2020年浙江省寧波市中考數學甬真試卷(一)(解析版)

1、2020 年浙江省寧波市中考數學甬真試卷（一）A 3B 3CD12 小題）1 3 的倒數是（）A 1.5× 104B 15× 104C1.5× 105D 1.5× 1062 2019 年 10 月 1 日在北京天安門廣場舉行隆重的國慶70 周年慶?；顒樱陂啽腿罕娪涡谢顒又校灿屑s15 萬人參加則15 萬用科學記數法表示為（）4下列圖標中，不是中心對稱圖形的是（A （ a2） 3 a5C （ a+b） 2 a2+bABDCa8÷ a4 a2a b） （ a+ b）a2 b2D3下列運算正確的是（）10A 6h， 6hB 6h， 15hC 6.

2、5h， 6hD6.5h， 15h5某校為了解學生在校一周體育鍛煉時間，隨機調查了35 名學生，調查結果列表如下：鍛煉時間/h15則這 35 名學生在校一周體育鍛煉時間的中位數和眾數分別為（）ABCD6如圖是由5 個相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（）7一個透明的袋中只裝有ABCD8用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”（）A 沒有一個角是銳角B 每一個角都是鈍角或直角C 至少有一個角是鈍角或直角D 所有角都是銳角E 所有角都是銳角9如圖，圓中兩條弦AC， BD 相交于點P點D 是 的中點，連結AB， BC， CD，若 BP， AP 1 ， PC 3則線段CD 的長

3、為（）AB 2CD10如圖，AC， BD 為四邊形ABCD 的對角線， 則tan DBC 的值是（）AC BC， AB AD， CA CD若tan BAC11 如圖，梯形ABCD 被分割成兩個小梯形 ，和一個小正方形 ，去掉 后， 和 可剪拼成一個新的梯形，若EF AD 2， BC EF 1，則AB 的長是（）A 6B 3C 9D 312如圖，圓心為M 的量角器的直徑的兩個端點A， B 分別在x軸，y軸正半軸上（包括原點 O） ， AB 4點P， Q分別在量角器60°，120°刻度線外端，連結 MP 量角器從點A 與點 Q 重合滑動至點Q 與點 O 重合的過程中，線段MP

4、掃過的面積為（）A +B C +2D 3二填空題（共6 小題）13因式分解：3a2 6a14函數y的自變量x 的取值范圍是15拋物線y x2+4 x+5 向右平移3 個單位，再向下平移4 個單位所得拋物線的解析式為16 一個底面半徑是3cm 的圓錐，其側面展開圖是圓心角為135°的扇形， 則這個圓錐的側面積為cm217如圖，點D 是 Rt ABC 斜邊 AB 的中點，點E 在邊 AC 上A'B C與ABC 關于直線 BE 對稱， 連結AC且CAC'90°若AC4，BC3則 AE 的長為象在第一象限內一動點過點C 作直線 CD AB交x軸于點D，交AB 于點E

5、則CE：DE 的最小值為8 小題）19解不等式+120如圖，在6 × 5 的網格（小正方形邊長為1 ）中，Rt ABC 的三個頂點都在格點上（ 1 ）在網格中，找到格點D，使四邊形ACBD 的面積為10，并畫出這個四邊形AC（ 2）借助網格、只用直尺（無刻度）在AB 上找一點E，使AEC 為等腰三角形，且AE21某初中為加強學生體質，開展了足球，排球、籃球三門拓展性課程以供學生選擇，每位學生必須在三項中選擇一項進行報名；選課結束后，將八年級學生選課結果繪制成了如下所示的兩個統(tǒng)計圖（部分信息未給出），已知該校八年級男生人數比女生多15 人，女生選擇排球人數是男生選擇排球人數的3 倍1

