傅里葉光學(xué)函數(shù)正交展開和級(jí)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1傅里葉光學(xué)函數(shù)正交展開和級(jí)數(shù)傅里葉光學(xué)函數(shù)正交展開和級(jí)數(shù)12,nx xx 1 122nnrc xc xc x10mnmnmnxxmn,1(1)ix inn維空間n個(gè)單位正交構(gòu)成的正交坐標(biāo)系第1頁(yè)/共45頁(yè)展開系數(shù) 的求法：兩邊同乘1 122nnrc xc xc xkx1 122kkkkkknnkkr xc x xc x xc x xc x xc kkcr x 即：220nmnnmnNmnxxNmn22kkkkkkr xr xc NcN nc非單位矢量第2頁(yè)/共45頁(yè)（二）函數(shù)（信號(hào)）空間1、設(shè)有無窮個(gè)正交函數(shù) 構(gòu)成函數(shù)空間12( ),( ),( ),nP x P xP x1 122(

2、)( )( )( )nng xc P xc P xc P x1( )nnnc P x( ),1(1)iP x i 2122( )( ) ( )0 xnmnnmnxNmnP x P xx dxNmn正交函數(shù)第3頁(yè)/共45頁(yè)( ) ( )kP xx21( )( ) ( )xkxg x P xx dx2211( )( ) ( )( )( ) ( )xxkkknnkxxc P x P xx dxc P x P xx dx展開系數(shù) 的求法：nc22111122( )( ) ( )( )( ) ( )xxkkxxc P x P xx dxc P x P xx dx2kkc N兩邊同乘 積分2121( )(

3、 )( )xkkxkcg x Pxx dxN21kN 若 ，稱正交歸一化空間和正交歸一化坐標(biāo)系。第4頁(yè)/共45頁(yè)1 122( )( )( )( )nng xc P xc P xc P x2122( )( ) ( )0 xnmnnmnxNmnP x P xx dxNmn2121( )( )( )xkkxkcg x Pxx dxN2、若正交函數(shù)為復(fù)函數(shù)正交性第5頁(yè)/共45頁(yè)（三）常用正交函數(shù)坐標(biāo)系第6頁(yè)/共45頁(yè)（一）周期函數(shù)( )()f xf x Tsin( )sin(2 )xxcos( )cos(2 )xx第7頁(yè)/共45頁(yè)0122cos()cos()cos()2nanaxaxaxTTT122s

4、in()sin()sin()nnbxbxbxTTT（二）三角級(jí)數(shù)1.定義：01cos()sin()2nnnannaxbxTT0na 0nb 若 ，為正弦級(jí)數(shù)；若 ，為余弦級(jí)數(shù)。（只有周期函數(shù)能用三角級(jí)數(shù)展開）第8頁(yè)/共45頁(yè)11cos()cos()0TTmnmnxx dxmnTTT11sin()sin()0TTmnmnxx dxmnTTT1sin()cos()0TTmnxx dxTTT（1）周期性2T（2）三角函數(shù)正交性第9頁(yè)/共45頁(yè)1、f(x)是周期為2T的函數(shù)01( )cos()sin()2nnnannfxaxbxTT0ananb011( )cos_2TTTTTTnf x dxa dxd

5、x01()TTafx dxT（1） 的計(jì)算：2、系數(shù) 為各成分占得比重、計(jì)算0a第10頁(yè)/共45頁(yè)nanb（2） 的計(jì)算：利用正交函數(shù)的性質(zhì)01:( )cos()1cos()cos()cos()2TnTTTnTTnmaf xx dxTmnmax dxaxx dxTTT1sin() cos()TnTnnmbxx dxTTma T()mn1( )cos()TnTnaf xx dxTT第11頁(yè)/共45頁(yè)01:( )sin()1sin()cos()sin()2TnTTTnTTnmbf xx dxTmnmax dxaxx dxTTT1sin()sin()TnTnnmbxx dxTTmb T()mn1(

