2019上海春季高考數(shù)學(xué)試題與標(biāo)準(zhǔn)答案(考試院內(nèi)部版2019.12.22啟封前絕密)

1、2019 年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意:1. 答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼2. 本試卷共有 2020 道試題，滿分 150150 分.考試時間 120120 分鐘.一. .填空題（本大題滿分 6060 分）本大題共有 1111 題，只要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得 5 5 分，否則一律得零分. .1.函數(shù)y =log2（x -1）的定義域是_.2 計(jì)算：（1-i）2=（i為虛數(shù)單位）.x3. 函數(shù)y二cos的最小正周期T =_.24. 若集合A=& |x1 ，集合B=x0 x3，則X0的

2、取值范圍是log2X, X 0.(A)x=0(B)(C)x y-1 =0.(D)x-y 1 =0.(A)Xo8.(B)X。：0或X。8.( C)0：X。：8.(D)xo: 0或0：Xo: 8.15.函數(shù)y =1一1 -X(-1 _x _0)的反函數(shù)圖像是答()ytytO(D)(A)充分不必要條件(B )必要不充分條件4 4 分，否則一律得零分. .答(C)充要條件.答(答(14.已知函數(shù)f(x)=*三解答題（本大題滿分 7474 分）本大題共有 5 5 題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng) 的題號）內(nèi)寫出必要的步驟 . .16.16.（本題滿分 1212 分）如圖，在斜三棱柱ABC A

3、JBJCJ中，.A,AC二/ACB二，-AAQ二百，側(cè)棱BBi與底面所成的角為一，AAj=4、3，BC =4求斜三棱柱ABC - A1B1C13的體積V17.（本題滿分 1414 分）本題共有 2 2 個小題，第 1 1 小題滿分 6 6 分，第 2 2 小題滿分 8 8 分已知數(shù)列an:啲前n項(xiàng)和為Sn，ai=1,且3a.2S.=3（n為正整數(shù)）（1）求數(shù)列：an 1的通項(xiàng)公式；（2） 記S=印 a? a.若對任意正整數(shù)n,kS_Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值18.18.（本題滿分 1414 分）我國計(jì)劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑R=34百公里）的中心F為一個焦點(diǎn)的橢圓

4、如圖，已知探測器的近火星點(diǎn)y（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）A到火星表面的距離為8百公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表 面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B到火星表面的距離為 800 百公 里假定探測器由近火星點(diǎn)A第一次逆時針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為ab百公里時進(jìn)行 變軌，其中a、b分別為橢圓的長半軸、短半軸的長, 百公里）(3)對于任意給定的正整數(shù)n，求函數(shù)fn()的最大值和最小值19.19.(本題滿分 1616 分)本題共有 3 3 個小題，第 1 1 小題滿分 4 4 分，第 2 2 小題滿分 5 5 分，第 3 3 小題滿分 7 7分.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組對角線.長為an的正方形AnBnCnDn(n

5、= 1,2,),其對角線BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點(diǎn)重合).設(shè)an是首項(xiàng)為a,公差為d(d . 0)的等差數(shù)列，點(diǎn)B!的坐標(biāo)為(d, 0).(1) 當(dāng)a =8, d =4時，證明：頂點(diǎn)A2、A不在同一條直線上；(2) 在(1)的條件下，證明：所有頂點(diǎn)A,均落在拋物線y2=2x上;(3) 為使所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2=2px求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式.20.20.(本題滿分 1818 分)本題共有 3 3 個小題，第 1 1 小題滿分 4 4 分，第 2 2 小題滿分 4 4 分，第 3 3 小題滿分1010 分.設(shè)函數(shù)fnL)二sinnv ( -1)ncosnK 0，其中n為正整數(shù)

6、.4(1)判斷函數(shù)f1(R、f3(的單調(diào)性，并就f1(旳的情形證明你的結(jié)論；(2)證明：2f6(旳 一f4( v) = cos4v -sin4v cos2v-sin2n2019 年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明1.1.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同 準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分. .2.2.評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底， 不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱. .當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤， 影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時， 可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)

7、重的概念性錯誤，就不給分. .3.3.第 1616 題至第 2020 題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù)4.4.給分或扣分均以 1 1 分為單位. .答案及評分標(biāo)準(zhǔn)26 n.7. y=x5.8.寸6.9.0.311.丄,3；，j為1，2n中的所有奇數(shù).4 42二.（第 1212 至 1515 題）每一題正確的給4 4 分，否則一律得零分三.（第 1616 至 2020 題）16.解在RtAA1C中，AAA1tan/AA=433=4. 3 分3作_平面ABC，垂足為H，則.BtBH13.6 分（第 1 1 至 1111 題）每一個空格正確的給5 5 分，否則一律得零分1