6、）求該校八年級女生人數2）補全條形統(tǒng)計圖3） 小甬經過計算，發(fā)現八年級學生選擇足球的人數占八年級學生總人數的三分之一小22小甬工作的辦公樓（矩形ABCD）前有一旗桿MN， MN DN，旗桿高為12m，在辦公樓底 A 處測得旗桿頂的仰角為30°，在辦公樓天臺B 處測旗桿頂的仰角為45°， 在小甬所在辦公室樓層E 處測得旗桿頂的俯角為15（ 1 ）辦公樓的高度AB；（ 2）求小甬所在辦公室樓層的高度AE23 如圖，以 ? ABCD 的邊 BC 為直徑的 O 交對角線AC 于點E， 交 CD 于點F 連結 BF 過點 E 作 EG CD 于點 G， EG 是 O 的切線（ 1 ）

7、求證：? ABCD 是菱形；（ 2）已知EG 2， DG 1求 CF 的長24為推廣勞動教育，美化校園環(huán)境，學校決定在農場基地鋪設一條觀景小道經設計，鋪設這條小道需A， B 兩種型號石磚共200 塊已知：購買 3 塊 A 型石磚，2 塊 B 型石磚需要 110元；購買5 塊 A型石磚，4 塊 B 型石磚需要200元（ 1 ）求A， B 兩種型號石磚單價各為多少元？（ 2） 已知 B 型石磚正在進行促銷活動：購買 B 型石磚數量在60 塊以內 （包括 60 塊） 時，不優(yōu)惠；購買B 型石磚數量超過60 塊時，每超過1 塊，購買的所有B 型石磚單價均降0.05 元，問：學校采購石磚，最多需要多少預

8、算經費？25 若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個三角形為 “弱等腰三角形”，這條角平分線叫做這個三角形的“弱線”，如圖 ， AD 是 ABC 的角平分線，當ADAB 時，則ABC 是“弱等腰三角形”，線段 AD 是 ABC 的“弱線”1） 如圖 ， 在 ABC 中 B 60°， C 45°求證： ABC是 “弱等腰三角形”；2）如圖 ，在矩形ABCD 中， AB 3， BC 4以B 為圓心在矩形內部作，交 BC于點E，點F 是 上一點，連結CF且CF 與 有另一個交點G連結BG當BG 是 BCF 的“弱線”時，求 CG 的長（ 3）已知ABC 是“弱等腰

9、三角形”， AD 是“弱線”，且 AB 3BD，求AC： BC 的值26如圖 ，點 G 是等邊三角形AOB 的外心，點A 在第一象限，點B 坐標為（4， 0） ，連結 OG 拋物線y ax（ x 2） +1+ 的頂點為P（ 1 ）直接寫出點A 的坐標與拋物線的對稱軸；（ 2）連結OP，求當AOG 2 AOP 時 a的值（ 3）如圖 ，若拋物線開口向上，點C， D 分別為拋物線和線段AB 上的動點，以CD為底邊構造頂角為120°的等腰三角形 CDE（點C， D， E 成逆時針順序），連結GE 點 Q在 x軸上，當四邊形GDQO 為平行四邊形時，求GQ 的值；當 GE 的最小值為1 時，

10、求拋物線的解析式參考答案與試題解析12 小題）C1 3 的倒數是（）A 3B3【分析】根據倒數的定義即可得出答案【解答】解：3 的倒數是故選：C2 2019 年 10 月 1 日在北京天安門廣場舉行隆重的國慶70 周年慶?；顒?，在閱兵和群眾游行活動中，共有約15 萬人參加則15 萬用科學記數法表示為（）A 1.5× 10B 15× 104C 1.5× 105D 1.5× 106【分析】科學記數法的表示形式為a× 10n 的形式，其中1 |a|< 10， n 為整數確定n要看把原數變成a 時， 小數點移動了多少位，n 的絕對值與小數點移動的

11、位數相同當原數絕對值10 時， n 是正數；當原數的絕對值<1 時， n 是負數【解答】解： 15萬用科學記數法表示為1.5× 105故選：C3下列運算正確的是（2A （ a2）3 a5B a8÷ a4 a2C （ a+b） 2 a2+b2D （ a b） （ a+ b）a2 b2分別根據冪的乘方運算法則，同底數冪的除法法則以及完全平方公式，平方差公式逐一判斷即可【解答】解：A （ a2） 3 a6，故本選項不合題意；B a8÷ a4 a4，故本選項不合題意；C （ a+b） 2 a2+2ab+b2，故本選項不合題意；D （ a b ） （ a+b）a2 b