6、)sin()TnTnbf xx dxTT第12頁(yè)/共45頁(yè)1.周期函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)周期函數(shù)f(x)的周期為2T，則在長(zhǎng)為2T的任意區(qū)間上的定積分都相等。220( )( )( )TTTTf x dxf x dxf x dx2Tf(x)x(1)圖形分析第13頁(yè)/共45頁(yè)202( )( )TTf x dxf x dx( )(2 )(2 )f xf xTf xT2uxT(2 )( )f xTf u( )(2 )( )f xf xTf u(2)證明令22022( )(2 )( )TTTTf xdxf uT duf udu22222220022TTTTTTTTTT 20TTT令第14頁(yè)/共45頁(yè)2. 函數(shù)

7、的奇偶性（1）奇 偶( )()oofxfx ( )()eefxfx1( )sin()onnnfxbxT1( )cos()ennnfxaxT（2）若周期函數(shù)為奇函數(shù)，其傅氏展開只包含正弦項(xiàng)若周期函數(shù)為偶函數(shù)，其傅氏展開只包含余弦項(xiàng)第15頁(yè)/共45頁(yè)()()()( )( )oeoefxfxfxfxfx 1( ) ( )()2ofxf xfx1( ) ( )()2efxf xfx若非奇非偶，( )( )( )oef xfxfx第16頁(yè)/共45頁(yè)3.奇偶函數(shù)的對(duì)稱積分(積分限相對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱的)（1）奇函數(shù)的對(duì)稱積分為零。( )0aoafx dx00aaaa( )()000( )()() ()oofx

8、fxoooaaafx dxfx dxfx dx00( )( )aaf x dxf x dx 令x =-x（a不一定是周期）第17頁(yè)/共45頁(yè)（2）偶函數(shù)的對(duì)稱積分等于正限積分的二倍0( )2( )aaeeaf x dxf x dx0002aaaaa( )()000( )() ()eefxfxaeeaafx dxfx dx第18頁(yè)/共45頁(yè)（3）n個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)12()()()()ooonFxfxfxfx12()()()ooonfxfxfx 12()()()()ooonfxfxfxFx （4）n個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)12( )( )( )( )()eeenF xfxfxfxFx第

9、19頁(yè)/共45頁(yè)（5）1個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)相乘（或相除），結(jié)果為奇函數(shù)（6）兩個(gè)奇函數(shù)相乘（或相除），結(jié)果為偶函數(shù)( )( )( )()()()oeoeF xfx fxfx fxFx 121212( )( )( )()()()()()ooooooF xfx fxfxfxfx fxFx 第20頁(yè)/共45頁(yè)1212( )( )( )( )()()()()eeeneeenF xfx fxfxfx fxfxFx（7）n個(gè)偶函數(shù)相乘（或相除），結(jié)果為偶函數(shù)（8）m個(gè)奇函數(shù)n個(gè)偶函數(shù)相乘（或相除），結(jié)果為取決于m是奇數(shù)還是偶數(shù)（9）奇函數(shù)和偶函數(shù)相加（減），結(jié)果為非奇非偶。第21頁(yè)/共45頁(yè)cos( )

10、sin( )axbx222222cos( )sin( )ababxxababsincos( )cossin( )Bxxsin()Bx221()Babatgb式中22Babab第22頁(yè)/共45頁(yè)cos( )sin( )cos()axbxAx1()ABbtga22Babab第23頁(yè)/共45頁(yè)01()co s()2nnnanfxAxT22nnnBab1()nnnatgbnnB22nnnAab1()nnnbtga（表示某種振動(dòng)或某種諧波分量）：初位相：振幅01sin ()2nnnanBxT第24頁(yè)/共45頁(yè)01( )cos()sin()2nnnannf xaxbxTT1cos()exp()exp()2

11、nnnxixixTTT1sin()exp()exp()2nnnxixixTiTT1exp()exp()2nniixiixTT歐拉公式：第25頁(yè)/共45頁(yè)0111( ) ()exp()()exp()222nnnnnannf xaibixaibixTT0012ca1()2nnncaib1()2nnnnccaib令01( )(exp()exp()nnnnnf xccixcixTT011exp()exp()exp()nnnnnnnnnccixcixcixTTT第26頁(yè)/共45頁(yè)nc( )exp()exp()exp()TTnTTnmnmf xix dxcixix dxTTT0()exp2TnTnnmnn

