，則ipsstiesFpsdsdrk )()()!13(1 3313133時當(dāng)X4.5. 用拉氏變換法分析電路、s域元件模型列列s域方程（

31、可以從兩方面入手）域方程（可以從兩方面入手） 列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。域模型建立代數(shù)方程。求解求解s域方程。域方程。)()(tfsF，得到時域解答。，得到時域解答。X 。求求已知已知tvtvtEtEteRC, 0 0 )( )(teRC )(tvC )(tvR)(tiC例4-13求起始狀態(tài)求起始狀態(tài)(1) EvC 0 0)2( t列方程列方程換換等等式式兩兩邊邊取取單單邊邊拉拉氏氏變變 )3( ? tvC求求EtetvttvRCCC )()(d)(d sEsVvssVRCCCC )()0()

32、(X（4）求反變換）求反變換t tvCEOE RCssE1210)( e2)( tEEtvRCtC所以所以;0)(EEtvC充電到充電到的的從從 均可。均可。和和換路定則，采用換路定則，采用符合符合和和時，其時，其在求在求 00 00 )(tvCRCSRCvsEsVCC 1)0()(所以所以 RCsssRCE11X求 ? tvR)()(d)(1 tetvtRtvCRtR 系系統(tǒng)統(tǒng)也也可可以以采采用用系系統(tǒng)統(tǒng)求求解解時時可可以以采采用用 0 ,0 1(0 )0,(0 )2 ,RRvvE（）跳變 )()2(為為變變量量列列微微分分方方程程以以tvR采用采用0 0- -系統(tǒng)系統(tǒng)采用采用0 0+ +系

33、統(tǒng)系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。兩種方法結(jié)果一致。使用使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。系統(tǒng)使分析各過程簡化。ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 )(teRC )(tvC )(tvR)(tiCXttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 )()()e(tEutEut 因為因為)(2d)e(dtEtt 所以所以EvssVsVRCRRR2)0()()(1 00 RvRCsEsVR12)( 所以所以 0 e2)( tEtvRCtR所以所以(3)對微分方程兩邊取拉氏變換對微分方程兩邊取拉氏變換 采用0-系統(tǒng)t tvRE2OX采用0+系統(tǒng) EvR20 02)()(1 EssVsVRCRR0d)(d

34、tte 處處理理按按）此此時時（ 03te(4)原方程取拉氏變換原方程取拉氏變換ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 X例4-14 波形波形求電流求電流電源電源閉合，接入直流閉合，接入直流式開關(guān)式開關(guān)，為為下圖所示電路起始狀態(tài)下圖所示電路起始狀態(tài)tiEt,S00 SLCRE tiLssC1RsE sI(1) V00A,00 CLvi起始狀態(tài)為起始狀態(tài)為(2)域等效模型域等效模型的的st0 (3) 列方程列方程 sEsICssRIsLsI 1解：解：X極點 sEsICssRIsLsI 1 LCsLRsLEsCRLssEsI1112：極點極點2, 1ppLCLRLRp12221 LCLR

35、LRp12222 故故 211pspsLEsI 2121111pspsppLE X逆變換 tptpppLEti21ee21 設(shè)設(shè)LCLR1,20 則則20222021,pp 回路回路無損耗的無損耗的，第一種情況：第一種情況：LC0 LCQR2Q00回路，回路，的的較小，高較小，高即即第二種情況：第二種情況：0 第三種情況第三種情況 ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低第四種情況第四種情況QR0 波形波形X 回路回路無損耗的無損耗的，LC0 第一種情況：01jp 02jp ttLEti00jj0eej21 tLCE0sin 階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)

36、生不衰減的正弦振蕩。 第二種情況： LCQR2Q00回路，回路，的的較小，高較小，高即即引入符號引入符號20d 所以所以dj02 dpj1 dpj2 ttdddLEtijjeej21 tLEdtdsine 就越小，衰減越慢就越小，衰減越慢越小，越小，衰減振蕩，衰減振蕩，RLR,2 X第三種情況：0 LCLR12 pp 21 表示式為表示式為這時有重根的情況，這時有重根的情況，sI 21sLEsI tLRttLELEti2ee 生振蕩，是臨界情況生振蕩，是臨界情況越大，阻尼大，不能產(chǎn)越大，阻尼大，不能產(chǎn)R第四種情況： ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低QR0 tttLEti202202eee2

37、1202 tLEt202202sinhe1雙曲線雙曲線X波形Ot ti0 0 0 0 X利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型 電阻元件的s域模型)()(sRIsVRR RsVsIRR)()( 或或R )(sVR)(sIR tRitvRR X電感元件的s域模型)0()()( LLLLiLssIsV利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：域模型： )0(1)()( LLLisLssVsI sVL sILLs 0LLi sILLs 01Lis sVL ttiLtvLLdd )(tiL )(tvLLX電容元件的s域模型)0(11)()( CCCvssCsI

38、sV電流源形式：電流源形式：sC1 01Cvs sIC sVC sICsC1 0CCv sVC tCCtiCtvd1 )0()()( CCCCvssCVsI tiC tvCCX線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。列寫節(jié)點方程時，使用電流源方式列寫回路方程時，使用電壓源方式),()(sIti)()(sVtv 0)(0)(:KCLsIti 0)(0)(:KVLsVtv3.求響應(yīng)的步驟 把網(wǎng)絡(luò)中的每個元件都用它的把網(wǎng)絡(luò)中的每個元件都用它的s域模型代替；域模型代替；把信號源直接寫出變換式；把信號源直接寫出變換式；對電路模型采用對電路模型采用KVL和和KCL分析；分析；找到所需求解的變換式，解找到所需求解的變換式，解s域方程域方程拉氏反變換求拉氏反變換求v(t)或或i(t)。2.電路定理的推廣 X例例4-15 ? 0 0 )( tvstEtEteC域模型求域模型求利用利用已知已知)(teRC )(