12、2，故本選項符合題意故選： D 4下列圖標中，不是中心對稱圖形的是（5某校為了解學生在校一周體育鍛煉時間，隨機調查了AB、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D 、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；根據中心對稱圖形的概念求解解：A、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B鍛煉時間/hBC35 名學生，調查結果列表如下：1510D則這 35 名學生在校一周體育鍛煉時間的中位數和眾數分別為（A 6h， 6hB 6h， 15hC 6.5h， 6hD6.5h， 15h直接利用眾數和中位數的概念求解可得6h，解：這組數據的眾數為6 h，中位數為第18 個數據，即中

13、位數為故選：A6如圖是由5 個相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（解：從上面看有兩層，底層中間是一個正方形，上層是三個正方形D故選：A7一個透明的袋中只裝有2 個紅球和3 個藍球，它們除顏色外其余均相同，現隨機從袋中摸出兩個球、顏色是一紅一藍的概率是（ABCD【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到兩個球顏色是一紅一藍結果數，再利用概率公式計算可得【解答】解：列表如下：紅紅紅藍藍紅紅紅紅紅紅藍紅藍紅紅紅紅紅紅藍紅藍紅紅紅紅紅紅藍紅藍藍藍紅藍紅藍紅藍藍藍藍紅藍紅藍紅藍藍由表知共有20 種等可能結果，其中這兩個球顏色是一紅一藍有12 種結果，所以這兩個球顏色是一紅一藍概率，故選：B8

14、用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，應首先假設這個四邊形中（）A 沒有一個角是銳角B 每一個角都是鈍角或直角C 至少有一個角是鈍角或直角D 所有角都是銳角E 所有角都是銳角【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立【解答】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時第一步應假設：四邊形中所有角都是銳角故選： D 9如圖，圓中兩條弦AC， BD 相交于點P點D 是 的中點，連結AB， BC， CD，若 BP， AP 1 ， PC 3則線段CD 的長為（）AB 2CD【分析】連接 OD 交 AC 于 H ，如圖，先利用垂徑定理得到OD AC， AH CH

15、2，則PH 1，再根據相交弦定理計算出PD ，然后利用勾股定理先計算出DH，在計算CD【解答】解：連接OD 交 AC 于 H ，如圖，點 D 是 的中點，OD AC， AH CH 2，PH 1，AP?PC BP?PD，在 Rt PDH 中，DH，在 Rt DCH 中，CD10如圖，AC， BD 為四邊形ABCD 的對角線，AC BC， AB AD， CA CD若tan BAC則tan DBC 的值是（AB根據 tan BAC ，得出CBAC 的度數，則在AC；證明CAD 為等邊三角形，過點D 作 DE CA，交交于點F，則DE BC，從而DBC FDE ，設CF x，則DRt ACB 中，設C

16、A 于點E，設EF x，根據BC 1，則CA 與 BDtanDBC tan FDE 列出關于x的方程，解得x值，則可求得tan DBC 的值【解答】解：tan BAC，BAC 30°，AC BC，ACB 90°，BC 1，則AC，AB AD，BAD 90°，DAC 60°，CA CD，CAD 為等邊三角形，過點 D 作 DE CA，交CA于點E，設CA與 BD 交于點 F，如圖，則有： CE AC， DE AD ?sin60 ° ×設 CF x，則EF x，AC BC， DE CA，DE BC，DBCFDE，tan DBC tan F