12、mcix dxTcmnT 1( )exp()2TnTncf xix dxTT的求法：第27頁(yè)/共45頁(yè)01( )cos()sin()2nnnannf xaxbxTT011( )exp()exp()exp()nnnnnnnnnf xccixcixcixTTT01()TTafx dxT1( )cos()TnTnaf xx dxTT1( )sin()TnTnbf xx dxTT1( )exp()2TnTncf xix dxTT第28頁(yè)/共45頁(yè)1()sin()nnnfxbxT1( )sin()TnTnbf xx dxTT02sin()Tnxx dxTT22222cos()sin()TTnnTnn12

13、( 1)nTn（七）舉例（傅氏展開先判斷奇偶性）1.周期為2T，f(x)=x,-TxT傅氏級(jí)數(shù)xy奇函數(shù)，只用正弦項(xiàng)展開第29頁(yè)/共45頁(yè)112( )( 1)sin()nnTnf xxnT1212( 1)sin()sin()sin()2nTnxxxTTnTxy第30頁(yè)/共45頁(yè)020( )02xf xkx20011( )2TTaf x dxkdxkT022n200111( )cos()()cos()0222TTnnaf xx dxkx dxTTK是常數(shù)；（周期2T=4，T=2）1( )sin()cos() 11 ( 1) TnnTnkkbf xx dxnTTnn k0421086-2xy第31

14、頁(yè)/共45頁(yè)1( )1 ( 1) sin()22nnkknf xxn 21315sin()sin()sin()223252kkxxx020( )02xf xkxk0421086-2xy第32頁(yè)/共45頁(yè)0,2442( )244ddddxxf xddx 01( )cos()2nnf xaaxT3.周期為dy20-d/4d/2x-d/2d/40nb 2Td偶函數(shù)第33頁(yè)/共45頁(yè)111424( 1)2(21)( ) 1sincos() 1cos221nnnnnnf xxxndnd 40412( )22dTdTaf x dxdxTd441224( )cos()2cos()sin2dTdnTnnnaf

15、 xx dxx dxTTddny20-d/4d/2x-d/2d/4第34頁(yè)/共45頁(yè)4.求如圖所示一維正弦位相光柵透過率函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式( )expsin( )f xiax( )exp()nnnf xcixTT（）11( )exp()exp ( sin)22TnTnncf xix dxi axx dxTTT( )nJa2表面表面（n階第一類貝賽爾函數(shù)）expsin( )( )exp()nnniaxJaixT第35頁(yè)/共45頁(yè)n階第一類貝賽爾函數(shù)的積分公式2cos0( )2njxjnnjJxeed第36頁(yè)/共45頁(yè)( )expcos( )f xiaxexpcos( )( ) exp()nn

16、nniaxJa iixT正弦光柵透過率函數(shù)也可表示為1exp ( cos)( )2nnnnci axx dxJa iT0n zx20001( )expcos( )2cJaiaz dz令0階第一類貝賽爾函數(shù)積分表達(dá)式。第37頁(yè)/共45頁(yè)01( )cos()2nnnanf xAxT1cos(2)nnnAn x 12T22nnnAab1()nnnbtga（頻率）n為諧頻（此為空間頻譜，xt為時(shí)間頻率）( )nAn的曲線叫振幅頻譜圖。nn位相頻譜圖。特點(diǎn)：離散的，具有諧波性、收斂性()nnA(n)012345第38頁(yè)/共45頁(yè)01( )exp()exp()nnnnnf xccixcixTT0012ca

17、1()exp()2nnnnncaibci2212nnnnccab1()nnnbtga 1()exp()2nnnnncaibci1()nnnbtgann 第39頁(yè)/共45頁(yè)nC(n)-11-220-4-334振幅頻譜n(n)-11-220-4-334位相頻譜特點(diǎn)： 頻率范圍從 出現(xiàn)負(fù)頻概念；各諧波的分量減小一半；各諧波位相值不變，但正負(fù)頻的位相方向相反； 12nncA第40頁(yè)/共45頁(yè)二者差異只是形式上的。正負(fù)頻的解釋：平面偏振，可分為左右弦振動(dòng)（圓偏振）， 左弦為正頻，右弦為負(fù)頻。xy正頻正頻負(fù)頻負(fù)頻第41頁(yè)/共45頁(yè)2f(t)A0t-T2T2T22( )0,2 2Atf tTttT 1( )exp()2TnTncf tit dtTT22sin()12exp()222nnATAit dtnTTTT02AcTsin(