橢圓中的兩個最大張角

1、橢圓中的兩個最大張角在橢圓中有兩個比較特殊的角，一個是短軸上的一個頂點到兩焦點的張角，另一個是短軸上的一個頂點到長軸上兩個頂點的張角，它們都是橢圓上任意一點到這兩對點的所有張角中最大的兩個角，它們有著重要的應用，給解決一些問題帶來很大的方便，現歸納如 下：一. 兩個重要結論22只要求 y =cos x 的最小值，又知 | PF1 | + | PF2 |=2a,| F1F2 |= 2c ,利用余弦定理可得。證明： 如圖，由已知：| PF1 | +| PF 2 |=2a, | F1F2 |= 2c ,所以 | PF1 |PF2 |“ PF1 | +| PF2 |)2 =a2 ,(當 | PF1 |

2、=|PF2| 時取等號) 222_2| PF1 | PF? | -| F1F2 |由余弦正理侍:cos .F1PF2 =2 | PF1 | PF2 | 2 _2=(| Pl | | PF2 |) -2 | PFi | PF2 | - | FE |2 | PF1 | PF2 |.2.2. . 224a - 4c4b2b（當| PFi閂PF2 |時取等號）,1 = -1-1 22 | PF1PF2 |2 | PFi | PF2 | a所以當| PFi閂PF 2 |時，cos NF1PF2的值最小，因為NFiPF 2在（0,兀），所以此時/FiPF2最大。即點P為橢圓短軸的端點時 匕Fi PF 2最

3、大。22x y 命題2.如圖：已知 A,B為橢圓=i（a Ab A0）長軸上的兩個頂點，Q為橢圓上a b任意一點，則當點Q為橢圓短軸的端點時，NAQB最大。分析：當ZAQB最大時，ZAQB 一定是鈍角，而y = tan x在('，兀)上是增函數，利用點 Q的坐標，2表示出tan /AQB，再求tan NAQB 的最大值。證明：如圖，不妨設Q(x, y)(0 <x <a,0 <y <b),則AP=a + x, BP = a x, PQ = y ,所以 tan . AQP = -x , tan . BQP = - yy則 tan . AQBtan .乙AQP tan

4、 .BQP2ay1 tan NAQP tan .BQP2a22_又 x2 =a2 % y2,所以 tan /AQB =2-，因為 1%<0 , NAQB （蘭，n）, bab2b2 y所以當y =b時，tan N AQB取得最大值,此時ZAQB最大，所以當點Q為橢圓短軸的端點時，NAQB最大。二. 兩個結論的應用利用上面兩個結論，在解決一些問題帶來很大的方便：例1.已知F,F2為橢圓的兩個焦點， 若橢圓上存在點P使得ZF1 PF 6 ,求橢圓 離心率的取值范圍。分析：因為存在ZFiPF 2 =60令，所以只要最大角FiPoF皇60* ,即 F1P(F >30 '即tan/F

5、*。芝匝，也就是->，從而求出e的范圍。解析：由結論1知：當點P0為橢圓短軸的端點時 ,/PoF 2最大，因此要最大角、3>，3ZF1POF60 氣即 L/FiP°F2 芝 30，即 tan NF1P。芝巫，也就是23解不等式2C 2云逝，得e芝1，故橢圓的離心率ew 1,1)。例2.設F1, F2 橢圓 + =1的兩個焦點 尸為橢圓上任意一點，已知P, F1, F294是一個直角三角形的三個頂點，且| PF1 | PF 2 | ,求| PF1 |的值。I PF2 I分析：由結論1知：當點P0為橢圓短軸的端點時，NF1P0F2最大，且最大角為鈍角， 所以本題有兩種情況：N

6、P =90 4或£F2 =90 %解析：由已知可得，當點P。為橢圓短軸的端點時，匕F1P0F2最大且NF1P0F2為鈍角, 由結論1知，橢圓上存在一點P，使£F1PF2為直角，又ZPF 2F1也可為直角，所以本題有兩解；由已知有 | PF1 | - |PF2 |=6,| F1F2 |=2、, 5(1)若 ZPF2F1 為直角，貝U |PF1 |2習 PF2 |2 +|F1F2 |2，所以 | PF1 |2 = (6 |PF1 |)2 +20 ,故里里| PF 2 |2_144得 | PF1 |=一，| PF? | =,所以 20 =| PF1 |2 +(6 | PF1 |)

7、2 ,3 3(2)若 ZF1PF2 為直角，貝U |F1F2 |2 砰 PF1 |2 +| PF? |2得 | PF1 | = 4,| PF 2 =2 |，故 | PF1 | =2。| PF? |評注：利用最大角知道，ZF1PF2可以為直角，從而容易判斷出分兩種情況討論， 避免了漏解的情況。22例3.已知橢圓 % + J=1(a Ab A0),長軸兩端點為A, B ,如果橢圓上求這個橢a b圓的離心率的取值范圍。分析：由結論2知：當點P0為橢圓短軸的端點時，NAP0B最大，因此只要最大角不小 于120，即可。解析：由結論2知：當點P0為橢圓短軸的端點時，N A P0 B最大，因此只要ZAP0

8、B >120 七則一定存在點 Q ,使 NAQB =120 °, 1/AQ B 芝 60 “，即 /APO 芝 60 41 2所以23,得e_：,故橢圓的離心率的取值范圍是e在寸6,1)。3三. 鞏固練習：22x V1.已知焦點在x軸上的橢圓 +今=1(bA0) , F1 ,F2是它的兩個焦點，若橢圓上4 b存在點P，使得PF1職F2 =0，求b的取值范圍。22 x V2 .已知橢圓一 + =1 , F1, F2是它的兩個焦點，點P為其上的動點，當NF1PF2為94鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。答案：. 1.解：由結論1知，當點P為橢圓短軸的端點時，F1 PF2最大，若此時PF1職F2 =0 ,則有：b =c，又a = 2，所以b = J2，因為橢圓越扁，這樣的點一定存在，所以 b的取值范圍為：0：:b=、22.解：由結論1知，當點P越接近短軸的端點時，ZF1PF2越大，所以只要求ZF1PF2為直角