17、DE ，解得：xtan DBC故選： D 11 如圖，梯形ABCD 被分割成兩個小梯形 ，和一個小正方形 ，去掉 后， 和 可剪拼成一個新的梯形，若EF AD 2， BC EF 1，則AB 的長是（）A 6B 3C 9D連接 AH 交 EF 于點K，根據EF AD 2， BC EF 1，可得BC AD 3，由AD HC，四邊形AHCD 是平行四邊形，再證明AEK ABH ，可得 AB 的長解：如圖，連接 AH 交 EF 于點 K，EF AD 2， BC EF 1 ，BC AD 3，AD HC，四邊形AHCD 是平行四邊形， BC AD BC HC 3，KF AD， EK 2， 為正方形， EB

18、 BH 3，AEKABH，即 ，解得AB 9故選： C12如圖，圓心為M 的量角器的直徑的兩個端點A， B 分別在 x軸， y軸正半軸上（包括原點 O） ， AB 4點P， Q分別在量角器60°，120°刻度線外端，連結MP 量角器從點A 與點 Q 重合滑動至點Q 與點 O 重合的過程中，線段MP 掃過的面積為（）A +B C +2D 3【分析】MP 掃過的圖形是由兩個邊長為2 的等邊三角形與一個扇形組成，按照扇形面積公式和三角形面積公式計算即可【解答】解：由題意可知，點M 的運動軌跡是以O 為圓心，2 為半徑，圓心角為60°的扇形，點P 在第四象限內時，AOB

19、是弧AP 所對的圓周角，所以AOP30°，點P 在第二象限內時，BOP 是弧BP 所對的圓周角，所以BOP60°，所以點P 的運動路徑是一條線段，當量角器從點A 與 O 重合滑動至點Q 與點 O 重合時，MP 掃過的圖形是如圖所示的陰影部分，它是由兩個邊長為2 的等邊三角形與一個扇形組成，所以PM 掃過的面積為：【分析】設圓錐的母線長為lcm，利用弧長公式得到2 × 3，解得l 8，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側面積【解答】解：設圓錐的母線長為lcm，根據題意得2 × 3，解得l 8，所以這個圓錐的側面積× 2 × 3

20、5; 8 24 （ cm2） 故答案為24 17如圖，點D 是 Rt ABC 斜邊 AB 的中點，點E 在邊 AC 上 A'B C與ABC 關于由軸對稱的性質和直角三角形斜邊中線的性質得：直線 BE 對稱， 連結 AC且CAC'90°若AC4，BC3則 AE 的長為CD C'D A'D ABA'B'，證明A'CC'C'B'A'（HL ） ，得A'CC'B'CB3，設AEx，則CE4x，根據勾股定理列方程可得結論C'D，A'B'，CD C'D

21、A'DC、 D 、 C'三點共線， CC' A'B'，A'CC'C'B'A'（ HL） ，A'CC'B'CB3，設AE x，則CE4x，AE A'E，在 Rt A'EC 中，由勾股定理得：x2+32（4 x） 2，解得：x， AE，故答案為：18如圖，直線yx+2 分別與 x 軸， y 軸交于點A， B，點C 是反比例函數y的圖象在第一象限內一動點過點C 作直線 CD AB交x軸于點 D，交 AB 于點E則CE：DE 的最小值為【分析】 連接 AC， 根據題意得到A、 B 的

22、坐標， 以及 ADE ABO， 即可求得 ，進一步求得 2tan CAE，當CAE 最小，即AC 與雙曲線（ x> 0）只有一個交點時，最小，設AC 的解析式為y kx 4k，則，消去 y 整理得到kx24kx40，當AC 與雙曲線（x>0）只有一個交點時，16k2+16k0，解得 k 的值，即可求得AC 的解析式，進而求得C， D、 E 的坐標，然后根據平行線分線段成比例求得CE： DE 的最小值為【解答】解：如圖，連接AC，直線yx+2 分別與 x 軸， y 軸交于點A， B， A（ 4， 0） ， B（ 0， 2） ， CD AB，AEDAOB 90°，DAEBAO