8、.（1,：）.2.-2i.3.4二.4.1 CXC2.15. x = 一.4，可參照解答中評分標(biāo)題號12131415代號BCACA在RtB1BH中，B1H二BB1sin B1BH 3二AA1sin4 36.321V = S徉BCB1H =工4疋4工6 =48.17.解(1) ；3an 1- 2Sn=3，當(dāng)n _2時，3an2Sn j=3 .由-，得3an 1-3an2an-0.1公比為q的等比數(shù)列.3n-1nI1=I I3（n為正整數(shù)）18.解 設(shè)所求軌道方程為2 2X V-=1 (a b 0)a bac=8 34,a =438, c = 396.是b2二a2-c2=35028.2 2(2)由

9、(1)ai知，S=1qSna11 - q1 -q1一313(1中1-I3；10 分由題意可知，對于任意的正整數(shù)恒有3心1一單調(diào)遞增,當(dāng)n =1時, 數(shù)列中的最小項(xiàng)為2 2必有 y，即實(shí)數(shù)k的最大值為3.14 分12 分又；a1=1,3a2+2a1=3，解得a2an二a1qa c =800 34,所求軌道方程為1盤T35行設(shè)變軌時，探測器位于P(X。，y。)，則2 2對竹281975總石+爲(wèi)，解得x0=239.7,y0=156.7(由題意) .探測器在變軌時與火星表面的距離為.(x0-c)2y0 - R：1 8 73.13 分答：探測器在變軌時與火星表面的距離約為187 百公里.14 分A18,

10、 4 ,A218, 6 , A 32, 8,kAA2=kA2A3,.頂點(diǎn)A1, A2, A3不在同一條直線上. 4 分一12(2)由題意可知，頂點(diǎn)An的橫坐標(biāo)Xn=d a1 a2亠 亠a*a*=2(n 1),2一1頂點(diǎn)An的縱坐標(biāo)“嚴(yán)如7分2對任意正整數(shù)n,點(diǎn)AnXn, yn的坐標(biāo)滿足方程目=2x,.所有頂點(diǎn)A*均落在拋物線y2=2x上.(3) 解法一由題意可知，頂點(diǎn)An的橫、縱坐標(biāo)分別是Xn二d厶(n -1)a -(n -1)2d,yn=丄a (n - 1)d 12 2 210 分19.證明(1)由題意可知,kAA26-4118 -8 Vk A2A38-6 132 -18 =7消去廠1，可得

11、Xn*y；d嚀為使得所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2=2px ( p 0)上，則有d -=2p,2a(d -a)d0.解之，得d=4p, a=8p.2da、d所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：a =2d12 分14 分16 分解法二點(diǎn)A X1, y1的坐標(biāo)為1X1=d21y1a.2a,對于函數(shù)f1（r） =sinv-cosr，設(shè) r ：七， 、二20/，則-4f! (6) _ f! (I) = s i _ s i n2c o s2- co s1，si n1:si n2, co s2: cos1，（2）；原式左邊=2 s i n c o S)- s i n co Sv=2 s i ric o ssii4r - s

12、inJcog) cogr - s i inc o s=1 -s i n 2v -cos 2v.又； 原式右邊二cos2- -sin2-cos22-.2f6( R - f4( J) = cos4- sin4v cos2v - sin2r.當(dāng)心時函數(shù)fo在_。，4上單調(diào)遞增，匸（力的最大值為f10，最小值為 匸0=-1.4丿20.；點(diǎn)A X1, y1在拋物線2 y1 -p =a22X14( 2d + a)又點(diǎn)A X2, y2的坐標(biāo)為2y =2px上,11 分33X2=a +三d,22且點(diǎn)A2(X2, y2:也在拋物線上,y2=2(a+d).丁aAO, dAO，把點(diǎn)A2（X2, y2）代入拋物線方程

13、，解得a = 2d.d2d因此，p，.拋物線方程為y x.42f1 12xn=d +-a + (n _ 1)a +_(n _ 1)2d又t22yn=ja +(n 1)d =2d.L乙乙.所有頂點(diǎn)Ana、d所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：a =2d解(1)W)、f3(F在0,IL413 分(n 1)2d2d,15 分16 分上均為單調(diào)遞增的函數(shù)f1 3 : f12,函數(shù)fdE在0,-上單調(diào)遞增當(dāng)n=2時，f2二=1,.函數(shù)f2(力的最大、最小值均為 1.當(dāng)n =3時，函數(shù)f3(d)在 0/ 上為單調(diào)遞增IL4F 面討論正整數(shù)n _ 5的情形:叮fn（日1）一fn（日2） =（sinn-sinn罠）+ （cosn日2cosn日1） , 以及乞sin十： :sinv2 1, ：cosv2:cos* 1，sinnB: sinn孔，cosn1 : cosnK，從而fn(“1)：fn(“2).fn(d)在, 上為單調(diào)遞增，則-4fn(R的最大值為fn，最小值為f4()=114 分I4丿當(dāng)n為偶數(shù)時，一方面有fn(F二sinnr - cosn二sin2r - cos2