23、，ADEABO，2tan CAE，CAE 最小，即AC 與雙曲線（ x> 0）只有一個交點時，最小，AC 的解析式為y kx 4k，則，消去 y 整理得：kx2 4kx 4 0，AC 與雙曲線（ x> 0）只有一個交點時，16k2+16k 0，解得k1 或 k 0（舍，CD 的解析式為y 2x+n，則 2 4+ n，n2，CD 的解析式為y 2x 2，D（ 1， 0） ，E 點作MN x軸于 N，交過 C 點與 x軸平行的直線于M，MC DN，三解答題（共8 小題）19解不等式+1 并把此不等式的解表示在數軸上【分析】直接去分母進而解不等式，再在數軸上表示出解集即可【解答】解：去分

24、母得：3（ x 1 ） +6 2（ 2x+1 ） ，去括號得：3x 3+6 4x+2，移項合并同類項得：x1 ，故不等式的解集為：x 1，在數軸上表示不等式的解集，如圖所示：20如圖，在6 × 5 的網格（小正方形邊長為1 ）中， Rt ABC 的三個頂點都在格點上（ 1 ）在網格中，找到格點D，使四邊形ACBD 的面積為10，并畫出這個四邊形（ 2）借助網格、只用直尺（無刻度）在AB 上找一點E，使 AEC 為等腰三角形，且AE2）借助網格、只用直尺即可在AB 上找一點E，使AEC 為等腰三角形，且AE AC解： （ 1）如圖，2）如圖，21某初中為加強學生體質，開展了足球，排球、

25、籃球三門拓展性課程以供學生選擇，每位學生必須在三項中選擇一項進行報名；選課結束后，將八年級學生選課結果繪制成了如下所示的兩個統(tǒng)計圖（部分信息未給出），已知該校八年級男生人數比女生多15 人，女生選擇排球人數是男生選擇排球人數的3 倍1 ）求該校八年級女生人數2）補全條形統(tǒng)計圖3） 小甬經過計算，發(fā)現八年級學生選擇足球的人數占八年級學生總人數的三分之一?。?1 ）根據根據題意列式計算即可得到結論；2）根據題意補全條形統(tǒng)計圖即可；3）根據樣本只選擇了八年級，不具有代表性即可得到結論解： （ 1） （ 15× 3）÷60% 75（人），答：該校八年級女生人數為75 人；2）八年級

26、男生選擇排球人數為75+15 40 15 35（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示；3）不合理，22小甬工作的辦公樓（矩形ABCD）前有一旗桿MN， MN DN，旗桿高為12m，在辦公樓底 A 處測得旗桿頂的仰角為30°，在辦公樓天臺B 處測旗桿頂的仰角為45°， 在小甬所在辦公室樓層E 處測得旗桿頂的俯角為151 ）辦公樓的高度AB；2）求小甬所在辦公室樓層的高度AE（ 1 ）過點 M 作 MH AB 于點H，可得四邊形MNAH 是矩形，再根據銳角三角函數即可求出辦公樓的高度AB；x， MQ EQ x?sin60°2) 過點E 作 EQ AM 于點Q， 設 AE x，

27、 則 AQ x?cos60°x，由AM 2MN 24，列出方程即可求出小甬所在辦公室樓層的高度AE解： （ 1）如圖，過點M 作 MH AB 于點H，MN DN，BAN 90°，MNAH 是矩形，AH MN 12，MH AN BC， AMH MAN 30°，在 Rt AMH 中， MH 12， BMH 45°， BH MH 12， AB AH +BH 12+12答：辦公樓的高度AB 為（ 12+12） m（ 2）過點E 作 EQ AM 于點Q，1）得，EAQ 60°， EMQ 180°EAM AEM 180°60°

28、75°45，設 AE x，則AQ x?cos60°x，MQ EQ x?sin60°x，由 AM 2MN 24，解得x 24 24（ m） 答：小甬所在辦公室樓層的高度AE 為（ 24 24） m23 如圖， 以 ? ABCD 的邊 BC 為直徑的 O 交對角線AC 于點E， 交 CD 于點 F 連結BF 過點 E 作 EG CD 于點G， EG 是 O 的切線（ 1 ）求證：? ABCD 是菱形；（ 2）已知EG 2， DG 1求 CF 的長【分析】 （ 1）如圖，連接OE，根據切線的性質得到OE EG，根據平行四邊形的性質得到 OE CD AB，推出AB BC，

29、于是得到結論；（ 2）如圖，連接BD，由（1）得，CE： AC 1： 2，得到點E 是 AC 的中點，根據圓周角定理得到BF CD， 根據相似三角形的性質得到DF 2， BF 4， 由勾股定理即可得到結論【解答】 （ 1 ）證明：如圖，連接OE， EG 是 O 的切線， OE EG， EG CD，四邊形ABCD 是平行四邊形， OE CD AB，CEOCAB， OC OE，CEOECO，ACBCAB， AB BC， ? ABCD 是菱形；（ 2）如圖，連接BD，由（ 1）得， OE CD， OC OB， AE CE， CE： AC 1： 2，點 E 是 AC 的中點，四邊形ABCD 是菱形，

30、BD 經過點 E， BC 是 O 的直徑，BF CD，EG CD，EG BF，DGEDFB，DG： DF GE： BF DE： BD 1： 2， DF 2， BF 4，在 Rt BFC 中，設CF x，則BC x+2，由勾股定理得，x2+42（x+2） 2，解得：x 3， CF 324為推廣勞動教育，美化校園環(huán)境，學校決定在農場基地鋪設一條觀景小道經設計，鋪設這條小道需A， B 兩種型號石磚共200 塊已知：購買 3 塊 A 型石磚，2 塊 B 型石磚需要 110元；購買5 塊 A型石磚，4 塊 B 型石磚需要200元（ 1 ）求A， B 兩種型號石磚單價各為多少元？（ 2） 已知 B 型石磚

31、正在進行促銷活動：購買 B 型石磚數量在60 塊以內 （包括 60 塊） 時，不優(yōu)惠；購買B 型石磚數量超過60 塊時，每超過1 塊，購買的所有B 型石磚單價均降0.05 元，問：學校采購石磚，最多需要多少預算經費？【分析】 （ 1）設A， B 兩種型號石磚單價分別為x元，y元，根據“購買 3 塊 A型石磚，2 塊 B 型石磚需要110 元；購買3 塊 A 型石磚，4 塊 B 型石磚需要200 元”列方程組解得即可；（ 2）設購買B 型石磚 m 塊，采購石所需費用為W 元，結合m 的范圍得出W 與 m 的關系式，利用一次函數的性質解答即可【解答】解： （ 1）設A， B 兩種型號石磚單價分別為

32、x 元， y 元，解答， A， B 兩種型號石磚單價分別為20 元， 25 元2）設購買B 型石磚 m 塊，采購石所需費用為W 元，當0<m60時，W20（200m）+25m5m+4000，可知，當m60 時，W最大 4300 元；當 60< m 200 時，W20（200m）+m25 0.05（ m60）0.05m2+8 m+40000.05（m80）2+4320，可知，當m80 時，W最大 4320 元；答：學校采購石磚，最多需要4320 元預算經費25 若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個三角形為 “弱等腰三角形”，這條角平分線叫做這個三角形的“弱線”，如圖

33、 ， AD 是 ABC 的角平分線，當ADAB 時，則ABC 是“弱等腰三角形”，線段 AD 是 ABC 的“弱線”（ 1） 如圖 ， 在 ABC 中 B 60°， C 45° 求證： ABC是 “弱等腰三角形”；（ 2）如圖 ，在矩形ABCD 中，AB 3， BC 4以 B 為圓心在矩形內部作，交 BC于點E，點F 是 上一點，連結CF且CF 與 有另一個交點G連結BG當BG 是（ BCF 的“弱線”時，求 CG 的長（ 3）已知ABC 是“弱等腰三角形”， AD 是“弱線”，且AB 3BD，求AC： BC 的值【分析】 （ 1 ）根據角平分線的定義得到DBC ABC 3

34、0°，根據三角形的內角和得到 A 180°ABCC 180°60°45°75°，于是得到結論；（ 2）如圖 ，連接EG，根據角平分線的定義得到FBG GBE，根據全等三角形的性質得到BGFBGE，根據相似三角形的性質即可得到結論；（ 3） 如圖 ，當AB AD 時，在 AC 上取一點E，使得AE AB，連接 DE，根據角平分線的定義得到FBG GBE，根據全等三角形的性質得到BGF BGE，根據相似三角形的性質健康得到結論； 當 AC AD 時，如圖 ，在 AB 上取一點E，使AE AC，連接DE，同理可得結論【解答】 （ 1）證明：

35、如圖 作 ABC 的角平分線BD，交AC 于 D，DBCABC 30°，ABC 60°，C 45，A 180°ABCC 180°60°45°75°，ADBDBC+ C 30° +45°75°，ADBA，BA BD ，ABC 是“弱等腰三角形”；2)如圖 ，連接 EG，BG 是 BCF 的“弱線”，BG 平分FBC，FBGGBE，BF BE， BG BG，BGFBGE( SAS) ，BGFBGE，BG BE，BGEBEG( 180°GBE) ，FGE 180°GBE，CGE 1

36、80°FGE，CGECBG，GCEBCG，GCEBCG，CE 4 3 1 ，CG2 CE ?BC 1× 4 4，CG 2；3) 如圖 ，當AB AD 時，在 AC 上取一點E，使得AE AB，連接 DE，AD 是“弱線”，AD 是 ABC 的角平分線，BADCAD，AD AD，ABDAED（ SAS） ， DE BD，BAED， AD AB， BADB， AED ADB，CED 180°AED，ADC 180°ADB，CEDADC，CC，ADCDEC， CECD， CDAC， CEAC， CEAEBD， CD 3CEBD，AC 9CEBD， BC BD+

37、 BDBD，AC： BC 27： 17； 當 AC AD 時，如圖 ，在 AB 上取一點E，使AE AC，連接DE，AC 3CD ， ，即 ，由上面計算可得，BCCD，17AC： BC 24：26如圖 ，點 G 是等邊三角形AOB 的外心，點A 在第一象限，點B 坐標為（4， 0） ，連結OG 拋物線yax（ x 2） +1+的頂點為P（ 1 ）直接寫出點A 的坐標與拋物線的對稱軸；（ 2）連結OP，求當AOG 2 AOP 時 a的值（ 3）如圖 ，若拋物線開口向上，點C， D 分別為拋物線和線段AB 上的動點，以CD為底邊構造頂角為120°的等腰三角形 CDE（點C， D， E 成

38、逆時針順序），連結GE 點 Q在 x軸上，當四邊形GDQO 為平行四邊形時，求GQ 的值；當 GE 的最小值為1 時，求拋物線的解析式【分析】 （ 1 ）由等邊三角形的性質可求點A 坐標，由拋物線的性質可求對稱軸；（ 2）分兩種情況討論，由直角三角形的性質可求點P 坐標，代入解析式可求a 的值；（ 3） 連接 AG 并延長 AG 交 OB 于 H，由等邊三角形外心的性質可求GH 的長，由平行四邊形的性質可得GD OB， GD OQ，由平行線分線段成比例可求GD 的長，由勾股定理可求解； 在 OB 上截取 OM BD，連接CM， GM， GB， MD， GD，通過證明GDEMDC，可得 ，則當 GE 最小值為1 時， MC 最小值為，可得當點C 與拋物線頂點P重合，且CM OB 時， CM 有最小值，即可求點P 坐標，代入解析式可求解【解答】解： （ 1）如圖，連接AG 并延長AG 交 OB 于 H ，B 坐標為（4， 0） ，OB 4，G 是等邊三角形AOB 的外心，AH OB， OA OB 4，AOB 60°，OAH 30°，OH OA2， AH OH 2，A（ 2， 2） ，y ax（ x 2） +1+ ax2 2ax+1+，x 1；2）如圖，過點P 作 PN OB 于 N，交 AO 于 F， ON 1，點G 是等邊三角形AOB 的外心， OG 平分